2023–2024学年七年级数学下册单元速记与巧练（人教版）第九章 不等式与不等式组压轴专练（解析版）

第九章不等式与不等式组（压轴题专练）目录TOC\o"1-3"\h\u【题型一根据一元一次不等式的定义求参数的值】 1【题型二根据一元一次不等式的解集求参数】 3【题型三利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】 4【题型四根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 7【题型五整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】 9【题型六整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题】 11【题型七二元一次方程组与一元一次不等式组综合解决实际问题】 15【题型八一元一次不等式组与平面直角坐标系的综合问题】 20【题型一根据一元一次不等式的定义求参数的值】例题：（22·23八年级下·河南郑州·期中）已知是关于x的一元一次不等式，那么．【答案】-1【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，所以，求解即可；【详解】解：根据题意得：，解得：．故答案是：-1．【点睛】本题主要是对一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件的考查【变式训练】1．（2023七年级下·全国·专题练习）若关于的一元一次不等式，则的值（）A． B．1或 C．或 D．【答案】C【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可．【详解】解：是关于的一元一次不等式，，或．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．2．（22·23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为．【答案】【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可．【详解】∵是关于x的一元一次不等式，∴，，解得：，故答案为：．【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．3．（22·23八年级下·重庆南岸·阶段练习）关于x的不等式是一元一次不等式，则不等式的解集为．【答案】【分析】先根据一元一次不等式的概念得出的值，代入不等式，解之可得．【详解】解：∵不等式是一元一次不等式，∴，解得：，则不等式为：，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义和解一元一次不等式的步骤．4．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为．【答案】【分析】根据一元一次不等式定义，抓住一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数最高次数为1次列式求解即可得到答案．【详解】解：是关于的一元一次不等式，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义列出方程与不等式求解是解决问题的关键．【题型二根据一元一次不等式的解集求参数】例题：（23·24八年级上·浙江温州·期中）如果关于的不等式的正整数解仅为，那么整数的所有取值之和是．【答案】【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点的理解和掌握，求出不等式的解集，根据题意得出，即，求出为，，即可求得整数的所有取值之和为．【详解】解：，，，关于的不等式的正整数解仅为，，整数为，其和为，故答案为．【变式训练】1．（23·24七年级上·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集为，则m的值为．【答案】3【分析】考查了解一元一次不等式，和解一元一次方程组，根据不等式的解集为列出关于的方程是解题的关键．先根据不等式的基本性质把不等式去分母、去括号、再移项、合并同类项求出的取值范围，再与已知解集相比较即可求出的取值范围．【详解】解：去括号得：移项得：合并同类项得；系数化为1得；，不等式的解集为．．解得：故答案为：3．2．（2024下·全国·七年级假期作业）已知关于x的不等式x＞的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为．【答案】1【解析】略3．（2023·黑龙江大庆·统考三模）若关于x的一元一次不等式有且只有5个正整数解，则n的取值范围是．【答案】【分析】先解不等式，从而可得，然后根据题意可得，从而进行计算即可解答．【详解】解：∵，∴，∴，∵关于x的一元一次不等式有且只有5个正整数解，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．【题型三利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】例题：（2023下·四川巴中·七年级统考期末）关于的不等式组仅有4个整数解，则的取值范围为．【答案】【分析】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解不等式组，即可确定不等式组的整数解，即可确定的范围．【详解】解：，由得：，由得：．不等式组有四个整数解，不等式组的整数解是：，0，1，2．则实数的取值范围是：．故答案为：．【变式训练】1．（2024上·山东滨州·七年级统考期末）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是．【答案】/【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．先解不等式组，再根据仅有4个整数解，得出关于的不等式，求解即可．