高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：08 圆的方程（学生版+解析版）

专题08圆的方程

一、单选题

1.(2020•湖南省高二月考)曲线方程V+V+Ex—y+4=0表示一个圆的充要条件为()

A.E>15B.E>15C.E2>15D.E2>15

2.(2019•浙江省高二期中)圆心在(2,-1)上，半径为3的圆的标准方程为()

A.(x-2)2+(,+1)2=3B.-2)2+(y+l)2=9

C.(x—2)~+(y—1)~=3D.(无一2)~+(y—1)~=9

3.(2020•北京高三一模)设4(2,—1),3(4,1),则以线段A3为直径的圆的方程是()

A.(X-3)2+/=2B.(x-3)2+y2=8

C.(x+3)2+V=2D.(x+3)2+y2=8

4.(2020•吴江汾湖高级中学高一月考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()

A.(x-1)-+(y-l)2=1

B.(x+l)2+(y+1『=1

C.(x+l)2+(y+l)2=2

D.(x-1)"+(y-l)--2

5.(2019•瓦房店市实验高级中学高二月考)已知点4(3,6),C(l,0),则AA3C外接圆的圆心

坐标为()

A.(5,2)B.(-5,2)C.(2,5)D.(5,-2)

6.(2020•陕西省陕西师大附中高一期末)若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x—3y=0和x

轴相切，则该圆的标准方程是()

A.(x-2)2+(y-l)2=1B.-3)2+[y—g]=1

C.（X-1）2+（J-3）2=1D.1x—S+（>-1）2=1

7.（2020•江苏省王渔昌中学高一开学考试）已知圆M与直线3x—4y=0和3x—4y+10=0都相切，圆心

在直线y=-x—4上，则圆”的方程为（）

A.（x+3）2+（y-1-=1B.（x-3）2+（y+l）2=1

C.（x+3）2+（y+l）2=1D.（x-3）2+（y-l）2=1

8.（2020•广东省高三月考（理））已知圆好+丁2=i,点A。。），AA3C内接于圆，且N54C=60。，当3,

C在圆上运动时，3c中点的轨迹方程是（）

11

2222

X+y-X+y-

A.2-B.4-

C.X2+y2=-|x<-ID.X2+y2=x<-I

-212）-414；

9.（2020•全国高三月考（理））已知圆C过点（4,6）,（-2,—2）,（5,5）,点在圆。上，则ACMN面积

的最大值为（）

25

A.100B.25C.50D.——

2

10.（2019•全国高三二模（文））已知2,m+2n,一6成等差数列，则圆C：（犬一3行）+（>+1）?=4上

的点到点距离的最大值为（）

A.1B.2C.5D.3-75

二、多选题

11.（2019•辽宁省高二期末）圆x2+y2-4x_l=o（）

A.关于点（2,0）对称B.关于直线y=0对称

C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线%-丁+2=0对称

12.（2019・福建省南安第一中学高二月考）己知点P（cosasin8）（8eH）,直线/:x+枢y—4=0,下列

结论正确的是（）

A./恒过定点（4,0）

B.|（9P|=1（O为坐标原点）

C.尸到直线/的距离有最小值，最小值为3

D.P到直线/的距离有最大值，最大值为5

13.（2019•福建省高一期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两

个定点A,3的距离之比为定值4（/1w1）的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗

PA1

尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中,4（—2,0）,3（4,0）,点PW足用=耳.设点p的轨迹为C,

下列结论正确的是（）

A.。的方程为（x+4）?+y2=9

B.在％轴上存在异于A,3的两定点RE,使得\P屈D\=

\PE\2

C.当三点不共线时，射线PO是Z4PB的平分线

D.在C上存在点/，使得|MO|=2|M4|

三、填空题

14.（2019•江苏省南京师大附中高三一模）圆C:（x+iy+（y—2）2=4关于直线y=2x—1的对称圆的方程

为.

15.（2020•广东省红岭中学高二期末）方程必+/一2%+机〉一根一3=0表示圆C中，则圆C面积的最小

值等于.

16.（2。2。・全国高三月考《理））已知点。。。），A（4,。），〃是圆C-V上一点，则黑

的最小值为

17.（2019•山东省高三期中）已知圆心在直线x-3y=0上的圆。与y轴的正半轴相切，且截％轴所得的弦

长为4形，则圆。的方程为，则点「（6,5）到圆。上动点。的距离最大值为.

