特训03 平行线的判定与性质 解法大全（十四大题型）（解析版）

特训03平行线的判定与性质解法大全（十四大题型）目录：题型1：平行的判定（在不同数学模型）题型2：平行的判定的与性质的有关概念辨析题型3：平行的性质的推理及应用题型4：利用平行的性质求解（在不同数学模型）题型5：利用平行的判定与性质的应用（不同情景）题型6：作图题-画平行线的步骤及依据题型7：平行线间的距离及应用题型8：三角板在平行线中的应用题型9：折叠问题题型10：相交线平行线交点问题题型11：平行线与方程问题题型12：解答题——作图题题型13：解答题——补全步骤及依据题型14：解答题——平行线的判定与性质综合解答题题型1：平行的判定（在不同数学模型）1．下列条件能判定的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了平行线的判定．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行可得答案．【解析】解：A、当时，无法得到，不符合题意；B、当时，无法得到，不合题意；C、当时，无法得到，不合题意；D、当时，可得，符合题意．故选：D．2．如图，已知，，，要使，则需添加（只填出一种即可）的条件．

【答案】或或（答案不唯一）【分析】本题考查平行线的判定，涉及内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解决问题的关键．【解析】解：，，若，则，；，，，则，若，则，；综上所述，添加或或，，故答案为：或或（答案不唯一）．3．如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理分别进行分析即可．【解析】解：A、，能判断，但不可判断，故此选项不符合题意；B、可判断，故此选项符合题意；C、能判断，但不可判断，故此选项不符合题意；D、能判断，但不可判断，故此选项不符合题意；故选：B．4．如图，下面能判断的条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查平行的判定定理，掌握平行的判定定理“判定方法1：同位角相等，两直线平行；判定方法2：内错角相等，两直线平行；判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．”即可解题．【解析】解：根据平行的判定定理，，，，，，，综上所述，所以A、B、D项不能判定，C项正确，故选：C．5．如图，下列条件：①，②，③，④，⑤，⑥中能判断直线的有（）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的判定．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论．【解析】解：①由，可得；②由，可得；③由，，可得，即可得到；④由，不能得到；⑤由，可得，即可得到；⑥由，，可得，即可得到；故选：C．6．如图，如果与、与分别互补，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了同角的补角相等，平行线的判定；根据同角的补角相等可得，根据内错角相等，两直线平行可得．【解析】解：∵与、与分别互补，∴，∴，故选：B．题型2：平行的判定的与性质的有关概念辨析7．下列说法不是平行线判定的是（

）A．平行于同一直线的两直线平行 B．两直线平行，同位角相等C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行【答案】B【分析】根据平行线的性质和判定，逐个进行判断即可．【解析】解：B、两直线平行，同位角相等，是平行线的性质，不是平行线的判定定理，符合题意；A、C、D均是平行线的判定，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．8．下列说法错误的个数是（）①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了平行线、点到直线的距离等知识，注意平行公理是在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据平行公理、点到直线的距离，对选项逐一进行分析，即可得出答案．【解析】解：①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该说法错误；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故该说法错误；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故该说法错误；④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，该说法正确．综上所述，说法错误的是①②③，合计3个．故选：C．9．下列说法中正确的是（

）A．同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．过一点有且只有一条线平行于已知直线C．两条直线的位置关系是相交、平行、垂直D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离【答案】A【分析】根据垂线的性质，平行公理，两直线的位置关系，点到直线的距离解答即可．【解析】解：A、同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，说法正确，符合题意；B、经过直线外一点，有且只有一条线平行于已知直线，说法错误，不符合题意；C、同一平面内，两条直线的位置关系是相交、平行、重合，说法错误，不符合题意；D、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，说法错误，不符合题意；故选：A【点睛】本题考查了垂线的性质，平行公理，直线的位置关系以及点到直线的距离，解题的关键是正确把握相关定义和性质．10．下列说法中正确的个数是（

