高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：28 二项式定理（学生版+解析版）

专题28二项式定理

一、单选题

1.（2020•北京高三一模）在（2x—工）的展开式中，常数项是（）

A.-160B.-20C.20D.160

2.（2020•江苏省祁江中学高二期中）在的二项展开式中，含x"的项的系数是（）

A.10B.15C.20D.25

1］的展开式的常数项是（）

3.（2020•北京大峪中学高二期中）（一+1）

A.-3B.-4C.3D.4

4.（2020.江苏省祁江中学高二期中）已知（工一1）9（1一力=%+4%+。2/+.“+40"°，则。8=（）

A.-45B.27C.-27D.45

5.（2020.北京市鲁迅中学高二月考）（1一2x）7的展开式中系数最大的项为（）

A.第4项B.第5项C.第7项D.第8项

6.（2020•阳江市第三中学高二期中）（1-域3的展开式中，系数最小的项为（）

A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项

7.（2020•辽宁省高三其他（理））已知二项式（2妙+L）"的展开式中，二项式系数之和等于64,则展开式

x

中常数项等于（）

A.240B.120C.48D.36

8.（2020•扬州市江都区大桥高级中学高二期中）在（x+），）”的展开式中第4项与第8项的系数相等，则展

开式中系数最大的项是（）

A.第6项B.第5项C.第5、6项D.第6、7项

二、多选题

9.（2020.江苏省扬州中学高二期中）已知（々+人）〃的展开式中第5项的二项式系数最大，则〃的值可以为

()

A.7B.8C.9D.10

10.（2020•南京市江宁高级中学高二期中）若。+!）〃的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中

X

二项式系数最大的项为（）

A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项

11.（2020•福建省南安市侨光中学高二月考）关于[无一的展开式，下列结论正确的是（

)

A.所有项的二项式系数和为32B.所有项的系数和为0

C.常数项为-20D.二项式系数最大的项为第3项

12.（2020•江苏省高二期中）下列组合数公式中恒成立的有（）

A.J〃J〃

B.mC'=nCy.

「wt+1_.「tn

c.—十L〃+[

D.©y+(cj+(c"+…+(c；)2=G,

三、填空题

13.（2020・上海复旦附中高二期中）若（1+X）6=%+4X+/X2+…+%■?,贝!]%•«,•«2H/=.

14.（2020.上海交大附中高三期中）计算：C：+3C：+9C；+L+3"C：=.

15.（2020•山东省高二期中）二项式（Y—2）5的展开式中工4的系数是

X

16.（2020•浙江省高三三模）二项式（x+2）的展开式中，所有二项式系数的和是，含x的项

的系数是.

四、解答题

17.（2020.延安市第一中学高二期中（理））已知（1—2x）7=4+4/+々/+…+%/，求

（1）%+q+.・・+%的值；

（2）。（）+。2+。4+。6的值.

18.（2020•北京大峪中学高二期中）已知（_L+x|展开式中的第三项的系数为45,求:

X

（1）含力的项；

（2）二项式系数最大的项.

19.（2020.湖北省高二期中）已知（«一2）的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等.

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中系数最大的项.

1

20.（202。怀仁市第一中学校高二月考（理））已知（x+双）"的展开式中的第二项和第三项的系数相等.

（1）求”的值；

（2）求展开式中所有的有理项.

21.（2020•江西省上高二中高二月考（理））在二项式（«+r=）"的展开式中，前三项的系数依次成等差

数列.

（1）求展开式中的所有有理项;

（2）求系数最大的项.

22.（2020•广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知卜+上］展开式前三项的二项式系数和为22.

（1）求”的值；

（2）求展开式中的常数项；

（3）求展开式中二项式系数最大的项.

专题28二项式定理

一、单选题

1.（2020•北京高三一模）在（2x—工］的展开式中，常数项是（）

IX）

A.-160B.-20C.20D.160

【答案】A

【解析】

\x-^\展开式的通项公式为4+1=C；-（2x）6-r-（-l）r-=（-l）r-26-r-C；-x6-2r,

Ix）

令6—2r=0,可得r=3,故（2x—工）展开式的常数项为—8-C；=-160,

故选：A.

2.（2020•江苏省祁江中学高二期中）在/+」_的二项展开式中，含x"的项的系数是（）

I2xJ

A.10B.15C.20D.25

【答案】B

【解析】

2O3r

卜2+2］的二项展开式的通项为*=GW（3=（；）qox-.

令20-3r=ll,解得r=3.

含力的项的系数是（gjc；0=15.

故选：B

3.（2020.北京大峪中学高二期中）（/+1）（4一1）的展开式的常数项是（）

A.-3B.-4C.3D.4

【答案】D

【解析】

（4一1）展开式中的第左+1项为G（―=（-1）七打21。，

当2Z—10=—2，即A=4时，此时（一1）4C；=5：

当2Z—10=0,即&=5时，此时（—if以=—1.则5—1=4.

