苏科版2024-2025学年七年级数学上册专练习2.17有理数(全章知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)

专题2.17有理数（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】正数与负数及相关概念1、认识正数、负数、零（1）正数：大于0的数叫做正数，正数大于0；（2）负数：正数前面加个符号“－”（负号）的数叫做负数，负数小于0；（3）0：既不是正数也不是负数，正负数以0为界。规定：0是最小的自然数。2、有理数的概念及分类（1）整数和分数统称有理数.（2）有理数的分类【知识点二】数轴、相反数与绝对值1．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．2．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．3．绝对值：（1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作．（2）几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．【知识点三】有理数的运算1.有理数运算法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6）有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．2．运算律：（1）交换律：①加法交换律：a+b=b+a；②乘法交换律：ab=ba；（2）结合律：①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac【知识点四】有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；（3)作差比较法．（4）作商比较法；（5）倒数比较法．【知识点四】科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000=．第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】有理数的相关概念【例1】（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）画一条数轴，并在数轴上表示：和它的相反数，和它的倒数，绝对值等于的数，并把这些数由小到大用“”号连接起来．【变式1】（2024·广东肇庆·一模）如图，数轴上点表示向东走了，则点表示（

）A．向东走 B．向南走 C．向西走 D．向北走【变式2】（2024·陕西榆林·三模）如图，数轴的单位长度为1，若点表示的数与点表示的数互为相反数，则点表示的数是．【例2】（23-24九年级上·贵州毕节·期中）点A，B，C，D在数轴上表示的有理数如图所示．

（1）点A表示的数的倒数是；点C表示的数的相反数是．（2）①A，B两点间的距离为；②分别计算A，D两点间的距离和B，C两点间的距离．【变式1】（2024七年级·全国·竞赛）若与互为相反数，则（

）．A． B． C． D．【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）比较大小：．【题型2】有理数的运算【例3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：(1)；(2)．【变式1】（23-24七年级上·河北沧州·期中）在计算时通常转化成：，这个变形的依据是（

）A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律【变式2】（23-24六年级下·上海普陀·期中）一般情况下，海拔每上升1千米，气温下降约一座山海拔高度为2千米，如果小明在山脚下测得的气温是，那么小明乘缆车到山项后测得的气温约是．【例4】（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时；，当时．如下面一组等式：，；根据以上阅读内容完成：（1）的结果是，的结果是．（2）计算：．【变式1】（23-24七年级上·福建漳州·期中）计算，最适当的方法是（

）A． B．C． D．【变式2】（23-24七年级上·四川达州·期中）计算：已知，在此条件下，计算：…．【例5】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：(1)；(2)；【变式1】（2023·河北石家庄·二模）与互为倒数的是（）A． B． C． D．【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：．【题型3】有理数的运算的应用【例6】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）随着尔滨今年冬天的爆火，冰雪大世界的游园人数也迎来了历史的新高，如果每天游园人数以1万人作为标准，实际游园人数超过标准的人数记为正，少于标准的人数记为负．为了更好的服务来游玩的客人，冰雪大世界准备了具有东北特色的礼盒套装，如果每天购买礼盒的数量超过当天实际游园人数的记为正，少于当天实际游园人数的记为负．下表体现了一周连续7天的游园人数以及购买礼盒数量的变化，星期一二三四五六日相对于标准人数（单位：万人）相对于实际游园人数（单位：万盒）0（1）求本周内来到冰雪大世界游园的人数最多的一天的人数；（2）如果门票为每人150元，那么门票收入最高的一天比最低的一天多多少钱？（3）如果礼盒套装每盒350元，那么计算这一周冰雪大世界在门票和礼盒套装上的总收入是多少钱？【变式1】（23-24七年级上·河南安阳·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（

）A．132天 B．72天 C．60天 D．42天【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期末）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第6天截取后木棍剩余的长度是．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（