）（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种；（4）不相交的两条直线叫做平行线；（5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据平行，垂直，对顶角的性质，以及邻补角的定义即可判断，注意“同一平面内”这个条件的重要性．【解析】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法正确；（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误；（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种，故说法正确；（4）同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故说法正确；（5）有公共顶点且有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角；故原说法错误．故（1）（3）（4）正确，共3个．故选：C．【点睛】本题考查了平行公理及推论，垂线，平行线的知识，解题的关键是了解平行线的性质、垂线的性质、两直线的位置关系、平行线的定义．题型3：平行的性质的推理及应用11．下面推理正确的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】本题考查了平行公理的推论，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”逐项判断即可，掌握平行公理的推论是解题关键．【解析】解：A、，都和平行，应该推出的是，而非，故错误，不符合题意；B、，与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意；C、，都和平行，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”可推出是，故正确，符合题意；D、，与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意；故选：C．12．若，，则与的关系是（

）A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对【答案】D【分析】只有当直线a、b、c位于同一平面内时，垂直于同一条直线的两条直线平行成立，即可得到答案．【解析】解：当直线a、b、c在同一平面内时，，，则．当直线a、b、c不在同一平面内时，，，与的关系不一定平行．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．13．、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么下列判断正确的是（

）A．与一定不平行 B．与一定平行C．与一定互相垂直 D．与可能相交或平行【答案】D【分析】根据关键语句“若与不平行,与不平行,”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案．【解析】根据题意可得图形：根据图形可知：若与不平行,与不平行,则与可能相交或平行，故选：D.【点睛】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交.题型4：利用平行的性质求解（在不同数学模型）14．如图，直线c与直线a、b都相交，若，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是平行线的性质，对顶角的性质等知识点，先根据对顶角的性质求出的度数，再平行线的性质即可得出结论，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．【解析】如图：∵，∴，∵，∴．故选：B．15．如图，，下列各角中一定等于的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质即可求解．【解析】，，，故选：C16．如图，，，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查平行线的性质，同位角相等．根据平行线的性质，，经过计算可求．【解析】解：∵，∴；∵，∴，∴，，故答案为：B．17．如图，直线，，被直线所截，若，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质可得，再根据补角的定义即可求解．【解析】解：∵，，如图：，，∴，故选：C．18．如图，，，若，则的大小是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．由可得，根据，可得的度数，最后根据对顶角相等即可求解．【解析】解：，，，，，，，故选：B．19．如图，直线分别交，于点，，平分，，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义得出，最后根据平行线的性质，即可求解．【解析】解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，故选：A．20．如图所示，已知，直线分别交于E、F两点，平分，交于点G．若，则度．【答案】【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对顶角的性质，根据对顶角相等，可得，根据两直线平行、同旁内角互补，可得，根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即可求解．【解析】解：，，，，，平分，，，，，故答案为：116．题型5：利用平行的判定与性质的应用（不同情景）21．如图，固定木条，，使，旋转木条，要使得，则应调整为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键．【解析】解：∵，∴，∵，∴，故选：C22．一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知，则的度数是．【答案】/80度【分析】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等得出，由的度数求出的度数，即可解答．【解析】解：如图，由题意得：，∴，∵，，∴，∴，故答案为：．23．如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则．【答案】/138度【分析】题目主要考查方位角的计算，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．先根据题意得出，，再根据平行线的性质得出，最后求出结果即可．【解析】解：根据题意得：，，∵，∴，∴．故答案为：．24．已知的两边与的两边互相平行，且比的两倍小，则．【答案】或【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了两边分别平行的两个角的关系．关键是分类讨论．设，则，根据两边分别平行的两个角相等或互补得到或，再分别解方程，然后计算的值即可．【解析】解：由题意得两边分别平行的两个角相等或互补设，则，当时，即，解得，所以；当时，即，解得，所以；所以的度数为或．故答案为：或．25．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（

）A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐【答案】B【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意可得两次拐弯的方向不相同，但角度相等．【解析】解：如图，第一次拐的角是，第二次拐的角是，由两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进得：，由此可知，两次拐弯的方向不相同，但角度相等，观察四个选项可知，只有选项B符合，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．26．将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当时，与三角板的边平行．【答案】秒或秒或秒【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解答本题的关键．根据题意，分三种情况讨论：当时，当时（转到），当时（转到），画出对应的图形，利用平行线的性质，计算得到答案．【解析】当时，如图：延长交于．，，，，（秒）．当时（转到），如图：，，，（秒）．当时（转到），如图：，，（秒）．故答案为：秒或秒或秒．题型6：作图题-画平行线的步骤及依据27．如图，给出了过已知直线外一点，作已知直线的平行线的方法，其依据是．

