专题10 由面积求反比例函数比例系数的4种常见压轴题型全攻略（解析版）

专题10由面积求反比例函数比例系数的4种常见压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一由三角形面积求反比例的比例系数】 1【考点二由四边形面积求反比例的比例系数】 2【考点三由其它面积问题求反比例函数解析式】 2【考点四反比例函数中求面积问题的拓展提高】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一根据三角形面积求反比例的比例系数】【例题1】如图所示（图象在第二象限），点是反比例函数上的一点，轴于点，的面积为2，则的值为（

）

A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】根据反比例函数系数k的几何意义解答即可.【详解】解：设点A的坐标为，∵轴于点，的面积为2，∴，∴，∵函数图象在第二象限，∴；故选：D.【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，掌握求解的方法是关键.【变式1】如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于3，则k的值是（

）

A．6 B．5 C． D．【答案】C【分析】由反比例函数中系数的几何意义可得，据此求解即可．【详解】解：∵轴，∴，解得：，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数由面积求参数，掌握反比例函数中系数的几何意义是解题的关键．3．如图，A是反比例函数的图象上一点，轴于B，点C在x轴上，若面积为2，则k的值为（

）

A． B．1 C．2 D．4【答案】D【分析】连接，可得，根据反比例函数的几何意义，可求出的值．【详解】解：连接，轴，轴，，即：，，或（舍去），故选：D．

【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的几何意义以及同底等高的三角形的面积相等，是解决问题的前提．4．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点D，且点D为线段的中点．若点C为x轴上任意一点，且的面积为12，则求k的值为（

）

A． B． C． D．6【答案】A【分析】过点A作轴于E，设，由此可得出点A的坐标，进而可得，然后再根据的面积可求出，即可求解．【详解】解：过点A作轴于E，如图，

设，则点A的坐标为，∴，∵点D为线段的中点，∴，∴，∴，即，∴，∴，故选：A．【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象，三角形的面积，解答此题的关键是熟练掌握三角形的面积计算公式，理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．【考点二由四边形面积求反比例的比例系数】【例题2】如图，过双曲线上任意一点分别作轴，轴的垂线，，交轴、轴于点、，所得矩形的面积为8，则的值是（

）

A．4 B． C．8 D．【答案】D【分析】设点P坐标为，则，根据矩形的面积为8，得出，即可得出k的值．【详解】解：设双曲线表达式为，设点P坐标为，∵轴，轴，∴，∵矩形的面积为8，∴，则，故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是掌握过反比例函数图象上的点作两坐标轴的垂线，组成的矩形面积为．10．如图，四边形是平行四边形，在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过第一象限点，且的面积为，则＝（

）．

A．6 B．3 C．9 D．12【答案】A【分析】过点作于点，然后平行四边形的性质可知，进而可得矩形的面积与平行四边形的面积相等，最后根据反比例函数的几何意义可求解．【详解】解：过点作于点，如图所示：

，四边形是平行四边形，，，（），平行四边形的面积为，，；故选：A．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及反比例函数k的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质及反比例函数k的几何意义是解题的关键．11．如图，A、B两点在反比例函数的图象上，C，D两点在反比例函数的图象上，轴于点E，轴于点F，，，的长度为，则的值是（

）

A．8 B．11 C．15 D．16【答案】C【分析】由反比例函数的性质可知，，结合和可求得的值．【详解】解：连接、、、，如图：

由反比例函数的性质可知，，，①，，②，由①②两式得：，解得，则，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．12．如图，点是反比例函数图像上的点，点分别在x轴，y轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则k的值（

）

A．3 B．6 C．12 D．24【答案】B【分析】连接，过点作轴于点，由菱形的性质及面积可得出，证得四边形为矩形，得出，则可得出答案．【详解】解：连接，过点作轴于点，

四边形是菱形，，，，，，轴，轴，，四边形为矩形，，，，故选：B【点睛】本题考查反比例函数图象点的特点，菱形的性质和面积．熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．【考点三由其它面积问题求反比例函数解析式】【例题3】如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点．点，在函数(，)图象上，轴，轴，连接，．

