2023–2024学年七年级数学下册单元速记与巧练（人教版）第五章 相交线与平行线知识突破（解析版）

第五章相交线与平行线（知识归纳+题型突破）1.熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；2.区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3.了解命题的概念及构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；4.了解平移的概念及性质.知识点一相交线1.对顶角、邻补角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角112∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.邻补角互补即∠3+∠4=180°特别说明：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线．⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.2.垂线及性质、点到直线的距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作：AB⊥CD，垂足为O.特别说明：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.（2）垂线的性质：垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记).垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.特别说明：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.知识点二平行线1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．3．两条平行线间的距离如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.特别说明：（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度,平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.知识点三命题及平移1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．特别说明：平移的性质：（1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【题型一对顶角、领补角的定义理解】例题1：（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各图中，与是对顶角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角的定义判断即可．有一个公共点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．【详解】解：A、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不合题意；B、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不符合题意；C、的两边分别是的两边的反向延长线，与是对顶角，故该选项符合题意；D、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不合题意．故选：C．例题2．（2023下·福建泉州·七年级校考期中）下列图形中，与是邻补角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】邻补角是指两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，且两个角的和为，由此即可求解．【详解】解：、不是邻补角，原选项不符合题意；、是对顶角，原选项不符合题意；、是邻补角，原选项符合题意；、不是邻补角，原选项不符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查邻补角的概念及识别，理解并掌握其概念，图形结合分析是解题的关键．【变式训练】1.（2022上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列图中，和是对顶角的有（

）个．

A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答．【详解】根据对顶角的定义：中和不是对顶角；中和是对顶角；中和不是对顶角；中和不是对顶角；故选：．【点睛】此题考查了对顶角的定义，掌握对顶角的定义是解题的关键．2．（2023下·河北承德·七年级统考期末）下列四个选项中，与互为邻补角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断．【详解】解：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，只有选项A中的与互为邻补角．故选：A．【点睛】本题考查邻补角，关键是掌握邻补角的定义．【题型二对顶角、领补角性质的应用】例题：（2023上·山东滨州·七年级校考期中）如图，直线相交于点O，平分．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了角的计算：1直角；1平角，角平分线的定义和对顶角的性质．（1）根据角平分线定义和对顶角相等即可得到结论；（2）由题意得，根据，得到，然后与（1）的计算方法一样．【详解】（1）解：∵，平分，∴，∴；（2）解：∵，，∴．又∵平分，．【变式训练】1．（2023下·河南驻马店·七年级统考期中）如图，直线相交于点O．