【答案】同位角相等，两直线平行【分析】根据同位角相等，两直线平行解答即可．【解析】如图，由作法可知，∴（同位角相等，两直线平行）．故答案为：同位角相等，两直线平行

【点睛】本题考查了平行线的作法，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解答本题的关键．28．如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是：．（填序号）

【答案】④②①③【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答；【解析】解：正确的步骤是：④用三角尺的一边贴住直线a；②用直尺紧靠三角尺的另一边；①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P；③沿三角尺的边作出直线b；故答案为：④②①③；题型7：平行线间的距离及应用29．如图，已知，垂足分别为E，F．若，则AD与BC之间的距离是．【答案】5【解析】略30．如图，已知，点A、E在直线a上，点B、C在直线b上，且，则下列说法中正确的是（

）A． B． C． D．无法确定．【答案】C【分析】先根据平行线之间的距离可得点到直线的距离相等，再利用三角形的面积公式即可得．【解析】解：，点到直线的距离相等，设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，，，故选：C．【点睛】本题考查了平行线之间的距离，掌握理解平行线之间的距离是解题关键．题型8：三角板在平行线中的应用31．如图，直线，含有角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查平行线的性质，过B作，推出，由平行线的性质得到，，求出，即可得到．【解析】解：过B作，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．故选：B．32．将一副直角三角板作如图所示摆放，，，则下列结论不正确的是

（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，由三角板中角度的特点可得，则，即可判断A；由平角的定义即可判断B；过点F作，则，由平行线的性质得到，进而求出，即可判断C；再由平角的定义即可得到，即可判断D．【解析】解：∵，∴，故A结论正确，不符合题意；∵，∴，故B结论正确，不符合题意；如图所示，过点F作，∵，∴，∴，∴，∴，故C结论错误，符合题意；∴，∴，故D结论正确，不符合题意；故选：C．33．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④【答案】D【分析】此题考查互余角的性质，平行线的判定及性质，熟练运用解题是关键．根据即可证得①；根据求出与的度数大小即可判断②；利用求出，与的度数大小即可判断③；利用求出，即可得到的度数，即可判断④．【解析】解：∵，∴，故①正确；∵，∴∵，∴，∴，故②正确；∵，∴，∵，∴，∴，故③正确；∵，∴，∵，∴，∴，故④正确，故选：D．题型9：折叠问题34．如图，纸片的边缘，互相平行，将纸片沿折叠，使得点B，D分别落在点，处.若，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了平行线性质和折叠的性质，根据平行可得到的值，再根据折叠后，即可求得的度数．【解析】解：，，，，由折叠得：，故选：A．35．如图，四边形为长方形纸带，点分别在边上，将纸带沿折叠，点的对应点分别为，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查折叠性质及平行线的性质，结合已知条件求得的度数是解题的关键．根据折叠性质求得的度数，然后利用平行线性质求得的度数，再结合折叠性质即可求得答案．【解析】解∶，由折叠性质可得，长方形中，由折叠性质可得，故选∶C．36．如图a是长方形纸带，，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的的度数是度．

【答案】111【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再根据翻折的性质，图中处重叠了3层，然后根据代入数据进行计算即可得解．【解析】解：，长方形的对边，，由折叠，处重叠了3层，．故答案为：111．【点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质，观察图形判断出图中处重叠了3层是解题的关键．题型10：相交线平行线交点问题37．有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（）A．21个 B．22个 C．23个 D．24个【答案】C【分析】首先可得、、、、、这6条直线最多有个交点，最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点，然后可得答案．【解析】解：如图，∵，、、交于同一点，

∴这6条直线最多有个交点，∵最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点，∴这8条直线的交点个数最多为（个），故选：C．【点睛】本题考查直线之间的交点个数，直线之间的交点个数最多的情况为后出现的直线与前面的直线均有不同交点．有位置前提的情况下，需要了解直线本身具有什么位置关系特点，先理清楚条件再按照交点个数最多的策略画图．理解直线之间的交点个数最多的情况是解题的关键．题型11：平行线与方程问题38．[新素材·激光灯]醒目激光灯也称夜间道路警示灯，它是一项防疲劳驾驶、防事故的“黑科技”，为了提醒司机安全驾驶，某交通事故常发路段安装了激光灯，如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中P，Q是直线上的两个激光灯，，现激光绕点P以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点Q以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（），当时，t的值为．