【详解】解∶解得：，关于的不等式组的整数解仅有4个，，解得：，故答案为：．2．（2024上·浙江绍兴·八年级统考期末）若关于的不等式组只有一个整数解，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于的不等式组只有一个整数解，即可得到的取值范围．【详解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，关于的不等式组只有一个整数解，，故答案为：．3．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）若关于x的不等式组恰有三个整数解，则实数a的取值范围是．【答案】/【分析】此题考查了不等式组的解法，同时能够根据它的整数解正确分析其字母的取值范围．首先熟练解得每个不等式，再根据它恰有三个整数解，分析出它的整数解，进而求得数a的取值范围是．【详解】解：由①，得；由②，得．根据题意，得它的三个整数解只能是2，3，4，所以，解得：．故答案为：．4．（2024下·全国·八年级专题练习）关于x的不等式组无整数解，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】本题主要考查了不等式组的解集问题，解题的关键是熟练掌握解不等式组的一般方法．先分别求出两个不等式的解集为，然后分两种情况进行讨论：当不等式有解时，当不等式无解时，分别求出结果即可．【详解】解：，由不等式①，得：，由不等式②，得：，当不等式有解时，，解得：；当不等式无解时，，解得：；综合可得，实数a的取值范围是．【题型四根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】例题：（2024上·陕西西安·八年级陕西师大附中校考期末）若不等式组的解集为，则a的取值范围是．【答案】【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，熟练掌握同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）是解题的关键．根据确定解集的方法即可得到答案．【详解】解：∵不等式组的解集是，∴．故答案为：．【变式训练】1．（2024上·湖南常德·八年级校联考期末）若不等式组有解，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了根据不等式组解的情况确定参数的取值范围，借助数轴数形结合是关键．求得第一个不等式的解集，借助数轴即可求得m的取值范围．【详解】解：解不等式，得因不等式组有解，∴当时，满足不等式组有解故答案为：2．（2023下·山东淄博·七年级统考期末）已知关于的不等式组的解集为，则的值为．【答案】1【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合已知不等式组的解集得出关于a的值．【详解】解：解不等式，得：,解不等式，得：，∴不等式组的解集为，∵不等式组的解集为，∴，解得，故答案为：1．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3．（2023下·山东菏泽·九年级统考期中）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是．【答案】/【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组无解，得出关于的不等式，进行计算即可得到答案．【详解】解：，解不等式得，，解不等式得，，，，，关于的不等式组无解，，，故答案为：．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【题型五整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】例题：（23·24七年级上·重庆北碚·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程的解．先解方程组得到，，相加可得到，所以，然后解不等式得到的取值范围．【详解】解：，得，将代入②，得，解得，∴，，解得，即的取值范围为．故答案为：．【变式训练】1．（23·24八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知方程组的解满足，则取值范围是．【答案】【分析】两方程相加，得，求解即可．【详解】解：，①+②得，，∴解得．故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，不等式的求解；熟练掌握相关知识是解题的关键．2．（2023上·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试）若关于，的二元一次方程的解满足，求的取值范围．【答案】【分析】①+②得，，进而可得，根据已知条件，列出不等式，解不等式，即可求解．【详解】解：，①+②得，，∴，∵，∴，解得：．【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，求一次不等式的解集，得出是解题的关键．3．（2023下·四川达州·八年级校考阶段练习）已知关于、的方程组的解适合不等式，求的取值范围．【答案】【分析】由已知方程组可得，再代入不等式中即可求出的取值范围．【详解】解：，由得：，∵，∴，所以．【点睛】本题考查的是二元一次方程组及一元一次不等式的解法，根据题意求出是解答此题的关键．【题型六整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题】例题：（2024上·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期末）若数a既使得关于的二元一次方程组有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的a的值之和为．