2023-2024学年天津市河西区新华中学高二（上）第一次月考数学试卷

一、单选题。（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）15分）下列说法的正确的是()A．经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0＝k（x﹣x0）表示B．经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y＝kx+b表示C．不经过原点的直线都可以用方程表示D．经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1x2﹣x1x﹣x1y2﹣y1）表示25分）以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是()35分）若直线过第一、三、四象限，则实数a，b满足()A．a＜0，b＜0B．a＜0，b＞0C．a＞0，b＞0D．a＞0，b＜0C．w+丽﹣55分）已知直线l的一个方向向量为B.D.w﹣丽+﹣65分）直线x﹣4y+6＝0和8x+y﹣18＝0与两坐标轴围成的四边形的面积为()75分）已知M（x0，y0）是圆x2+y2＝r2（r＞0）内异于圆心的一点，则此直线x0x+y0y＝r2与该圆()A．相交B．相切C．相离D．不确定85分）若直线l经过点（1，1且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则直线l的条数为()95分）直线l的方程为(λ+2）x+(λ﹣1）y﹣3λ=0(λ∈R当原点O到直线l的距离最大时，λ的值二、填空题。（本大题共6小题，共24.0分）104分）与圆x2+y2﹣4x+6y+7＝0同圆心且过点P(﹣1，1）的圆的方程是.114分）若直线ax﹣y＝0与直线4x﹣ay+a﹣2＝0平行，则a=.124分）已知直线l1：3x+4y﹣5＝0，l2：6x+8y+5＝0，则l1与l2的距离d=.144分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC中点，则点B1到直线A1E的距离154分）将一张坐标纸折叠一次，使点（10，0）与点(﹣6，8）重合，则与点(﹣4，2）重合的点三、解答题。（本大题共3小题，共31.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）169分）已知直线ma﹣1）x+（2a+3）y﹣a+6＝0，n：x﹣2y+3＝0.（1）若坐标原点O到直线m的距离为√5，求a的值；（2）当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.1710分）已知点M（3，1圆O1x﹣1）2+（y﹣2）2＝4.（1）若直线ax﹣y+4＝0与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值；（2）求过点M的圆O1的切线方程.1812分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，FD∥QA，（1）求证：QB∥平面PDC；（2）求平面CPB与平面PBQ所成角的大小；（3）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，试确定点H的位置.一、单选题。（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）15分）下列说法的正确的是()A．经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0＝k（x﹣x0）表示B．经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y＝kx+b表示C．不经过原点的直线都可以用方程表示D．经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1x2﹣x1x﹣x1y2﹣y1）表示【分析】逐一分析研究各个选项，通过举反例等手段，排除不正确的选项，特别注意直线斜率不存在或者截距等于0的情况.【解答】解：选项A不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点P0（x0，y0）的直线不可以用方程y﹣y0＝k（x﹣x0）表示.选项B不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点A（0，b）的直线不可以用方程y＝kx+b表示.选项C不正确，当直线和x轴垂直或者与y轴垂直时，不经过原点的直线不可以用方程表示.选项D正确，斜率有可能不存在，截距也有可能为0，但都能用方程（y﹣y1x2﹣x1x﹣x1y2y1）表示.故选：D.【点评】本题考查直线方程的适用范围，特别注意直线斜率不存在或者截距等于0的情况.25分）以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是()【分析】结合空间三个向量，飞，飞能构成空间的基底，则向量飞不共面，逐一检验即可【解答】解：若空间三个向量飞能构成空间的基底，则向量飞不共面，则三=﹣,即向量飞共面，故选项A中的三个向量不能构成空间基底，对于选项B，C，D中的三个向量均不共面，即能够构成空间的基底，故选：A.【点评】本题考查了空间向量基本定理、正交分解及坐标表示，属简单题35分）若直线过第一、三、四象限，则实数a，b满足()A．a＜0，b＜0B．a＜0，b＞0C．a＞0，b＞0D．a＞0，b＜0【分析】根据题意，分析可得直线在x轴的截距为正，在y轴上的截距为负，分析可得答案.【解答】解：根据题意，直线过第一、三、四象限，则直线在x轴的截距为正，在y轴上的截距为负，故选：C.【点评】本题考查直线的一般式方程，关键是利用函数所过的象限分析直线的斜率、截距的关系，属于基础题.﹣++﹣B.D.﹣【分析】利用向量的三角形法则、线性运算法则即可得出.=++＝++＝+=故选：D.【点评】本题考查了向量的三角形法则、线性运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于较易题.55分）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为()【分析】由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可.【解答】解：由题意可得：直线l的斜率，即直线l的倾斜角为.故选：A.【点评】本题主要考查了直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率关系，属于基础题.65分）直线x﹣4y+6＝0和8x+y﹣18＝0与两坐标轴围成的四边形的面积为()【分析】求出直线x﹣4y+6＝0和8x+y﹣18＝0交点B的坐标，及直线x﹣4y+6＝0与y轴交点C和直线8x+y﹣18＝0与x轴交点A的坐标，分别计算△OAB和△OBC的面积可得答案.【解答】解：由得故直线x﹣4y+6＝0和8x+y﹣18＝0交点B的坐标为（2，2直线x﹣4y+6＝0与y轴交点C的坐标为（0直线8x+y﹣18＝0与x轴交点A的坐标为0故△OAB的面积为：×2×=,△OBC的面积：×2×=,故四边形的面积S＝+=,故选：B.