（1）若，的面积为9，则的值为．（2）在（1）的条件下，若四边形的面积为14，则经过点的反比例函数解析式为．【答案】12【分析】（1）设，可求，可求，从而可求，，由，即可求解；（2）可求，由，即可求解．【详解】（1）解：设，轴，，解得：，，，，，，解得：，，解得：，，轴，，，的面积为9，，，解得：；故答案：．（2）解：四边形的面积为14，，由（1）得：，，，解得：，；故答案：．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，设辅助未知数列出方程是解题的关键．【变式1】如图，点B是反比例函数上一点，矩形的周长是16，正方形和正方形的面积之和为56，则反比例函数的解析式是．【答案】【分析】首先设点的坐标为，依题意得，，可得，，根据矩形的周长是16可得，根据正方形和正方形的面积之和为56可得，据此可求出，进而可得反比例函数的解析式．【详解】解：设点的坐标为，∵点B是反比例函数上一点，∴，，∴，，∵矩形的周长是16，∴，即：，又∵正方形和正方形的面积之和为56，∴，由，得：，即：，将代入上式，得：，∴，∴反比例函数的解析式为：．故答案为：【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数的解析式，理解题意，设出点B的坐标，并用点B的坐标分别表示出矩形的周长以及正方形和正方形的面积之和是解答此题的关键．【变式2】如图，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．

(1)______，______；(2)求反比例函数表达式；【答案】(1)；(2)【分析】（1）由非负计算式相加等于0，得出各式值均为0，计算即可；（2）由点A和点坐标，及中点得到点横坐标，再利用平行四边形对边平行且相等得到点和点坐标关系，最后代入解析式计算即可；【详解】（1）又，，，，，．（2）点为中点，，且点在y轴上，，，且，又，即，将点C、D代入反比例函数中得，解得，反比例函数表达式为．【点睛】本题考查反比例函数综合计算，在计算中采用设坐标代入解析式，再列方程求解的方法．【考点四反比例函数中求面积问题的拓展提高】【例题4】如图，在反比例函数的图像上，有点，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，若，则的值为（

）A．2.5 B．3 C．4 D．无法确定【答案】C【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，由题意可分别得四点的坐标，则可表示三个阴影部分的面积，再由面积和为3建立关于k的方程，解方程即可求得k的值．【详解】解：∵点，，，在反比例函数的图象上，且它们的横坐标依次为1，2，3，4，∴，，，，∴，，，∵，∴，解得：，故选：C．【变式1】如图，点，依次在反比例函数常数，的图象上，点，依次在反比例函数常数，的图象上，，轴，，分别垂直轴于点，，于点，于点．若，阴影部分面积为，则的值分别为．

【答案】；【分析】可设出点，的坐标，得出点，的坐标，再根据和以及阴影部分的面积即可解决问题．【详解】解：依题意，设，，则，，∵轴，∴∵∴解得：，∵∴①，又阴影部分面积为8，∴②由①②得故答案为：；．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，能用点，的坐标去表示出其余点的坐标，并根据线段之间的长度关系及阴影部分的面积得出方程是解题的关键．29．如图，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，所在直线垂直x轴于点C，M是y轴上一点，连接，，若，则k的值等于．【答案】【分析】首先设，依题意得点、的横坐标均为，于是可表示出点，的纵坐标，进而可表示出线段的长，然后依据若可求出的值．【详解】解：设点横坐标为，则，依题意得：点、的横坐标均为，点在反比例函数的图象上，点的纵坐标为：，点在反比例函数的图象上，点的纵坐标为：，，，，即：，解得：，故答案为：．【点睛】此题主要考查了反比例函数中，的几何意义，解题的关键是设，并用的代数式表示出线段的长．30．如图，在平面直角坐标系中，点、为反比例函数上两点，且点横坐标为点横坐标的两倍，分别过点作轴平行线，过点作轴平行线，两直线交于点，若，则．

【答案】【分析】过点，作，轴于，，然后根据点横坐标为点横坐标的两倍，且点、都在曲线上，设出、坐标，由图形的面积公式求出的值，然后由反比例函数的性质求解即可．【详解】解：过点，作，轴于，，如图：

∵点横坐标为点横坐标的两倍，且点、都在曲线上，∴设，则，其中，，∵，∴，整理得：，解得：；∴．故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式等，关键是对反比例函数性质的掌握．【过关检测】一、单选题1．如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，且轴，连接与反比例函数的图象交于点C，连接，则的面积为（）