【答案】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，先解二元一次方程组可得：，再解一元一次不等式组，从而可得，进而可得：，然后根据已知二元一次方程组有正整数解，从而可得是正整数且也是正整数，进而可得，或，最后进行计算即可解答．【详解】解：，解得：，，解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式组的解集为，∴，解得：，∵二元一次方程组有正整数解，∴是正整数且也是正整数，∴，或，∴所有满足条件的a的值之和，故答案为：．【变式训练】1．（22·23七年级下·河南周口·期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足且关于的不等式组无解，则的取值范围是．【答案】【分析】先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再结合已知条件求出的范围，即可求解．【详解】解方程组得：∵方程组的解满足∴，解得解不等式组得：∵关于的不等式组无解∴，解得∴故答案为：．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键．2．（22·23七年级下·河南周口·阶段练习）若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为．【答案】或或【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到或或，据此求解即可．【详解】解：，解不等式①得，解不等式②得，，不等式组至少有4个整数解，∴，∴，解方程组，得：，解得，将代入②得：，解得方程组的解为：，∵，∴，关于的方程组的解为整数，或或，或或，当时，，此时是整数，符合题意；当时，，此时是整数，符合题意；当时，，此时是整数，符合题意；所有满足条件的整数的值为或或，故答案为：或或．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围，熟练掌握一元一次不等式组以及二元一次方程组的解法．3．（2023下·湖南长沙·七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）已知关于x、y的方程组．(1)若此方程组的解满足，求a的取值范围；(2)在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值．【答案】(1)(2)、0【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式；（1）根据列出关于的不等式，可解得的范围；（2）结合（1），由为整数，可得的值．【详解】（1），①②得：，，，，解得；（2）关于的不等式的解集为，，，，，满足条件的的整数值是、0．【题型七二元一次方程组与一元一次不等式组综合解决实际问题】例题：（23·24八年级下·湖南株洲·期末）为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元．(1)求A，B两种品牌的足球的单价．(2)2023年学校购买足球的预算为6400元，总共购买100个球且购买A品牌足球的数量不多于B品牌足球数量的2倍，有几种购买方案．【答案】(1)品牌的足球的单价为40元个，品牌的足球的单价为100元个．(2)有7种购买方案．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于、的二元一次方程组；（2）根据总价单价数量，列式计算．（1）设品牌的足球的单价为元个，品牌的足球的单价为元个，根据“购买2个品牌的足球和3个品牌的足球共需380元；购买4个品牌的足球和2个品牌的足球共需360元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总价单价数量，列式计算，即可求出结论．【详解】（1）设品牌的足球的单价为元个，品牌的足球的单价为元个，根据题意得：，解得：．答：品牌的足球的单价为40元个，品牌的足球的单价为100元个．（2）设购买品牌足球个，则购买品牌足球个．则，，可取60，61，62，63，64，65，66共7种购买方案．答：有7种购买方案．【变式训练】1．（23·24八年级上·浙江温州·阶段练习）某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买3套A型和5套B型课桌凳共需1640元．(1)求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？(2)学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种购买方案？怎样的方案使总费用最低？并求出最低消费．【答案】(1)购买A型需180元/套，B型需220元/套(2)共有3套购买方案；当购买A型80套，B型120套时，费用最低，为40800元．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是能找准等量关系，（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组求解即可；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组并求解即可．【详解】（1）设A型课桌凳a元/套，B型课桌凳b元/套则，解得答：购买A型需180元/套，B型需220元/套．（2）设购买A型x套，B型套．则，解得∴又∵x是整数，∴，79，80．当时，费用为元；当时，费用为40840元；当时，费用为40800元；答：共有3套购买方案；当购买A型80套，B型120套时，费用最低，为40800元．2．（23·24八年级上·浙江金华·期中）某旅游景点的一个商场为了抓住旅游旺季的商机，决定购进甲，乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需要160元：购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元．(1)购进甲乙两种纪念品每件各需要多少元？