四、解答题

18.（2019•四川省仁寿一中高二期中（文））求过点A（0,6）且与圆C：『+俨+10尤+ioy=。切于原点的圆的

方程.

19.（2019•吉林省东北师大附中高一月考）已知一个圆与y轴相切，在直线y=x上截得弦长为24，且

圆心在直线x-3y=0上，求此圆的方程.

20.（2020•吴江汾湖高级中学高一月考）已知圆C：x=+y2+Dx+Ey+3=0,圆C关于直线x+y-1=0

对称，圆心在第二象限，半径为也.

（1）求圆C的方程；

（2）直线［与圆C相切，且在久轴、y轴上的截距相等，求直线［的方程.

21.（2019•四川省成都七中高二期中（理））已知圆尸过4（5,—2）,3（0,3）,C（4,l）.

（1）求圆P的方程；

（2）若过点/（-3,-3）的直线/被圆尸所截得的弦长为8,求直线/的方程.

22.（2019•瓦房店市实验高级中学高二月考）圆C过点A（6,0）,8（1,5）,且圆心在直线/：2x—7y+8=0

上.

（1）求圆。的方程；

（2）P为圆C上的任意一点，定点。（8,0）,求线段PQ中点M的轨迹方程.

23.（2019•四川省成都七中高二期中（理））已知圆C的圆心在直线3尤+2y=0上，并且与x轴的交点分别

为4-2,0）,3（6,0）.

（1）求圆C的方程；

（2）若直线/过原点且垂直于直线3x+2y=0,直线/交圆C于M,N,求△w（次的面积.

专题08圆的方程

一、单选题

1.（2020.湖南省高二月考）曲线方程/+丁2+Ex—丁+4=0表示一个圆的充要条件为（）

A.E>15B.E>15C.E1>15D.E2>15

【答案】C

【解析】

表示圆的充要条件是石2+（_1）2—4X4>0,即石2>5

故选：C.

2.(2019•浙江省高二期中)圆心在(2,-1)上，半径为3的圆的标准方程为()

A.(X-2)2+(,+1)2=3B.(x-2)2+(y+l)2=9

C.(x-2)2+(y-1)2=3D.(^-2)2+(y-l)2=9

【答案】B

【解析】

圆心在(2,—1)上，半径为3的圆的标准方程为：(x—2)2+(y+l)2=9

故选：B

3.(2020•北京高三一模)设4(2,—1),5(4,1),则以线段A3为直径的圆的方程是()

A.(x-3)2+/=2B.(x-3)2+y2=8

C.(x+3)2+y2=2D.(x+3)2+y2=8

【答案】A

【解析】

A3的中点坐标为：(3,0),圆半径为厂=网=/22+2?=叵,

22

圆方程为(x—3)2+V=2.

故选：A.

4.(2020•吴江汾湖高级中学高一月考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()

A.(x-l)2+(y-l)2=1

B.(x+1)-+(y+l)2=]

C.(x+l)2+(y+l)2=2

D.(x-l)2+(y-l)2=2

【答案】D

【解析】

设圆的方程为(尤—1)2+(y—1)2=皿加＞0),且圆过原点，即(0—1)2+(0—1)2=皿机＞0),得=2,

所以圆的方程为(％—1)2+(y-l)2=2.故选D.

5.(2019•瓦房店市实验高级中学高二月考)已知点4(3,6),C(l,0),则AABC外接圆的圆心

坐标为()

A.(5,2)B.(-5,2)C.(2,5)D.(5,-2)

【答案】A

【解析】

线段AB中点坐标为(2,5),线段A5斜率为合=1,所以线段A3垂直平分线的斜率为-1，故线段

的垂直平分线方程为y—5=—(X—2),即y=—x+7.

