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文档简介
第四章不定积分第一节
不定积分的概念与性质
下面我们考虑其逆命题——在括号中填入适当的函数使得下列等式成立：
我们把这种求导运算的逆运算称为求原函数.一、原函数的概念
原函数的重要结论
原函数存在定理
2、由于初等函数在定义区间上都是连续的，因此初等函数在其定义区间内的原函数必存在，但有些初等函数的原函数虽然存在,却无法用初等函数表示出来.
二、不定积分的概念
例1
求
解
解例2
求
三、基本积分公式
由于求不定积分是求导的逆运算,因而为了求出一个函数的不定积分,首先要明确它是哪个函数的导数,把基本求导公式反过来,便得到不定积分的基本公式，即
例3
求
例4
求
例5
求
四、不定积分的性质
注
性质1,2揭示了微分(或导数)与不定积分之间的互逆关系.例6
求
注性质3可以推广到有限个函数和差的情形.
注
在求不定积分时,除了要利用性质3,4外,经常还需要对被积函数作适当的代数变形,将其化成基本积分公式的形式,进而求出积分.例7
例8
例9
五、不定积分的几何意义
例10
解
根据题意得
第四章不定积分第二节换元积分法一、第一类换元积分法
利用基本积分公式和不定积分的性质,只能求出一部分函数的不定积分,因此我们还需要寻求一些特殊方法.第一类换元积分法是把微分公式与换元思想相结合的一种方法,其基本思想是：通过换元，将所求不定积分转化为基本积分公式来求.引例
分析
将上述过程联立起来可写为
凑微分
换元求积分回代
由此，我们得到第一类换元积分法：
如果由基本积分公式可以求得
那么
将上述过程联立起来，写成下面四个步骤:
凑微分换元求积分我们称这种方法为第一类换元积分法.
回代例1
求
解
例2
求
解
凑微分是求不定积分的关键，下面是一些常用的微分公式：在熟练掌握了上述四个步骤以后，我们可以省略第二步“换元”,从而把这四个步骤简化为两步:
例3
求
解法一
解法二
例4
求
解例5
求
解
例6
求
解
例7
求
例8
求
解
例9
求
解
例10
求例11
求
例12
求
（令：t=cosx）
二、第二类换元积分法引例
引例分析
本例也是进行换元求积分,但与第一类换元法不同,我们称之为第二类换元积分法.定理
如果
这种方法称为第二类换元积分法.
忽略变量符号的不同,下列示意图反映了这两类换元法之间的关系,从左到右就是第一类换元法,从右到左则是第二类换元法.2、根据换元函数形式的不同,我们常把第二类换元法分为代数换元积分法和三角换元积分法两类，其主要目的是化去被积函数中的根式。
说明：1.代数换元积分法
例13
求
例14求
2.三角换元积分法
例16
求
例17
求
第四章不定积分第三节分部积分法分部积分法是另一重要的积分方法,
记
等式两边同时求不定积分得
或写为(1)
(2)分部积分法
由导数的四则运算法则，
例1
求
注
例1如果采用下面的方法，即
例2
求
例4
求
例6
求
解
我们已经学习了直接积分法、第一类换元积分法、第二类换元积分法和分部积分法，在求解不定积分时，我们往往需要综合使用上述方法，想要熟练的运用这些公式解决不定积分的计算问题，就要不断的进行实践应用。例7
求
例8
求
所以
例9
求
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