(2)该商场决定购进甲乙两种纪念品共100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购买这些纪念品的资金不少于6000元，同时甲种纪念品又不能超过55件，则该商场共有几种进货方案？(3)若销售每件甲种纪念品可获利30元，每件乙种纪念品可获利12元，在第（2）问中的各种进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？【答案】(1)购进甲乙两种纪念品每件各需80元和40元(2)共有6种进货方案(3)购进甲种纪念品55件，购进乙种纪念品45件利润最大，最大利润为2190元【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用．（1）设购进甲乙两种纪念品每件各需要x元和y元，根据购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需要160元：购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元，列出二元一次方程组进行求解即可；（2）设购进甲种纪念品m件，则乙种纪念品件，根据题意，列出不等式组进行求解即可；（3）根据甲的利润高于乙的利润，得到甲的数量越多，利润越大，列式计算即可．读懂题意，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键．【详解】（1）解：设购进甲乙两种纪念品每件各需要x元和y元，依题意得：，解得，答：购进甲乙两种纪念品每件各需80元和40元．（2）设购进甲种纪念品m件，则乙种纪念品件，依题意得：，解得，∵m只能取正整数，∴50，51，52，53，54，55，所以共有6种进货方案；（3）因为甲种纪念品获利最高，所以甲种纪念品的数量越多总利润越高，因此选择购进甲种纪念品55件，乙种纪念品45件利润最高，总利润（元）．答：购进甲种纪念品55件，购进乙种纪念品45件利润最大，最大利润为2190元．3．（22·23七年级下·云南曲靖·期末）阅读下列信息：信息一：为了喜迎党的二十大召开，某校在今年5月举行了党的知识竞赛，竞赛试卷共25道题目，每道题都给出四个答案，其中只有一个答案正确，参赛者选对得4分，不选或者选错扣2分，得分不低于80分者获奖．信息二：为奖励获奖同学，学校准备购买A、B两种型号的书包作为奖品，已知购买3个A型书包和2个B型书包需520元，购买4个A型书包和买6个B型书包所花的钱一样多．信息三：学校准备用不超过10000元的钱来完成这次活动（用于活动材料费及购买奖品），其中活动材料费刚好用了1800元，剩余的钱用于购买两种型号的书包共90个作为奖品，其中A型书包的数量不低于B型书包数量的．解答下列问题：(1)李楠同学是获奖者，他至少应选对几道题？(2)求A型书包和B型书包的单价；(3)请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．【答案】(1)至少应选对22道题(2)1个A型书包的价格为120元，1个B型书包的价格为80元(3)购买A型书包23个，B型书包67个费用最少，最少费用为8120元【分析】（1）设应选对x道题，然后根据“得分不低于80分者获奖”列不等式求得x的取值范围，然后再根据x为整数即可解答；（2）设1个A型书包的价格为a元，1个B型书包的价格为b元，然后根据“已知购买3个A型书包和2个B型书包需520元，购买4个A型书包和买6个B型书包所花的钱一样多”列二元一次方程组解答即可；（3）设购买A型书包m个，则购买B型书包个．然后根据题意列不等式组求得m的取值范围，进而确定m的值，然后根据m的取值确定方案并求得花费，最后比较即可解答．【详解】（1）解：设应选对x道题，根据题意可得：．解得：．∵x为正整数，∴x最小为22．答：至少应选对22道题．（2）解：设1个A型书包的价格为a元，1个B型书包的价格为b元，依题意得：，解得：．答：1个A型书包的价格为120元，1个B型书包的价格为80元．（3）解：设购买A型书包m个，则购买B型书包个．依题意得：，解得：．又∵m为整数，∴m可以为23，24，25．∴共有3种购买方案．方案1：购买A型书包23个，B型书包67个，所需费用为（元）；方案2：购买A型书包24个，B型书包66个，所需费用为（元）；方案3：购买A型书包55个，B型书包65个，所需费用为（元）．∵，∴方案1购买A型书包23个，B型书包67个费用最少，最少费用为8120元．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用等知识点，根据题意列出不等式组和二元一次方程组是解答本题的关键．【题型八一元一次不等式组与平面直角坐标系的综合问题】例题：（22·23七年级下·江苏南通·阶段练习）对于平面直角坐标系中两个不重合的点M，N，给出如下定义：若点M到两坐标轴的距离中的最大值与点N到两坐标轴的距离中的最大值相等，则称M，N两点为“远等点”．例如：点与点即为“远等点”．(1)已知点A坐标为．①在点，，中，为点A的“远等点”的是______；②若点B坐标为，A，B两点为“远等点”，则点B的坐标为______；(2)已知点C坐标为，点D坐标为，其中，若C，D两点为“远等点”，求m的值．【答案】(1)①A的“远等点”的是P，Q；②B的坐标为：或；(2)m的值为1或2．【分析】（1）①分别求解A，P，Q，R到坐标轴的最大距离，再根据新定义可得答案；②当时，则，到坐标轴的最大距离为，当时，则，到坐标轴的最大距离为，再建立方程求解即可；（2）由，可得，，C到坐标轴的最大距离为，当时，即时，D到坐标轴的最大距离是4，再建立方程求解即可；当，则，D到坐标轴的最大距离是，再建立方程求解即可．【详解】（1）解：①∵点A坐标为，∴A到坐标轴的最大距离为4，∵，到坐标轴的距离最大值为4，到坐标轴的距离最大值为3，根据新定义可得：A的“远等点”的是P，Q；②当时，则，到坐标轴的最大距离为，∵A，B两点为“远等点”，∴，解得，∴，当时，则，∴到坐标轴的最大距离为，∵A，B两点为“远等点”，∴，解得，∴，综上：B的坐标为：或；（2）∵，∴，，∴C到坐标轴的最大距离为，当时，即时，∴D到坐标轴的最大距离是4，∴，解得：，