(1)写出的邻补角．(2)写出的对顶角．(3)如果，求的度数．【答案】(1)的邻补角是；的邻补角是：(2)的对顶角是的对顶角是(3)132°【分析】（1）根据邻补角的定义进行求解即可；（2）根据对顶角的定义进行求解即可；（3）根据邻补角互补，对顶角相等进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得，的邻补角是；的邻补角是：；（2）解：由题意得，的对顶角是的对顶角是；（3）解：∵，∴．【点睛】本题主要考查了对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质，熟知对顶角相等，邻补角互补是解题的关键．2．（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分．(1)的对顶角为，的邻补角为；(2)若，求度数．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据对顶角的概念求解即可；（2）首先根据对顶角相等得到，然后由得到，利用邻补角求出，最后利用角平分线的概念求解即可．【详解】（1）的对顶角为，的邻补角为，故答案为：，；（2）由对顶角相等，得∵，∴，∴，∵平分，∴．【点睛】此题考查了对顶角，几何图形中角度的计算，角平分线的计算，邻补角等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【题型三垂线的定义的理解与应用】例题：如图，，，垂足为，则下面的结论中，不正确的是（）A．点到的垂线段是线段B．与互相垂直C．与互相垂直D．线段的长度是点到的距离【答案】A【分析】根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵，∴点C到的垂线段是线段的长度，原说法错误，故本选项符合题意；B、∵，∴，即与互相垂直，原说法正确，故本选项不符合题意；C、∵，垂足为E，∴与互相垂直，原说法正确，故本选项不符合题意；D、∵，∴，∴线段的长度是点D到的距离，原说法正确，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键．【变式训练】1．过点C向AB边作垂线段，下列画法中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据垂线段的定义逐个判断即可得出正确结论．【详解】解：A．此选项是过点A作BC边的垂线段，故错误；B．此选项是过点B作AB边的垂线段，故错误；C．此选项是过点C作AB边的垂线段，故此项正确；D．此选项是过点B作CA边的垂线段，故错误．故选：C．【点睛】本题考查了垂线段的定义及作法，是一道基础题，解题时要善于观察，准确理解垂线段的定义是解题的关键．2．如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（）①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥∠BAD=∠C．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题要根据垂线定义、垂线段定义（定理）、点到直线的距离定义，逐一判断．【详解】解：∵∠BAC=90°，∴①AB⊥AC正确，符合题意；∵∠DAC≠90°，∴AD与AC不互相垂直，所以②错误，不符合题意；点C到AB的垂线段应是线段AC，所以③错误，不符合题意；点A到BC的距离是线段AD的长度，所以④错误，不符合题意；线段AB的长度是点B到AC的距离，所以⑤正确，符合题意；同角的余角相等，则∠BAD=∠C，所以⑤正确，符合题意．综上，正确的有①⑤⑤共3个，故选：B．【点睛】本题考查了点到直线的距离，对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．【题型四利用垂线的定义求角的度数】例题：（2023上·河南商丘·七年级校考阶段练习）如图，直线、相交于点，射线在内部，且．过点作．(1)若，求的度数；(2)若，那么平分吗？为什么？【答案】(1)的度数为(2)能，理由见解析【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的有关计算，熟练掌握垂直的性质，根据题意得到角与角之间的数量关系是解题的关键．（1）根据直角的性质，可得，根据补角的定义得，再由，即可求解；（2）根据，，可得，再由，可得，从而得到，，即可求解．【详解】（1）解：（1），，，，，，的度数为；（2）证明：平分，理由如下：，，，，，，，，平分．【变式训练】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）已知：如图，直线与直线交点O，，平分．(1)如图1，求证：平分；(2)如图2，，在直线的下方，若平分，平分，，求的度数．【答案】(1)见详解(2)【分析】该题主要考查了角的和差倍分运算以及角平分线的定义、垂直定义、对顶角相等，解题的关键是找到图中角度之间的关系，列出等式；（1）根据垂直的定义得出根据角平分线的定义得出等量代换即可证明；（2）根据角平分线的定义得出，再根据角的和差倍分计算即可得出，结合（1）即可求解；【详解】（1），平分，，，，，平分．（2）平分，平分，，，，，，由（1）知，∴．2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）已知：直线、相交于点．

(1)如图1，，求的度数．(2)如图2，射线、在直线的上方，且，作平分，求与的数量关系．(3)如图3，在（2）的条件下，当于，在下方作于，射线在的内部，平分，若，，求的度数．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据已知条件和邻补角的定义，得出，再利用对顶角相等，即可求出的度数；（2）根据角平分线的定义，得到，，再利用角度计算，即可得出与的数量关系；（3）根据垂直和角平分线的定义，得到，进而得到，再根据，求得，，然后利用垂直和角平分线的定义，得到，再结合，求得，即可求出的度数．【详解】（1）解：，，，，；（2）解：，，平分，，，，，，即；（3）解：，，，，，，，，，，，，，，，，，平分，，，，，，．【点睛】本题考查了角度的计算，垂线的定义，角平分线的定义，补角和余角的性质，根据题意正确找出角度之间的数量关系是解题关键．【题型五点到直线的距离与垂线段最短】例题：如图，点，，是直线上的三点，点在直线外，，垂足为，，，，则点到直线的距离是______．【答案】【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短”进行解答．【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，又∵，垂足为，，∴点到直线的距离是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了垂线段最短的性质．理解和掌握该性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·七年级课时练习）如图，，垂足为D，，垂足为F，则点C到直线的距离是；点E到直线的距离是；点C到直线的距离是；点E到直线的距离是．【答案】线段的长线段的长线段的长线段的长【分析】点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，据此回答即可．【详解】解：∵，垂足为D，，垂足为F，∴点C到直线的距离是线段的长；点E到直线的距离是线段的长；点C到直线的距离是线段的长；点E到直线的距离是线段的长．故答案为：①线段的长；②线段的长；③线段的长；④线段的长【点睛】此题考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离的定义是解题的关键．2．如图，BC⊥AC，BC＝8cm，AC＝6cm，AB＝10cm．那么点B到AC的距离是_____，点A、B两点的距离是_____，点C到AB的距离是_____．【答案】