故选:D.

4.（2020•江苏省邛江中学高二期中）己知（X—I）9。—力=/+。/+4/+...+%，°，则6=（）

A.-45B.27C.-27D.45

【答案】A

【解析】

当（1-X）取1时，（x—1）9取8个X,则ag=-1X以，

当（1一x）取一x时，（x-l）9取7个x,则ag=-1xC；x（―I,,

所以”=—1xC；x（-1）2—1x1=-45.

故选：A

5.（2020•北京市鲁迅中学高二月考）（1一2x）7的展开式中系数最大的项为（）

A.第4项B.第5项C.第7项D.第8项

【答案】B

【解析】

（-2x）7的展开式的通项公式为:Tr+]=C；（—2x）'=C；（—2）'*，

要使系数最大，则「为偶数，且r只可能从2,4,6中选，

故3（-2丫>CF（-2厂2,且C；（-2）r>C；+2（-2）r+2,

7!7!7!7!

“以4*r!-（7-r）!"（r-2）!-（9-r）!，1Lr!-（7-r）!-4><（r+2）!-（5-r）!，

4_〉]1>4

所以r（r-l）一（9-r）（8-r）,（7_祖6-，）一（r+2）（r+l），

经验证：当/'=4时，符合，

所以（1-2x）7的展开式中系数最大的项为第五项，

故选：B

6.（2020.阳江市第三中学高二期中）的展开式中，系数最小的项为（）

A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项

【答案】C

【解析】

由题设可知展开式中的通项公式为=G；（-X）'=（-1）'C'3X'，其系数为（―D'C；，当「为奇数时展开式

中项的系数（-l）'G；最小，则r=7,即第8项的系数最小，应选答案C.

7.（2020•辽宁省高三其他（理））已知二项式（2/+L）”的展开式中，二项式系数之和等于64,则展开式

x

中常数项等于（）

A.240B.120C.48D.36

【答案】A

【解析】

由题意2"=64,解得〃=6,则（2/+3"=（2"+1）6,

XX

则二项式（2%+-）6的展开式的通项公式为J=C；（2M•=26-r-C；.「告，

XV）\Xj

3

令3—5r=0即r=2，则26-JQ=2、c；=240.

故选：A.

8.（2020•扬州市江都区大桥高级中学高二期中）在（x+y）”的展开式中第4项与第8项的系数相等，则展

开式中系数最大的项是（）

A.第6项B.第5项C.第5、6项D.第6、7项

【答案】A

【解析】

因为（x+y）"的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第4项与第8项的系数相等

所以C；=C；,所以〃=10

所以展开式里系数最大的项是第6项

故选：A

二、多选题

9.（2020•江苏省扬州中学高二期中）己知（〃+与”的展开式中第5项的二项式系数最大，则〃的值可以为

（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】ABC

【解析】

•••已知（a+的展开式中第5项的二项式系数C：最大，则〃=7或〃=8或”=9

故选：ABC.

10.（2020•南京市江宁高级中学高二期中）若（x+工）”的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中

x

二项式系数最大的项为（）

A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项

【答案】CD

【解析】

由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为，

又因为其相等，则"=9

9-19+1

所以该展开式中二项式系数最大的项为J+1=5与^—+1=6项

22

即为第5项；第6项.

故选：CD

11.（2020•福建省南安市侨光中学高二月考）关于的展开式，下列结论正确的是（）

A.所有项的二项式系数和为32B.所有项的系数和为。

C.常数项为-20D.二项式系数最大的项为第3项

【答案】BC

【解析】

解：二项式（％_工）展开式的通项为=c；x6-r（__L）=q%6-2r（-i）r

令6—2厂=0,解得r=3,则常数项为7；=C；（—1）3=—20，故C正确；

且二项式系数最大的项为第4项，故D错误；

二项式系数和+C：+C；+C：=2,=64；

令x=l，得所有项的系数和为0,故A错误，B正确；

故选：BC

12.（2020・江苏省高二期中）下列组合数公式中恒成立的有（）

A.C，"_C"T"

B.仁=E

c.C〃+]—十〃+]

D.(*+(Cj+(Q)2+•••+©)、&.

【答案】ABD

【解析】

n\n\

对于A'因为*菽f，所以c："=c；'",即A正

(〃一加)！[〃一(〃一/〃)]!m\(n—ni)\

确;

n\n-(n-l)!

对于8,〃C：=m-------=m-------------------=n-(»-D!=〃仁：,故5止

m-(m-l)!•(〃-“)！(m-1)!-[(n-1)—(m—1)]!