A． B． C． D．3【答案】A【分析】设，则，再利用待定系数法求得直线的解析式，与函数联立成方程组，解方程组即可求得C的坐标，然后代入三角形面积公式求解即可．表示出A、B、C的坐标是解题的关键【详解】解：设，则，∴直线为，由，解得，∴，∴故选：A．

2．如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为2．则k的值为（

）

A．4 B． C．2 D．【答案】C【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积计算，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，，根据三角形的面积公式得到，是解题的关键．【详解】解：∵轴，，B两点纵坐标相同，设，，则，，，，故选：C．3．如图，的一条直角边在x轴正半轴上，双曲线过的斜边的中点A，与另一直角边相交于点D．若的面积是6，则k的值是（

）

A． B． C．4 D．6【答案】C【分析】如图，过点A作于E，可证．得，由反比例函数，知，求得，于是，解得．【详解】解：如图，过点A作于E，∵,∴．∴，∴．∴．∵，∴．∴．解得，；故选：Ｃ

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质；理解反比例函数解析式k的几何意义是解题的关键．4．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、C、E、F，且，连接恰好经过点D，则k的值是（

）

A．4 B．8 C． D．【答案】C【分析】通过证明，得出，则，根据反比例函数k值的几何意义得出，则，进而得出，根据图象经过第四象限，即可得出．【详解】解：在和中，，∴，∴，则，∵点A在反比例函数的图象上，轴，∴，∴，∵点B在反比例函数图象上，轴，∴，由图可知，图象经过第四象限，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，反比例函数k值的几何意义，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，以及反比例函数k值的几何意义．二、填空题5．如图，是反比例函数的图象上一点，轴于点，若的面积为，则的值为．【答案】【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是.根据反比例函数比例系数的几何意义，即可得到，计算出来即可．【详解】根据题意可知：，∵反比例函数的图象位于第一、三象限，，∴．故答案为：．6．如图，点P是第二象限内的一点，且在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，若的面积为5，则k的值为．

【答案】【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，根据反比例函数k的几何意义，可得，进而求出k的值，检验得出答案．【详解】解：由题意得，解得，又，，故答案为：．7．如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作轴于点C．若的面积是4，则这个反比例函数的解析式为．

【答案】【分析】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的综合问题，理解k的几何意义是解题的关键．先根据反比例函数和正比例函数的两个交点关于原点对称可知，即可得出，再根据k的几何意义得，最后根据图象的位置得出答案．【详解】∵反比例函数和正比例函数的图象相交于点A，B，∴这两个点关于原点对称，∴，∴，∴．∵反比例函数图象位于第一，三象限，可知，∴，∴反比例函数关系式为．故答案为：．8．双曲线和如图所示，是双曲线上一点，过点作轴，垂足为，交双曲线于点，连接，若的面积为2，则．

【答案】5【分析】本题考查反比例函数k值的几何意义，根据反比例函数k值的几何意义及其基本模型计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵反比例函数位于第一象限，∴，∴故答案为：5．9．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，的顶点在双曲线上，顶点B在双曲线（，且）上，边在x轴上．

①若，则的长度为；②若的面积是7，则k的值是．【答案】3【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质以及反比例函数定义是解决本题的关键．①先求出点A、B的坐标，则可求，然后根据平行四边形的性质求解即可；②根据平行四边形的性质和点A的坐标可求，进而求出点B的坐标，即可求出k的值．【详解】解：①∵在上，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，∴点B的纵坐标为2，又点B在上，∴点B的横坐标为，∴，∴；②∵的面积是7，，∴，∴，∴，∴．故答案为：3，．10．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象交于点，若，则．

【答案】20【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，三角形的面积等，正确地作出辅助线构造三角形的中位线是解决问题的关键．过点作轴于，由和同高，可得出，进而可判定为的中位线，则，设，则点，由此可得，然后根据得，由此可求出的值．【详解】过点作轴于，如图：

