线面垂直高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2直线与平面垂直第八章立体几何初步2024/9/221

2024/9/222☀探究：将一本书打开直立在桌面上，观察书脊所在直线与桌面的位置关系，以及书脊与每页书和桌面的交线的位置关系.2024/9/223Pα

垂足

（直线与平面垂直的定义）一般地，如果直线𝑙与平面𝛼内的任意一条直线都垂直，我们就说直线𝑙与平面𝛼互相垂直，记作𝑙⊥𝛼.直线𝑙叫做平面𝛼的垂线平面𝛼叫做直线𝑙的垂面直线与平面垂直时，它们唯一的公共点𝑃叫做垂足辨析若直线𝑙与平面𝛼内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面.若𝑙⊥𝛼，𝑚⊂𝛼，则𝑙⊥𝑚.直线𝑙不垂直于𝛼，则𝛼内没有与𝑙垂直的直线.2024/9/224在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.推广：过空间一点垂直于已知平面的直线有几条?证明（反证法）如图，假设过点P两条直线𝑚,𝑛垂直于同一平面𝛼，设直线𝑚,𝑛确定的平面为𝛽，且𝛼⋂𝛽=𝐴𝐵，𝐴𝐵⊂𝛼，由线面垂直的定义可知，𝑚⊥𝐴𝐵,𝑛⊥𝐴𝐵，这与“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，所以，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.2024/9/225（点到平面的距离）过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.2024/9/226探究2024/9/227（直线与平面垂直的判定定理）如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.符号语言图形语言2024/9/228mnP例3求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.2024/9/229（直线与平面所成角）过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.取值范围？2024/9/2210例42024/9/2211探究点二

证明直线与平面垂直图8-6-8

图8-6-9

［素养小结］（1）利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的一般步骤:①在这个平面内找两条直线,使它们和已知直线垂直;②确定这个平面内的两条直线是相交直线;③根据判定定理得出结论.（2）证明线面垂直的常用方法除利用判定定理外，还可用以下结论：

图8-6-12

ABC

1.直线与平面垂直概念的理解（1）定义中强调的是垂直于平面内的任意一条直线（即所有直线）,而不能用垂直于平面内的无数条直线来代替.（2）若一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,则这条直线就一定不与这个平面垂直.（3）直线与平面垂直的定义既可用作线面垂直的判定,也可作为线面垂直的性质.2.线面垂直的判定定理解读（1）线面垂直的判定定理可简述为“若线线垂直,则线面垂直”.（2）在利用线面垂直的判定定理时,一定要注意这条直线和平面内的两条相交直线垂直（一交一内一垂直）.证明线面垂直的方法:（1）由线线垂直证明线面垂直:①定义法（不常用）;②判定定理（最常用）,要着力寻找平面内的两条相交直线（有时需要作辅助线）,使它们与所给直线垂直.

8.6.2直线与平面垂直第八章立体几何初步2024/9/2220TURNOFFTHELIGHTSFORBETTEREXPERIENCETURNOFFTHELIGHTSFORBETTEREXPERIENCE（直线与平面垂直的判定定理）如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.符号语言图形语言2024/9/2223mnP思考1：如果一条直线垂直于一个平面，

那么这条直线和该平面内的直线有何关系？如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线.思考2：在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，那么在空间中呢？垂直于同一条直线的两条直线平行吗？垂直于同一个平面的两条直线又有什么关系呢？2024/9/2224（直线与平面垂直的性质定理）垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言图象语言证明（反证法）2024/9/2225（直线到平面的距离）当一条直线与一个平面平行时，直线上任意一点到平面的距离都相等，我们称这个距离为这条直线到这个平面的距离．（两个平行平面间的距离）当两个平面平行时，其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把这个距离叫做两个平行平面间的距离．2024/9/2226探究点一

求直线与平面所成的角图8-6-14

［素养小结］求直线与平面所成的角的一般步骤:（1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;（2）垂足和斜足所在直线即为斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;（3）把该角放在某个三角形中,通过解三角形求出该角.探究点二

线面垂直的性质定理的应用图8-6-15

平行

1.确定点（或线）在平面内射影位置的常用方法（1）如果一个角所在平面外一点到角两边的距离相等,那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上.（2）经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线,如果斜线与这个角的两边的夹角相等,那么斜线在这个平面内的射影是这个角的平分线所在直线.

图8-6-17

［素养小结］1.利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的一点到平面的距离.2.利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到