8cm##8厘米

10cm##10厘米

4.8cm【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD的长即为点C到AB的距离，再根据三角形的面积公式求出CD的长；再根据点到直线距离的定义即可得出结论．【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD的长即为点C到AB的距离，∵BC⊥AC，CB=8cm，AB=10cm，AC=6cm，∴BC•AC=AB•CD，∴CD=6×8÷10=4.8（cm），∴点B到AC的距离是BC的长8cm．点A、B两点的距离是AB的长10cm，点C到AB的距离是CD的长4.8cm．故答案为：8cm，10cm，4.8cm．【点睛】本题考查了点到直线的距离，是基础题，熟记点到直线的距离的定义是解题的关键．【题型六同位角、内错角、同旁内角的辨别】例题：（2023下·黑龙江绥化·七年级校考期中）如图，的同旁内角是，的内错角是，的同位角是．

【答案】【分析】两直线被第三条直线所截，同位角位于两直线同侧，第三条直线的同旁；内错角位于两直线之间，第三条直线的两侧；同旁内角位于两直线之间，第三条直线的同侧．【详解】解：由图可得：的同旁内角是；的内错角是；的同位角是，故答案为：；；．【点睛】本题涉及到三线八角的知识，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是关键．【变式训练】1．如图所示，与是_________角，是直线________和直线________被直线_____所截而形成的，与是_____角，是直线________和直线___________被直线__________所截而形成的．【答案】

内错

AB

CB

AC

同旁内

AC

BC

AB【分析】根据三线八角中的内错角，同旁内角定义即可得出答案．【详解】解：如图所示，与是内错角，是直线AB和直线CB被直线AC所截而形成的，与是同旁内角，是直线AC和直线BC被直线AB所截而形成的．故答案为内错；AB；CB；AC；同旁内；AC；BC；AB．【点睛】本题考查三线八角中的内错角，同旁内角，掌握三线八角中的截线与被截直线，内错角与同旁内角．2．如图，（1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线________所截得的________角；（2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线________所截得的________角；（3）∠3和∠ABC是直线________、________被直线________所截得的________角；（4）∠ABC和∠ACD是直线________、________被直线_________所截得的________角；（5）∠ABC和∠BCE是直线________、________被直线________所截得的________角．【答案】