又∵和同高，∴，∵轴，∴，∴为的中位线，∴，设，∴，∴点的坐标为，点在反比例函数的图象上，即，故答案为：20．11．如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D．若的面积为3，点D为的中点，则k的值为．【答案】【分析】先设出点B的坐标，进而表示出点D，A的坐标，利用的面积建立方程求出，即可得出结论．【详解】解：设点，，D为的中点，，轴，的面积为3，故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．12．如图，点P是双曲线上的一点，点A，B是x轴正半轴上的不同点，连接AP，BP，已知，，的面积为3，则．【答案】【分析】本题考查了反比例函数与几何的应用，涉及到等腰三角形的三线合一内容，先设，由等腰三角形的三线合一得，又因为的面积为3，建立，进行式子整理，即可作答．掌握反比例函数的k值的几何意义是解题的关键．【详解】解：过点P作轴于点H，设，因为，所以，因为，轴所以因为的面积为3，所以，即因为，则因为点P是双曲线上的一点，所以，故答案为：13．直线与双曲线，相交于点，，作轴于点，作轴于点，四边形的面积为5，则的值为．【答案】【分析】本题主要考查了反比例函数关系式中k的几何意义，先根据k的几何意义可知，再根据取值范围得出答案．【详解】根据题意可知，则．∵，∴．故答案为：．

14．如图，A，B两点在反比例函数的图像上，C，D两点在反比例函数的图像上，轴于点E，轴于F，，，，则的值是．

【答案】6【分析】连接，根据反比例函数k的几何意义，得到，结合，，，，列式计算即可，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．【详解】连接，根据反比例函数k的几何意义，得到，

∵，，，∴，∴，∵，则，∴，解得：，∴，故答案为：6．15．如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则．【答案】【分析】连结、，轴，由得到．由得到，则，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值．【详解】解：如图，连结、，

∵轴，∴．∴．∵，∵，∴，∵图象位于第一象限，则，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形结合的思想是解答问题的关键．16．如图，过点作直线与双曲线交于，两点，过点作轴于点，作轴于点，在轴、轴上分别取点，，使点，，在同一条直线上，且，设图中矩形的面积为，的面积为，则，的数量关系是．

【答案】【分析】过点作轴于点，根据反比例函数图象系数的几何意义即可得出，，再根据中位线的性质可得出，由此即可得出，的数量关系．【详解】过点作轴于点，如图所示，

∵轴，轴，轴，∴，，∵，轴，轴，∴，，∴，∴，即，故答案为：．【点睛】此题考查了反比例函数图象系数的几何意义以及三角形的中位线，根据反比例函数图象系数的几何意义找出、是解题的关键．17．如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，若的面积为，则．

【答案】【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据，得出，根据三角形面积公式，即可求出的面积；过点B作轴于点D，交于点E，根据，，得出，进而得出，根据梯形面积公式，列出方程，化简得，令，则，求出x的值，根据，得出，即，即可解答．【详解】解：∵，∴，∴，过点B作轴于点D，交于点E，

∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，整理得：，令，则，解得：，，∵，∴，即，∴，故答案为：2．18．在直角坐标平面内，函数的图像在同一个象限内经过A、B两点，且．过点作轴垂线，垂足为点，连接、、，若，则点的坐标是．【答案】或．【分析】此题主要考查了反比例函数的图像，利用待定系数法求反比例函数的表达式，利用点的坐标表示出相关线段的长度．根据过点求得反比例函数，再设点B的坐标为，则有，过点作则有，结合三角形面积公式即可求得答案．【详解】解∵函数的图像经过，∴，∴该函数得为：，∵点在反比例函数上，∴设点的坐标为，∵轴于点，则，过点作于点，如下图所示：∵点，∴，∵，∴，∴，∴，由，解得：，由，解得：，当时，点的坐标为，当时，点的坐标为，故答案为：或．三、解答题19．如图，，关于原点对称，为反比例函数图象上异于的一个点．过作垂直于轴于点．(1)若的坐标为，则的坐标为______；(2)若的面积为，则的值为______；(3)在（）的条件下，若的纵坐标为，求的面积．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】()根据关于原点对称的性质求解即可；()利用待定系数法求解；()求出直线的解析式，可得直线交轴一点，再利用分割法求出的面积；此题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【详解】（1）∵点与关于原点对称，∴点，故答案为：；（2）∵，的面积为，∴，解得：，故答案为：；（3）∵的图象过，∴，∵若的纵坐标为，∴点，设直线解析式为，与轴交于点，如图，∴，解得：，∴直线解析式为，∴点，∴，∴．20．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，坐标原点是的中点，，，双曲线经过点．

(1)求k；(2)直线与双曲线在第四象限交于点．求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）过点A作轴于点E，由题意易得，进而可得，然后可