确;

对于C,当根=〃=1时，左边=C；=1,右边=C：+C；=l+2=3,等式不成立，故C不正确;

对于O，因为（l+x）”-（l+x）”=（l+x）2",

等式左边x"的系数为：

《•C'；+c：Ci+G：c12+...+c；c>=《C>+c：C+c3c：+-+C；-G：=

（Cy+c）2+（c：）2+...+（c：）2,

等式右边x"的系数为：q„,

所以（c：）2+（c：）2+（c；）2+…+©f=G“，故。正确.

故选：ABD

三、填空题

13.(2020•上海复旦附中高二期中)若(l+x)6=%+qx+/x2+…+%1,贝IJ%也/=.

【答案】64

【解析】

66

在(l+x)6=4)+研+//+…+4X中，令x=l可得，(1+1)=<70+a,+«,+­••+.

6

所以4+4+/T--1-<z6=2=64

故答案为：64.

14.（2020•上海交大附中高三期中）计算：C；+3C：+9C；+L+3"第=.

【答案】4"

【解析】

由题得原式=3°+31C；+32C；+L+3"C；=（1+3）"=4".

故答案为：4"

15.（2020.山东省高二期中）二项式（丁一2）5的展开式中/的系数是

x

【答案】40

【解析】

依题意，二项式展开式的通项公式为J=玛・卜2『'（_2/）'=（_2广。卜_?°3,当10-3r乂,

故/的系数是（_2»C；=40.

16.（2020•浙江省高三三模）二项式［x+乌）的展开式中，所有二项式系数的和是,含x的项

的系数是.

【答案】12884

【解析】

由题意所有二项式系数的和为2’=128，

2

题中二项式展开式通项公式为（+1=2'。*73,令7-3r=1,r=2，

X

所以含X的项的系数是22。；=84.

故答案为：128；84.

四、解答题

17.（2020.延安市第一中学高二期中（理））已知（1—2x）7++—+%，，求

（1）。0+。］+...+%的值；

(2)%+。2+&+。6的值・

【答案】(1)-1；(2)1093

【解析】

(1)令x=1,则a。+4+...a?=(1—2)=—1；

(2)令x=—1,则4—q+4-…%=2187①

令x=0,则％=1

.=q++%+,,•%=-2②

由①+②得4+2(%+&+%)=2187-2=2185,即％+%+牝=1092

4+生+/+4=1+1092=1093

_门丫

18.(2020•北京大峪中学高二期中)已知上+x展开式中的第三项的系数为45,求：

㈠)

(1)含丁的项；

(2)二项式系数最大的项.

【答案】(I)120x4；(2)252.

【解析】

(1)|-+x|展开式的通项为*+]=C：--£=C：.一,

x)

由于展开式中第三项的系数为45,即C；=45,即〃(丁)=45,整理得“2—〃—90=0，

•.•〃eN*，解得〃=10,则展开式通项为I.=Ci•/I。，

令2-10=4,解得r=7,因此，展开式中含炉的项为(=C3X4=120/；

(2)由二项式系数的对称性可知，二项式系数最大的项为7；=C：＞=252.

19.(2020.湖北省高二期中)己知(«一2)的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中系数最大的项.

.55

【答案】(D7；=-280x-,4=560”；(2)4=560”・

【解析】

（1）由题意知c；=C；，〃=7

展开式的通项为:

T(八r7f7-3r

J=G(6)—=(-2)'。；”，(-2)'3丁

\xJ

展开式中共有8项，其中二项式系数最大的项为第4,第5项

7-97-125

所以n=（―2）3c）T=-280%-',T5=（―2）4C红亍=560%^

（2）展开式中系数最大的项必须在正的系数项中产生，即在r=0.2，416时,

也即在工，T3,T5,T7中产生，

71_5_1_1

而7；=x"7；=84户，4=560”，7；=448―

5

故系数最大的项为第5项（=560/5

20.（2020・怀仁市第一中学校高二月考（理））已知（x+在）”的展开式中的第二项和第三项的系数相等.

（1）求”的值：

（2）求展开式中所有的有理项.

,5,5

【答案】（1）力=5；（2）T=x,T=—x,T=——.

}32516x

【解析】

二项式。+女）.展开式的通项公式为

等'(r=0,1,2…〃)；

（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得

1、2

27

1n(n-\\

B|J-n=----------

242

解得〃=5；

（2）二项式展开式的通项公式为

当r=0,2,4时，对应项是有理项,

所以展开式中所有的有理项为

\0

•X5=x5,

7

4=C“:|y'la

、

\5-6_5

X---

716x

21.（2020.江西省上高二中高二月考（理））在二项式（«+砺）”的展开式中，前三项的系数依次成等差

数列.

（1）求展开式中的所有有理项；

（2）求系数最大的项.

较碍11幻学

【答案】（1）皿=足％=守，⑵&=嫡和%=短

【解析】

⑴•.•喘=八%