BD（BC）

同位

AC

内错

AB

AC

BC

同旁内

AB

AC

BC

同位

AB

CE

BC

同旁内【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的性质判断即可；【详解】（1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线BD（BC）所截得的同位角；（2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线AC所截得的内错角；（3）∠3和∠ABC是直线AB、AC被直线BC所截得的同旁内角；（4）∠ABC和∠ACD是直线AB、AC被直线BC所截得的同位角；（5）∠ABC和∠BCE是直线AB、CE被直线BC所截得的同旁内角．故答案是：BD（BC）；同位；AC；内错；AB；AC；BC；同旁内；AB；AC；BC；同位；AB；CE；BC；同旁内．【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的判断，准确分析判断是解题的关键．【题型七平行线的判定】例题：（2022·山东泰安·七年级期末）如图，，，．请说明线段BE与DF的位置关系？为什么？【答案】BEDF，见解析【分析】由已知推出∠3+∠4=90°，利用，，得到∠1=∠4，即可得到结论BEDF．【详解】解：BEDF，∵，∴∠ABC=90°，∴∠3+∠4=90°，∵，，∴∠1=∠4，∴BEDF．【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键．【变式训练】1．已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，试说明的理由．【答案】见解析【分析】根据角平分线定义求出∠1＝∠EAC，根据已知求出∠C＝∠EAC，推出∠C＝∠1，根据平行线的判定得出结论．【详解】理由：∵AD平分∠EAC，∴∠1＝∠EAC，∵∠EAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C，∴∠C＝∠EAC，∴∠C＝∠1，∴ADBC．【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的判定，关键是根据定理和已知推出∠1＝∠C，题目比较典型，难度不大．2．如图，射线BC平分∠ABD，且∠1=110°，∠2=70°．求证：AB∥CD．【答案】见解析【分析】先根据角平分线的定义和对顶角相等可得出∠ABC=∠2=70°，再由对顶角相等可得出∠1=∠BCE=110°，则∠ABC+∠BCE=180°，由此可得出结论．【详解】证明：∵射线BC平分∠ABD，∴∠ABC=∠2，∵∠1=110°，∠2=70°，∠1=∠BCE，∴∠ABC=70°，∠BCE=110°，∴∠ABC+∠BCE=180°，∴AB∥CD．【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同旁内角互补，两直线平行．【题型八添加一条件使两条直线平行】例题：如图，点E在AC的延长线上，若要使，则需添加条件_______（写出一种即可）【答案】∠1=∠2等（写出一种即可）【分析】根据平行线的判定定理得出直接得出即可．【详解】解：∵当∠1=∠2时，（内错角相等，两直线平行）；∴若要使，则需添加条件∠1=∠2；故答案为：∠1=∠2．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．【变式训练】1．如图，填写一个能使ABCD的条件：_________．【答案】（答案不唯一）【分析】根据平行线的判定定理进行解答即可．【详解】解：填写的条件为：，，（内错角相等，两直线平行）．故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．2．如图，要使，需补充一个条件，你认为这个条件应该是______（填一个条件即可）．【答案】(答案不唯一）【分析】利用两线平行的判定方法，找到一组同位角相等即可．【详解】解：当时：，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查两直线平行的判定方法．利用同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，任选其一解题即可．【题型九根据平行线的性质与判定求角度】例题：（2023下·浙江温州·七年级校考期末）如图，已知，分别是射线，上的点．连接，平分，平分，．(1)试说明；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)的度数为【分析】（1）利用角平分线的定义可得，从而利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答；（2）根据已知可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角平分线的定义可得，再利用平角定义可得，最后进行计算可求出，从而求出的度数，即可解答．【详解】（1）解：平分，，，，；（2），，，，平分，，，，，，，的度数为．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023上·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，于点P．

(1)求证：；(2)若平分，交于点C，且，求的度数．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）利用已知可得，从而利用同角的余角相等可得，然后利用平行线的判定，即可解答：（2）利用（1）的结论可得，然后利用角平分线的定义可得，从而可得，进行计算即可解答．【详解】（1）证明：∵，（2）∵，平分【点睛】本题考查了垂线、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．2．（2023上·浙江金华·八年级校考开学考试）如图，在三角形中，是上一点，，交于点，是上一点，．(1)与平行吗？请说明理由；(2)若，求的度数．【答案】(1)平行，见解析(2)度【分析】（1）根据平行线的性质可得，等量代换得出，根据平行线的判定定理，即可得出结论；（2）根据平行线的性质可得，由（1）可得，进而得出，即可求解．【详解】（1）解：，理由如下；已知，两直线平行，同位角相等，已知，等量代换，同位角相等，两直线平行；（2）已知，，由（1）得，．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【题型十平行线的性质在生活中的应用】例题：已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度．【答案】120【分析】过点B作BF∥CD，因为AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度数，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入计算即可得出答案．【详解】解：过点B作BF∥CD，如图，由题意可知，∠ABF=90°，∵∠ABC=150°，∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，∵BF∥CD，∴∠FBC+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．故答案为：120．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．【变式训练】1．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，则∠2＝______．【答案】48°##48度【分析】根据平行线的性质解答即可．【详解】解：如图，∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3=180°，又∠1＝132°，∴∠3=180°-∠1=48°，∵水中的两条折射光线是平行的，∴∠2=∠3=48°，故答案为：48°．【点睛】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．2．如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．【答案】##60度【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图所示，过点O作，∵光线，都是水平线，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．【题型十一平行线的性质与判定综合应用】例题：（2023下·四川成都·八年级校考期中）如图1，中，的平分线交于O点，过O点作平行线交于D、E．(1)请写出图1中线段之间的数量关系？并说明理由．(2)如图2，若的平分线与的外角平分线交于O，过点O作平行线交于D，交于E．那么之间存在什么数量关系？并证明这种关系．【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析【分析】（1）和的平分线相交于点O，，所以，进而，即可求解；（2）和的平分线相交于点O，所以，过O点作平行线交于D、E．得，进而即可求解；【详解】（1）解：，理由如下：∵和的平分线相交于点O，∴，，∵过O点作平行线交于D、E．∴，∴，∴，∴，∴，即；（2），理由如下：∵和的平分线相交于点O，∴，∵过O点作平行线交于D、E．∴，∴，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查平行线的性质及证明，角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．【变式训练】1．（2023上·全国·八年级专题练习）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．(1)如图，当时，求的度数；(2)如图，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；(3)如图，在（）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值．【答案】(1)；(2)；(3)的值为，，，，，秒．【分析】（）过点作，利用平行线的性质可得，，再利用垂直定义即可得解；（）过点作，过点作，根据平行线的性质及判定以及角平分线的定义即可得解；（）分种情况求解即可．【详解】（1）解：如图，过点作，