） B． C． D．【例2】（2024·湖北武汉·中考真题）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上记作，则零下记作．2、拓展延伸【例1】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：（1）当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；（2）已知，，求的值；（3）已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）【例2】（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：______0，______0，______0．（2）化简：．专题2.17有理数（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】正数与负数及相关概念1、认识正数、负数、零（1）正数：大于0的数叫做正数，正数大于0；（2）负数：正数前面加个符号“－”（负号）的数叫做负数，负数小于0；（3）0：既不是正数也不是负数，正负数以0为界。规定：0是最小的自然数。2、有理数的概念及分类（1）整数和分数统称有理数.（2）有理数的分类【知识点二】数轴、相反数与绝对值1．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．2．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．3．绝对值：（1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作．（2）几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．【知识点三】有理数的运算1.有理数运算法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6）有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．2．运算律：（1）交换律：①加法交换律：a+b=b+a；②乘法交换律：ab=ba；（2）结合律：①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac【知识点四】有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；（3)作差比较法．（4）作商比较法；（5）倒数比较法．【知识点四】科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000=．第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】有理数的相关概念【例1】（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）画一条数轴，并在数轴上表示：和它的相反数，和它的倒数，绝对值等于的数，并把这些数由小到大用“”号连接起来．【答案】作图见解析，【分析】根据相反数定义、倒数定义及绝对值定义求出各个数，然后在数轴上表示，并利用数轴比较大小即可得到答案．解：的相反数为，的倒数为，绝对值等于的数为，将在数轴上表示，如图所示：把这些数由小到大用“”号连接起来为：．【点拨】本题考查用数轴表示有理数，并利用数轴比较有理数大小，涉及相反数定义、倒数定义及绝对值定义等知识，熟练掌握数轴定义及用数轴比较大小的方法是解决问题的关键．【变式1】（2024·广东肇庆·一模）如图，数轴上点表示向东走了，则点表示（

）A．向东走 B．向南走 C．向西走 D．向北走【答案】C【分析】本题考查了相反意义的量，根据数轴可得点、点分别在数轴原点的两边，且距离原点的距离相等，得出表示相反意义的量，即可得出答案．解：数轴可得，点、点分别在数轴原点的两边，且距离原点的距离相等，点表示向东走了，则点表示向西走，故选：C．【变式2】（2024·陕西榆林·三模）如图，数轴的单位长度为1，若点表示的数与点表示的数互为相反数，则点表示的数是．【答案】【分析】本题主要考查数轴上数的表示及相反数，根据A、B所表示的数互为相反数可得原点的位置，然后求解C即可．解：由数轴的单位长度为1，点、所表示的数互为相反数，可得数轴的原点在点A和点B的中点处，如图所示，点C表示的数为；故答案为：．【例2】（23-24九年级上·贵州毕节·期中）点A，B，C，D在数轴上表示的有理数如图所示．

（1）点A表示的数的倒数是；点C表示的数的相反数是．（2）①A，B两点间的距离为；②分别计算A，D两点间的距离和B，C两点间的距离．【答案】(1)；(2)①1.5；②7，1.25【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数，倒数，数轴上两点之间的距离，（1）观察数轴得出点A、点C表示的数，再求点A表示的数的倒数，点C表示的数的相反数即可；（2）①根据绝对值的定义计算即可；②根据数轴上两点之间的距离公式计算即可．熟练掌握“数轴上两点之间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值”是解题的关键．解：（1）由数轴得，点A表示的数是，其倒数是；点C表示的数是，其相反数是；故答案为：；；（2）①A，B两点间的距离为，故答案为：1.5；②A，D两点间的距离为；B，C两点间的距离为．【变式1】（2024七年级·全国·竞赛）若与互为相反数，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性等知识点，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．根据相反数的定义及非负数的性质列出方程求出a、b的值即可．解：∵与互为相反数，∴，∴，∴．故选B．【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）比较大小：．【答案】【分析】本题考查了绝对值和有理数的大小比较，熟练掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解题关键．先简化绝对值，再根据有理数的大小比较方法求解即可得．解：因为，，，所以，故答案为：．【题型2】有理数的运算【例3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】本题主要考查了有理数加减运算，掌握有理数加减运算法则是解决问题的关键．（1）把原式写成去掉括号的形式，分别计算正数和负数的和，即可得到答案；（2）应用加法的交换，结合律，即可计算．（1）解：；（2）解：．【变式1】（23-24七年级上·河北沧州·期中）在计算时通常转化成：，这个变形的依据是（