线段AC中点坐标为(2,3)，线段AC斜率为合=3,所以线段AC垂直平分线的斜率为-；，故线段AC

的垂直平分线方程为y-3=-1(x-2),即y=—gx+段.

k―x+7p5

由<111〜所以AA6C外接圆的圆心坐标3勺(5,2).

y=——x-\---y=2

r331

故选：A

6.(2020•陕西省陕西师大附中高一期末)若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x—3y=0和x

轴相切，则该圆的标准方程是()

A.(x—2)2+(y—1)2=1B.(x-3)2+j^

c.(x—1)2+(y—3)2=lD.(x—+

(y-1)2=1

【答案】A

【解析】

设圆心坐标为(a,b)(a>0,b>0),

由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=4a；31"=〃=1,化简得：|4a-3b1=5①，

又圆与x轴相切，可得|b|=r=l,解得b=l或b=-l(舍去)，

把b=l代入①得：4a-3=5或4a-3=-5,解得a=2或a=-—

2

（舍去），，圆心坐标为（2,1）,

则圆的标准方程为：（X-2）2+（y-1）2=1.

故选A

7.（2020•江苏省王渔昌中学高一开学考试）已知圆M与直线3x—4y=0和3x—4y+10=0都相切，圆心

在直线y=-x—4上，则圆〃的方程为（）

A.(x+3)2+(y-l)2=1B.(x-3)2+(y+l)2=1

C.(x+3)2+(y+l)2=1D.(x-3)2+(y-l)2=1

【答案】C

【解析】

到两直线3x—4y=0及3x—4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x—4y+5=0,联立方程组

3x-4y+5=0x——3

,解得｛，.两平行线之间的距离为2,所以，半径为1，从而圆”的方程为

y--X-4y=-i

（x+3）2+（y+l）2=1.选C.

8.（2020•广东省高三月考（理））已知圆V+y2=1,点A。。），AA3C内接于圆，且41c=60。，当3,

C在圆上运动时，中点的轨迹方程是（）

A.x2+y2=-B.x2+y2--

-274

C.x2+/=-fx<-1D.x2+y2=-（x<^-]

【答案】D

【解析】

设8C中点为D,

•.•圆心角等于圆周角的一半，44c=60。，

:.NBOD=60°，

在直角三角形30。中，由。

22

故中点。的轨迹方程是：x2+y2=^,

如图，由NR4c的极限位置可得，%<-.

4

故选：D

9.（2020•全国高三月考（理））己知圆。过点（4,6）,（—2,—2）,（5,5）,点M,N在圆。上，则AC肱V面积

的最大值为（）

25

A.100B.25C.50D.——

2

【答案】D

【解析】

设圆C的方程为^+y1+Dx+Ey+F=Q,将（4,6）,（-2,-2）,（5,5）代入可得,

'52+4D+6E+F=0

<8—2D—2E+F=0,解得D=—2,E=—4,F=—20.

50+5D+5E+F=0

故圆C的一般方程为7+丁—2X—4y-20=0,即（X-1）2+（y—2）2=25,

故ACMN的面积S=sinNMCN=3义5x5sinNMCNK；义5义5义1=日.

:.ACMN面积的最大值为一.

2

故选：D.

10.（2019•全国高三二模（文））已知2,m+2n,一6成等差数列，则圆C：（%-3指）+（y+l）~=4上

的点到点/（〃,"）距离的最大值为（）

A.1B.2C.5D.36

【答案】C

【解析】

因为2,m+2n,一6成等差数列，所以2（加+2〃）=2—6,可得相+2〃+2=0,

所以点M的轨迹方程为x+2y+2=0,圆心则圆C上的点到点"的最大值为

|3A/5-2+2|

dIlldX=---/l7=------1-2=3+2=5-

故选：C

二、多选题

11.（2019•辽宁省高二期末）0x2+/-4.r-l=0（）

A.关于点（2,0）对称B.关于直线丁=0对称

C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称

【答案】ABC

【解析】

X2+/-4X-1=0^（X-2）2+/=5,所以圆心的坐标为（2,0）.

A：圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点（2,0）是圆心，所以本选项正确；

B：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线y=0过圆心，所以本选项正确；

C：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线x+3y-2=。过圆心，所以本选项正确；

D：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线x-y+2=0不过圆心，所以本选项不正确.

故选：ABC

12.（2019•福建省南安第一中学高二月考）已知点P（cosO,sine）（eeR）,直线/:%+阳—4=0,下列

结论正确的是（）

A./恒过定点（4,0）

B.|OP|=1（O为坐标原点）

C.P到直线/的距离有最小值，最小值为3

D.尸到直线/的距离有最大值，最大值为5

【答案】ABD

【解析】

直线/:%+72一4=0,当y=0时，x=4,故A正确;

\OP\=A/COS2^+sin20=1,故B正确;

点P的轨迹是以（0,0）为圆心，半径为1的圆，直线过定点（4,0）,位置如图:

由图可知，点尸到直线/的距离最小值为0,

当直线与x轴垂直时，圆心到直线的距离最大，最大值为4,所以尸到直线/的距离有最大值，最大值为5.