∴，∵∴，∴，∵，∴；（2）解：如图过点作，过点作，

∵和的角平分线交于点，∴，，由（）得，∵，，∴，∵，设，则，∵，，∴，∴，，∵和的角平分线交于点，∴，，∴，∴；（3）解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，当旋转到在射线上时，有，此时，，解得（秒）

当旋转到平行于射线时，有，则，∴此时，，解得（秒）；

当旋转到平行于射线时，有，则，∴，此时，，解得（秒）

当旋转到在射线上时，有，此时，，解得（秒）

当旋转到平行于射线时，有，此时，，解得（秒）

当旋转到平行于射线时，有，，此时，解得（秒）

综上可知，的值为，，，，，秒．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，以及旋转的性质，熟练掌握平行线的判定与性质及分类讨论是解题的关键．2．（2023下·吉林长春·九年级校考阶段练习）如果两个角的差等于，就称这两个角互为“兄弟角”．其中一个角叫做另一个角的“兄弟角”．例如，，，则a和β互为“兄弟角”，即a是β的“兄弟角”，β也是α的“兄弟角”．

(1)已知和互为“兄弟角”．，且和互补，求的度数．(2)在中，，是的角平分线，①如图1，点P在射线上，平分，与射线交于点N，若与互为“兄弟角”，求的度数．②如图2，若，射线平分且与射线交于点N，若与互为“兄弟角”，则的度数为．③如图3，若于点P，、相交于点F，若与互为“兄弟角”，直接写出的度数．【答案】(1)(2)①②或③10°【分析】（1）根据和互为“兄弟角”和和互补，，列出关于和的方程组，解方程组即可；（2）①先根据角平分线的定义求出，再根据，可得，然后根据互为“兄弟角”，得，即可得出答案；②根据角平分线的定义及平行线的性质得，，可得，再根据直角三角形的性质得，然后结合，求出，最后根据互为“兄弟角”得出答案；③根据直角三角形的性质和角平分线的定义表示和，即可得出，再根据互为“兄弟角”得出答案．【详解】（1）∵和互为“兄弟角”，，且和互补，∴，①+②得：，∴；（2）①∵，，∴．∵平分，∴．∵是的角平分线，∴．∵，∴，即，∴．∵与互为“兄弟角”，∴，代入②，得：，把代入②得：；②∵是的角平分线，∴．∵，∴．∵平分，∴，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴．∵与互为“兄弟角”，∴，或，∴或．故答案为：或；③∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴，∴．∵与互为“兄弟角”，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、直角三角形的性质和平行线的性质，解题关键是能够根据条件找出角与角之间的数量关系．【题型十二命题的判定与逆命题】例题：下列命题是真命题的是（

）A．同位角相等B．两个锐角的和是锐角C．若两个角的和为，则这两个角互补D．相等的角是对顶角【答案】C【分析】根据平行线的性质，补角的定义，锐角的定义，对顶角的定义逐项进行判断即可．【详解】解：、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、两个锐角的和可能是锐角、钝角，也可能是直角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、若两个角的和为，则这两个角互补，正确，是真命题，符合题意；D、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，补角的定义，锐角的定义，对顶角的定义．【变式训练】1．下列命题中，其逆命题是假命题的是（