【点评】本题考查的知识点是直线的一般式方程，直线的交点，难度不大，属于基础题.75分）已知M（x0，y0）是圆x2+y2＝r2（r＞0）内异于圆心的一点，则此直线x0x+y0y＝r2与该圆()A．相交B．相切C．相离D．不确定【分析】表示出圆心到直线的距离，比较与半径的大小的比较.【解答】解：圆心到直线的距离d=∵点M在圆内，且异于圆心，故直线与圆相离.故选：C.【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．主要是看圆心到直线的距离与圆的半径大小关系来判断.85分）若直线l经过点（1，1且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则直线l的条数为()【分析】设直线l的截距式为，直线l经过点（1，1且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，可得2，解出即可.【解答】解：设直线l的截距式为，∵直线l经过点（1，1且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，故选：C.【点评】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题.95分）直线l的方程为(λ+2）x+(λ﹣1）y﹣3λ=0(λ∈R当原点O到直线l的距离最大时，λ的值【分析】首先求出直线l过定点A（1，2然后当OA⊥l时，原点O到l的距离最大，即可求解.【解答】解；由(λ+2）x+(λ﹣1）y﹣3λ=0(λ∈R）可得（x+y﹣3）λ+2x﹣y＝0，令，解得，故直线l过定点A（1，2当OA⊥l时，原点O到l的距离最大，所以直线l的斜率为﹣,即﹣=﹣,解得λ=﹣5，故选：B.【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题.二、填空题。（本大题共6小题，共24.0分）104分）与圆x2+y2﹣4x+6y+7＝0同圆心且过点P(﹣1，【分析】由圆的一般方程及圆的标准方程，结合已知条件求解即可.【解答】解：将圆的方程x2+y2﹣4x+6y+7＝0化为标准式可得（x﹣2）2+（y+3）2＝6，即圆x2+y2﹣4x+6y+7＝0的圆心坐标为（23则所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+3）22+1）2+（1+3）2＝25，故答案为x﹣2）2+（y+3）2＝25.【点评】本题考查了圆的一般方程及圆的标准方程，属基础题.114分）若直线ax﹣y＝0与直线4x﹣ay+a﹣2＝0平行，则a=﹣2.【分析】由直线ax﹣y＝0与直线4x﹣ay+a﹣2＝0平行，可得﹣a•a﹣(﹣1）×4＝0，解得a，并且经过验证即可得出.【解答】解：由直线ax﹣y＝0与直线4x﹣ay+a﹣2＝0平行，解得a=±2，验证：a＝2时两条直线重合，舍去，∴a=﹣2.故答案为：﹣2.【点评】本题考查了直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.124分）已知直线l1：3x+4y﹣5＝0，l2：6x+8y+5＝0，则l1与l2的距离d=.【分析】根据平行线距离公式直接计算即可.【解答】解：因为l2：3x+4y+＝0，则l1与l2的距离d==.故答案为：.【点评】本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题.【分析】直接利用在上的投影向量的计算公式求解即可.【解答】解：因为空间向量高=(2,3,4)，=(1,0,-1)，所以在上的投影向量为==(﹣1，0，1）.【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，向量投影向量的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题.144分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC中点，则点B1到直线A1E的距离为.【分析】在△A1B1E中，利用面积法计算B1到直线A1E的距离.【解答】解：连接B1E，则B1E==,∵A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥B1E，∴A1E==,设B1到直线A1E的距离为h，则==,即解得h=,即点B1到直线A1E的距离为.故答案为：.【点评】本题考查了点到直线的距离计算，属于基础题.154分）将一张坐标纸折叠一次，使点（10，0）与点(﹣6，8）重合，则与点(﹣4，2）重合的点是 【分析】利用线段的垂直平分线的性质可得线段AB的垂直平分线即可得出.【解答】解：已知点A（10，0点B(﹣6，8可得中点M（2，4）.则kAB==﹣.∴线段AB的垂直平分线为：y﹣4＝2（x﹣2化为2x﹣y＝0.设点(﹣4，2）关于直线2x﹣y＝0的对称点为P（a，b则，解得.【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，属于基础题.三、解答题。（本大题共3小题，共31.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）169分）已知直线ma﹣1）x+（2a+3）y﹣a+6＝0，n：x﹣2y+3＝0.（1）若坐标原点O到直线m的距离为√5，求a的值；（2）当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.【分析】根据直线方程的性质即可逐项求解.当直线l过原点时，直线l的方程为3x﹣7y＝0；当直线l不过原点时，设l的方程为，将(﹣219）代入得b=﹣12，所以直线l的方程为x﹣y+12＝0.故满足条件的直线l的方程为3x﹣7y＝0或x﹣y+12＝0.【点评】本题考查直线方程的性质，属于基础题.1710分）已知点M（3，1圆O1x﹣1）2+（y﹣2）2＝4.（1）若直线ax﹣y+4＝0与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值；（2）求过点M的圆O1的切线方程.【分析】（1）由直线与圆的位置关系可得圆心到直线ax﹣y+4＝0的距离d，结合点到直线的距离公式可得d1，解可得a的值，即可得答案；（2）根据题意，分切线的斜率是否存在2种情况讨论，分别求出切线的方程，综合即可得答案.【解答】解1）根据题意，圆O1x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，圆心为（1，2半径r＝2，若弦AB的长为2，则圆心到直线ax﹣y+4＝0的距离d＝＝1，又由圆心为（1，2直线ax﹣y+4＝0，则有d1，解得a=﹣;（2）根据题意，分2种情况讨论：当切线斜率不存在时，其方程为x＝3，与圆相切，符合条件，当切线斜率存在时，设其方程为y﹣1＝k（x﹣3圆心到它的距离＝2，解得k=﹣,切线方程为3x﹣4y﹣5＝0，所以过点M的圆的切线方程为x＝3或3x﹣4y﹣5＝0.【点评】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属基础题.1812分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