故C错误，D正确.

故选：ABD.

13.（2019•福建省高一期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现广'平面内到两

个定点A,3的距离之比为定值4（几丰1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗

\pj\\1

尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy中,4（—2,0）,5（4,0）,点R黄足局=-.设点P的轨迹为C,

下列结论正确的是（）

A.C的方程为（x+4y+y2=9

\PD\1

B.在x轴上存在异于4,3的两定点。,后,使得「密=彳

\PE\2

C.当AB,p三点不共线时，射线PO是/4PB的平分线

D.在C上存在点"，使得|MO|=2|肱4|

【答案】BC

【解析】

PA|1_J(x+2p+上

设点P(x,y),则化简整理得f+y2+8x=0,即(x+4『+y2=16,故A

/、/、附14P2+PO2—AO2

错误；当。(—1,0),6(2,0),时，茜-故B正确；对于C选项，cosZAPO=—~—

22APPO

op2pr)2_or)2

cosZBPO=_匕L，要证PO为角平分线，只需证明cosZAPO=cosZBPO,即证

2BPPO

AP-+PO--AO-=BP-+PO--BO?，化简整理即证po2=2Ap2一8,设？3)，贝ij肥)？芳2#,

2APPO2BPPO'7

2Ap2-8=2无2+8x+2y~=+8x++=x~+y2,则证

cosZAPO=cosZBPO,故C正确；对于D选项，设河(％,%),由|改?|=2|M4|可得

#02+典2=,5+2)2+为2,整理得3/2+3%2+16%+16=0,而点M在圆上，故满足x2+y2+Sx=0,

联立解得x0=2,%无实数解，于是D错误.故答案为BC.

三、填空题

14.(2019•江苏省南京师大附中高三一模)圆C:(x+l)2+(y—2)2=4关于直线y=2x—1的对称圆的方程

为.

【答案】(x—3)2+/=4

【解析】

C:(x+1)2+(y—2)2=4的圆心为(-1,2),关于y=2x—1对称点设为(x,y),

y+2x-1

------=2x--------1

x=3

22解得〈c

y-217=0

、x+l一一2

所以对称后的圆心为(3,0),故所求圆的方程为(x-3了+/=4.

故答案为：(x—3)2+V=4

15.(2020•广东省红岭中学高二期末)方程x2+y2-2x+根y-根一3=0表示圆C中，则圆C面积的最小

值等于.

【答案】3兀

【解析】

x2+y~—2x+my—zn—3=0.'.(x+l)-+771+4

'席"1/

R-=——+m+4=—(m+2y+3

44V

当初=-2时，半径最小为故面积为；TR2=3;T

故答案为3万

,,IOM|

16.(2020•全国高三月考(理))已知点。(0,0),4(4,0),4是圆C:(x—2尸+y?=1上一点，则三大

­|AM|

的最小值为

【答案】』

3

【解析】

则黯

设点M(x,y),

又因为(X—2了+>2=1,贝I]y2=i—(X—2)2,

|OM|24x-3,10

故u-----T=----------=-1H-------------xe[l,3],

\AM|--4x+13-4x+13

易得函数y=—1+10-在工3］上单调递增.

—4x+13

2

则I——OM^I的最小值为1一，故|O台M表|的最小值为1一.

\AM|29\AM\3

故答案为：-

3

17.(2019•山东省高三期中)已知圆心在直线x-3y=0上的圆。与y轴的正半轴相切，且截x轴所得的弦

长为4夜，则圆C的方程为,则点网6,5)到圆。上动点。的距离最大值为.

［答案］(%-3)2+(,_以=98

【解析】

设圆的方程为(尤一a、+(y-6)2=/(a>0力>0)

a-3b=0a=3

解得卜=1，

由题意可得＜a=r

Z?2+8=r2r=3

所以圆的方程为(X—3)2+(y—1)2=9;

设点P(6,5)到圆心C(3,1)的距离为d=J(6-3)2+(5-1)2=5，

则点尸(6,5)到圆C上动点。的距离最大值为J+r=5+3=8.