【答案】16【分析】本题考查了一元一次方程，平行线的性质，解题的关键是根据时，得出，由此建立方程即可求解．【解析】解：设旋转时间为秒后，，∴，∵，∴，，解得：，故答案为：16．题型12：解答题——作图题39．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上．

(1)找一格点D，使得直线，画出直线．(2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据直线的定义，平行线的定义画出图形即可．（2）根据直线的定义，垂线的定义画出图形即可．【解析】（1）直线如图所示；（2）直线，点F如图所示．

【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．40．如图，在中，

(1)画出点A到边的垂线，垂足为D．(2)过点A作的平行线．(3)点A到直线的距离是线段______的长度．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据垂线的画法画图即可；（2）根据平行线的画法画图即可；（3）根据点到直线的距离的定义：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，判断即可．【解析】（1）解：如图，线段即为所求；

（2）如图，即为所求；（3）点A到直线的距离是线段的长度．【点睛】本题考查了垂线，平行线，点到直线的距离，掌握相应的画法和定义是解题的关键．41．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，、、都在格点上．(1)利用网格作图：①过点画直线的平行线；②过点画直线的垂线，垂足为点；(2)线段的长度是点________到直线________的距离；(3)比较大小：________（填>、<或=），理由：________．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)(3)，垂线段最短【分析】（1）①在A的右侧取格点D，满足，再画直线即可，②如图，取格点，再画直线交于即可．（2）根据点到直线的距离的定义判断即可．（3）根据垂线段最短，解决问题即可．【解析】（1）解：①如图，直线即为所求作．

②如图，直线即为所求作．（2）线段的长度是点C到直线的距离，（3）．理由：垂线段最短．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．题型13：解答题——补全步骤及依据42．如图，平分填空：

解∶平分（已知）（）又（已知）（）（）．【答案】见详解【分析】本题考查了角平分线的定义，平行的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题关键．由角平分线定义可得，再结合已知条件即可求证．【解析】解∶平分（已知）（角平分线的定义）又（已知）（等量代换）（内错角相等，两直线平行）．43．如图，已知三点、、在同一条直线上，，，试说明的理由．

解：因为（已知）所以（

）所以______（

）因为（已知）所以_____（

）所以（

）【答案】同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】本题考查了平行线的性质与判定；根据平行线的性质与判定进行填空，即可求解．【解析】解：因为（已知）所以（同位角相等，两直线平行）所以（两直线平行，内错角相等）因为（已知）所以（等量代换）所以（内错角相等，两直线平行）44．如图，点P在上，已知．，请填写的理由．

解∶（），（）（）又（已知）（），即（）（）【答案】见详解【分析】此题主要考查了平行线的判定，解题关键是掌握内错角相等，两直线平行．首先证明，再由利用等式的性质可得，再根据内错角相等，两直线平行可得即可求证．【解析】解∶（已知），（邻补角的定义）（同角的补角相等）又（已知）（等式的性质），即（内错角相等，两直线平行）（两直线平行，内错角相等）45．如图，已知，，那么等于多少度？为什么？

解：过点E作，得（____________），因为（____________），（所作），所以（____________）．得____________（____________）．所以______°（等式性质）．即______°，因为（已知），所以______°（等式性质）．【答案】两直线平行，同旁内角互补；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；【分析】过点E作，根据平行公理推出，进而得出，则，即可求解．【解析】解：过点E作，得（两直线平行，同旁内角互补），因为（已知），（所作），所以（平行于同一直线的两直线互相平行）．得（两直线平行，同旁内角互补）．所以（等式性质）．即，因为（已知），所以（等式性质）．故答案为：两直线平行，同旁内角互补；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线公理以及两直线平行，同旁内角互补．题型14：解答题——平行线的判定与性质综合解答题46．如图所示，已知，平分，与相交于点F，，试说明．

【答案】证明见解析【分析】根据平行线性质得出，根据角平分线定义得出，求出，根据平行线的判定得出即可．【解析】解：∵，∴，∵平分，∴，