2023–2024学年七年级数学下册单元速记与巧练（人教版）第六章 实数知识突破（原卷版）

第六章实数（知识归纳+题型突破）1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.知识点一：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论知识点二：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：按与0的大小关系分：实数实数特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即().非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【题型一无理数的识别】例题：在实数0、、、、、（相邻两个1之间有1个0）中，无理数的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练】1．在实数（每两个1之间多一个0）中，无理数的个数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．在，，，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【题型二实数的分类】例题：把下列各数分别填入相应的集合里：，0，，，，，，有理数集合：{_____________________}；无理数集合：{______________________}；负实数集合：{______________________}．【变式训练】1．把下列各数分别填入相应的集合内：，，，，，0，（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）2．把下列各数填到相应的集合内只填序号：；；；：；；；；；（相邻两个之间的个数逐次加一）有理数集合：___________________________．无理数集合：___________________________．正实数集合：___________________________．负实数集合：__________________________．【题型三求一个数的算术平方根、平方根、立方根】例题：1的平方根为______，8的立方根为______，9的算术平方根为______．【变式训练】1．的平方根是__________，的算术平方根是__________．2．25的平方根是_______，的算术平方根是_______，的立方根是_________．【题型四利用算术平方根的非负性解题】例题：若+（b﹣2）2＝0，则a+b＝_____．【变式训练】1．（2023上·浙江杭州·七年级校考期中）若，则的值是（

）A． B．1 C． D．20242．（2023下·江苏·八年级专题练习）已知，则．3．（2023下·七年级课时练习）已知，则的算术平方根是.【题型五利用平方根、立方根解方程】例题：求出下列x的值：(1)4x2-9=0(2)8（x+1）3=125【变式训练】1．求的值：(1)；(2)．2．解方程：(1)3x2﹣27＝0；(2)（x﹣1）2(3)8（x﹣1）3【题型六算术平方根和立方根的综合应用】例题：（2023上·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）已知的立方根是的算术平方根为．(1)分别求的值；(2)求的平方根．【变式训练】1．（2023上·山东济南·八年级统考期中）已知：的立方根是的算术平方根3．(1)求的值；(2)求的平方根．2．（2023上·甘肃定西·七年级校考期末）已知的两个平方根分别是，的立方根为2．(1)求的平方根；(2)若的算术平方根是3，求的立方根．【题型七实数与数轴】例题：如图，正方形的面积为7.顶点A在数轴上表示的数为1，点E在数轴上，且，则点E表示的数是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．如图所示，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点在数轴上（点在点A左侧），且，则点所表示的数为（

）A． B． C． D．2．如图，在数轴上，两点表示的数分别为1，，，则点所表示的数为（

）A． B． C． D．【题型八实数的大小比较】例题：比较大小：______．【变式训练】1．比较大小：______．2．比较大小：（1）_____；（2）_____（3）_____；（4）_____．【题型九实数的混合运算】例题：计算：．【变式训练】1．（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）计算：(1)；(2)．2．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）计算：(1)；(2)．3．（2023上·江苏常州·八年级校考期中）计算：(1)；(2)．【题型十程序设计与实数运算】例题：如图，是一个计