故答案为:(x-3)2+(y-1)2=9；8

四、解答题

18.(2019•四川省仁寿一中高二期中(文))求过点4(0,6)且与圆C：尤2+y2+i0x+lOy=O切于原点的圆的

方程.

【答案】(X—3)2+。-3)2=18.

【解析】

设圆的方程为(x—〃)2+(y—。)2=/(->0).

a2+Z?2=r2,…

由题意得+3—6)2=r2解得*=3圆的方程为a—3)2+。—3)2=18.

a=b

点睛：

确定圆的方程方法

(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a,切和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a,6/的方程组，从而

求出a,b,r的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于。、E、尸的方程组,

进而求出E、尸的值.

19.(2019•吉林省东北师大附中高一月考)已知一个圆与y轴相切，在直线y=x上截得弦长为24，且

圆心在直线x-3y=0上，求此圆的方程.

［答案］(x—3)2+(y_l)2=9,(x+3)2+(,+1)2=9

【解析】

设圆的方程为：(X-4)2+('-6)2=/，

则：|a|=r,

Q—3Z?=0,

\a-b\

a=3a=—3

所以＜b=l或＜〃=一1,

r=3r=3

因此圆的方程为：(x—3)2+(y—1)2=9,(%+3)2+(y+l)2=9.

20.(2020•吴江汾湖高级中学高一月考)已知圆C：x:+y2+Dx+Ey+3=0,圆C关于直线x+y-1=0

对称，圆心在第二象限，半径为0.

(1)求圆C的方程；

(2)直线［与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线［的方程.

【答案】(1)x2+y2+2x—4y+3=0(2)x+y—3=0或x+y+1=0.或y=(2+V6)x

【解析】

分析：

(1)通过圆C关于直线对称，可知圆心在直线上，再结合半径为在，得到关于D.E的方程组，求解方程组,

选择在第二象限中的根，即可求得圆的方程；(2)分截距为零和不为零两种情况讨论，利用圆心到直线距

离等于半径求解直线方程。

详解：

(1)由x，+y:+Dx+Ey+3=0知圆心C的坐标为(—g,—g),

:圆C关于直线x+y—1=0对称，二点(一与,—：)在直线x+y—1=0上，

则D+E=—2,又2+'--二=2,圆心C在第二象限，二D=2,E——4,

4

二所求圆C的方程为炉+y24-2x—4y+3=0

(2)1。当切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时，可设［的方程为x+y=a,

圆C的方程可化为(x+1)-+(y-2)==2,圆心C(-L2)到切线的距离等于半径近,

即尸+「|=在,二a=-1,或a=3

2。当切线在两坐标轴上的截距为零，设丫=左4,求得：y=(2±V6)%

所求切线方程x+y—3=0或x+y+1=0或y=(2+m)x

21.(2019•四川省成都七中高二期中(理))已知圆尸过A(5,—2),B(0,3),C(4,l).

(1)求圆尸的方程；

(2)若过点M(-3,-3)的直线/被圆尸所截得的弦长为8,求直线/的方程.

22

【答案】(1)%+y+4j-21=0：(2)4x+3y+21=0或x=—3.

【解析】

(1)设圆产的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

VA,B,C都在圆上，

'29+5D-2E+F=0伊=0

.*.<9+3E+F=0,解得<E=4.

17+4O+E+/=0[F=-21

：.所求圆P的方程为x2+y2+4y-21=0.

(2)由x?+(y+2)2=25,知圆心P(0,—2),半径r=5,

由直线/被圆0截得的弦长为8,得圆心距〃=乒不=3

当直线/与x轴不垂直时，设直线/方程为：y+3=k(x+3),

即kx—y+3k—3=0,

_|3^-1|4

・，・圆心尸到直线/距禺d=—=3,化简得一6左=8,则左二—.

4

.•.直线/方程为：y+3=—§(x+3),即4x+3y+21=。

当直线/，刀轴时，直线/方程为x=—3,

代入圆方程得9+4y—12=0,解得必=-6,%=2,

.•.弦长仍为8,满足题意.

综上，直线/的方程为4x+3y+21=0或1=—3

22.(2019•瓦房店市实验高