）A．同旁内角互补，两直线平行 B．若，则C．锐角与钝角互为补角 D．相等的角是对顶角【答案】C【分析】先写出各选项的逆命题，再逐个判断即可．【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，为真命题，选项不符合题意；B、若，则的逆命题为若，则，为真命题，选项不符合题意；C、锐角与钝角互为补角的逆命题为若两个角互补，则这两个角分别为锐角、钝角，为假命题，选项符合题意；D、相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，为真命题，选项不符合题意；故选：C【点睛】此题考查了命题的逆命题以及真假命题，解题的关键是正确写出命题的逆命题．2．下列命题的逆命题正确的是(

)A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等【答案】B【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确．【详解】解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题；B的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题；C的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题；D的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题；故选：B．【点睛】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握，比较简单．【题型十三生活中的平移现象】例题：（2023下·广西南宁·七年级校考期中）下图是德胜中学的校徽，将它通过平移可得到的图形是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据平移前后，图形的形状，大小，方向均不变，进行判断即可．【详解】A、校徽左右交换位置得到，故选项错误，不符合题意；B、向下旋转得到，故选项错误，不符合题意；C、是通过平移得到，故选项正确，符合题意；D、顺时针旋转故选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了图形的平移，解题的关键是熟知图形平移的性质．【变式训练】1．（2024上·黑龙江绥化·七年级校考期末）下列运动属于平移的是（

）A．荡秋千 B．地球绕着太阳转C．风筝在空中随风飘动 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动【答案】D【分析】此题考查的是平移的判断，掌握平移的定义是解决此题的关键．根据平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，逐一判断即可．【详解】A．荡秋千不属于平移，故本选项不符合题意；

B．地球绕着太阳转不属于平移，故本选项不符合题意；C．风筝在空中随风飘动不属于平移，故本选项不符合题意；

D．急刹车时，汽车在地面上的滑动属于平移，故本选项符合题意；故选D．2．（2023下·浙江温州·七年级温州市第十二中学校联考期中）下列大学校徽可以看成是由图案自身的一部分经平移后得到的为（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，结合图案，对选项一一分析，排除错误答案．【详解】解：A、是一个对称图形，不能由平移得到，故不符合题意；B、是一个对称图形，不能由平移得到，故不符合题意；C、图案自身的一部分沿着直线运动而得到，是平移，故符合题意；D、图案自身的一部分经轴对称而得到，故不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．【题型十四图形的平移】例题：（2023下·天津东丽·七年级统考期中）如图，沿方向平移得到，已知，，则平移的距离．

【答案】3【分析】如图，由与之间位置关系，可知的长度即平移的距离．【详解】解：如图，，即移动距离为3；故答案为：3．【点睛】本题考查图形的平移，理解平移前后图形间的对应关系是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·重庆·七年级统考期末）如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为．

【答案】【分析】由题意可知，阴影部分是正方形的面积减去矩形的面积，根据平移的距离分别求出矩形的长和宽．从而求出阴影部分的面积．【详解】解：如图所示，

∵将边长为的正方形向上平移，∴，．∵将正方形再向右平移得，．．．即阴影部分的面积为．故答案为：．【点睛】本题考查了平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，熟练掌握平移的性质是解题关键．2．（2023下·浙江温州·七年级校考阶段练习）如图，长方形中，，，现将该长方形沿方向平移，得到长方形，若重叠部分的面积为16，则长方形向右平移的距离为cm．【答案】6【分析】根据重叠部分的面积求出的长，然后根据平移的性质可知，平移的距离为线段与线段的差，即可得到答案．【详解】解：重叠部分为矩形，面积为，，，，．故答案为：6．【点睛】本题考查了平移的性质，矩形的性质，解题关键是确定平移的距离为线段与线段的差．【题型十五平移作图】例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在小正方形的顶点上．(1)把先向右移动5个单位长度，再向下移动3个单位长度得到，画出（其中点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为）；(2)连接，，判定与的位置关系，并写出的面积．【答案】(1)见解析(2)，7【分析】本题考查作图—平移变换、三角形的面积：（1）根据平移的性质作图即可．（2）根据平移的性质可知；利用割补法求三角形的面积即可．【详解】（1）解：如图，即为所求．（2）解：由平移可知，．的面积为．【变式训练】1．（2022下·福建厦门·七年级校考期中）（1）把进行平移，得到，使点A与对应，请在网格中画出；

（2）线段与线段的关系是：__________；（3）求出的面积．【答案】（1）答案见解析；（2）平行且相等；（3）3.