）A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律【答案】A【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，由变形可知与3交换位置，所以在计算时通常转化成，这个变形的依据是：加法交换律．解：在计算时通常转化成，这个变形的依据是：加法交换律．故选：A．【变式2】（23-24六年级下·上海普陀·期中）一般情况下，海拔每上升1千米，气温下降约一座山海拔高度为2千米，如果小明在山脚下测得的气温是，那么小明乘缆车到山项后测得的气温约是．【答案】【分析】根据有理数加减混合运算计算即可，本题考查了有理数加减乘法混合运算，，熟练掌握运算法则是解题的关键．解：根据题意，得，故答案为：．【例4】（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时；，当时．如下面一组等式：，；根据以上阅读内容完成：（1）的结果是，的结果是．（2）计算：．【答案】(1)，(2)【分析】（1），，即可求解；（2）可得，可化为，即可求解．（1）解：，；故答案：，．（2）解：原式．【点拨】本题考查了绝对值的性质，有理数加减中的简便运算，理解性质，掌握简便解法是解题的关键．【变式1】（23-24七年级上·福建漳州·期中）计算，最适当的方法是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了有理数加法的交换律和结合律，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算律．解：．故选：D．【变式2】（23-24七年级上·四川达州·期中）计算：已知，在此条件下，计算：…．【答案】【分析】由绝对值的结果为非负数，且两非负数之和为可得两个绝对值同时为，可得且，把代入可求出的值为，把求出的与代入所求的式子中，利用把所求式子的各项拆项后，去括号合并即可求出值．解：，，且，且，解得且，把代中，解得，则．故答案为：．【例5】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：(1)；(2)；【答案】(1)(2)【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键．（1）本题考查有理数混合运算，先运用乘法分配律简便计算，同时运算除法，然后进行加减即可解题．（2）熟练掌握有理数混合运算顺序“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算”是解题的关键．（1）解：；（2）解：．【变式1】（2023·河北石家庄·二模）与互为倒数的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】将每个式子计算出结果，再根据倒数的概念，逐一判断即可．解：，，的倒数为，故A不符合题意；，的倒数为，故B符合题意；，的倒数为，故C不符合题意；，的倒数为，故D不符合题意，故选：B．【点拨】本题考查了有理数的混合运算，倒数的概念，熟练计算出每一个式子的结果是解题的关键．【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：．【答案】135【分析】本题考查了有理数四则混合运算，可以将分成，再利用乘法的分配律，通过约分恰好是整数．同理将可以分为，可以分为，最后利用分配律得出几个整数相加．解：．【题型3】有理数的运算的应用【例6】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）随着尔滨今年冬天的爆火，冰雪大世界的游园人数也迎来了历史的新高，如果每天游园人数以1万人作为标准，实际游园人数超过标准的人数记为正，少于标准的人数记为负．为了更好的服务来游玩的客人，冰雪大世界准备了具有东北特色的礼盒套装，如果每天购买礼盒的数量超过当天实际游园人数的记为正，少于当天实际游园人数的记为负．下表体现了一周连续7天的游园人数以及购买礼盒数量的变化，星期一二三四五六日相对于标准人数（单位：万人）相对于实际游园人数（单位：万盒）0（1）求本周内来到冰雪大世界游园的人数最多的一天的人数；（2）如果门票为每人150元，那么门票收入最高的一天比最低的一天多多少钱？（3）如果礼盒套装每盒350元，那么计算这一周冰雪大世界在门票和礼盒套装上的总收入是多少钱？【答案】(1)万人(2)165万元(3)6605万元【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的混合运算的实际应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．（1）由超过标准人数最多的1天可得答案；（2）由星期二收入减去星期三的门票收入即可得到答案；（3）由门票收入加上礼盒收入可得总收入．解：（1）解：∵星期二超过标准人数最多，∴星期二的游客人数最多为：（万人）．（2）星期二的收入最多为：（万元），星期三的收入最小为：（万元），∴门票收入最高的一天比最低的一天多（万元）．（3）∵游客总人数为：（万人），∴门票总收入为：（万元）；∵购买礼盒总数量为：（万盒），∴收入为：（万元），∴总收入为：（万元）．【变式1】（23-24七年级上·河南安阳·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（

）A．132天 B．72天 C．60天 D．42天【答案】B【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据“满七进一”可知最左边的每个结表示，中间的每个结表示7，最右边每个结表示1，由此可解．解：孩子已经出生天数为：（天），故选B．【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期末）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第6天截取后木棍剩余的长度是．【答案】【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意，正确找出数式规律，是解答本题的关键．根据题意，先分别求出第一、二、三天截取后木棍剩余的长度，从而找出规律，由此得到答案．解：根据题意得：第一天截取后木棍剩余长度为：，第二天截取后木棍剩余长度为：，第三天截取后木棍剩余长度为：，第天截取后木棍剩余长度为：，第6天截取后木棍剩余长度为：．故答案为：．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（

） B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键．由五日气温为得到，，，