第一章直线与圆知识归纳与题型突破（4大考点8大题型）（原卷版）

第一章直线与圆（题型清单）0101考点归纳考点一、直线的方程考点二、两条直线的位置关系考点三、圆的方程考点四、直线与圆、圆与圆的位置关系0202知识速记直线的方程1．直线的倾斜角一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按eq\o(□,\s\up1(1))逆时针方向旋转到与直线重合时所转的eq\o(□,\s\up1(2))最小正角记为θ，则称θ为这条直线的eq\o(□,\s\up1(3))倾斜角；倾斜角的取值范围是eq\o(□,\s\up1(4))[0，π)．2．直线的斜率(1)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90˚时，称k＝eq\o(□,\s\up1(5))tanθ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝eq\o(□,\s\up1(6))eq\f(y2－y1,x2－x1)；当x1＝x2时，直线l的斜率不存在．(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的eq\o(□,\s\up1(7))方向向量．若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(u，v)，则k＝eq\o(□,\s\up1(8))eq\f(v,u)．3．直线方程的五种形式名称几何要素方程形式适用范围点斜式点(x0，y0)，斜率keq\o(□,\s\up1(9))y－y0＝k(x－x0)与x轴不垂直斜截式斜率k，纵截距beq\o(□,\s\up1(10))y＝kx＋b两点式点(x1，y1)，点(x2，y2)，x1≠x2，y1≠y2eq\o(□,\s\up1(11))eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)与坐标轴不垂直截距式纵、横截距，a≠0，b≠0eq\o(□,\s\up1(12))eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不过原点且不垂直于坐标轴一般式Ax＋By＋C＝0(A≠0或B≠0)所有直线常用结论1．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．2．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)相交eq\o(□,\s\up1(1))k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝eq\o(□,\s\up1(2))－1eq\o(□,\s\up1(3))A1A2＋B1B2＝0平行eq\o(□,\s\up1(4))k1＝k2且b1≠b2eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0))重合eq\o(□,\s\up1(5))k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0(1)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.2．两直线的位置关系与方程组解的关系方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合eq\o(□,\s\up1(6))平行3.三种距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq\o(□,\s\up1(7))eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．(2)点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\o(□,\s\up1(8))eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\o(□,\s\up1(9))eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．圆的方程1．圆的定义与方程2．点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，设M的坐标为(x0，y0)．三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2eq\o(□,\s\up1(6))＝r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2eq\o(□,\s\up1(7))>r2⇔点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2eq\o(□,\s\up1(8))<r2⇔点在圆内直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0，))消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δeq\o(□,\s\up1(1))<0Δeq\o(□,\s\up1(2))＝0Δeq\o(□,\s\up1(3))>0几何观点deq\o(□,\s\up1(4))>rdeq\o(□,\s\up1(5))＝rdeq\o(□,\s\up1(6))<r2．圆与圆的位置关系已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req\o\al(2,1)，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req\o\al(2,2)，则圆心距d＝|C1C2|＝eq\o(□,\s\up1(7))eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)．则两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系圆心距与半径的关系图示公切线条数外离eq\o(□,\s\up1(8))d>r1＋r24内含eq\o(□,\s\up1(9))d<|r1－r2|0相交eq\o(□,\s\up1(10))|r1－r2|<d<r1＋r22内切eq\o(□,\s\up1(11))d＝|r1－r2|1外切eq\o(□,\s\up1(12))d＝r1＋r230303题型归纳题型一直线的方程例题：11．过点，倾斜角为的直线方程是（

）A． B．C． D．12．过点和，的直线的一般式方程为（

）A． B．C． D．巩固训练11．已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（

）A． B．C． D．12．过点，且倾斜角为的直线方程为（

）A． B． C． D．13．已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为（

）A． B．C． D．题型二直线方程的综合应用例题：21．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（

）A． B．或C． D．或22．直线l：与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（

）A． B．C． D．巩固训练21．直线，当变动时，所有直线都通过定点（

）A． B． C． D．22．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．23．已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（

）A． B．C． D．或题型三两条直线的平行与垂直例题：31．过点且与直线平行的直线方程是（

）A． B．C． D．32．若直线与直线垂直，则实数a的取值是（

）A．或 B．C． D．巩固训练31．已知直线：，：，若，则m的值为（

）A．1 B．－3 C．1或－3 D．－1或332．若直线与互相垂直，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．33．若直线l经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是（

）A． B． C． D．题型四两条直线的综合应用例题：41．已知直线，直线，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．42．已知直线与直线平行，则（

）A． B． C． D．巩固训练41．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．1642．已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（

）A． B． C． D．43．已知直线，䒴，，则（

）A．或 B． C．或 D．题型五圆的方程例题：51．在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（

）A． B．C． D．52．圆的圆心坐标和半径分别为（

）A．， B．， C．，3 D．，3巩固训练51．圆的圆心和半径分别为（

）A． B． C． D．52．经过点，且以为圆心的圆的一般方程为（

）A． B．C． D．53．过和两点的面积最小的圆的标准方程为（

）A． B．C． D．题型六轨迹方程和最值问题例题：61．已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．62．已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．巩固训练61．若点是圆:上一点,则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．862．已知线段的端点的坐标，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹所围成图形的面积（

）A． B． C． D．63．已知为圆上的一动点，为坐标原点，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型七圆的切线、弦长例题：71．直线被圆所截得的弦长为（

）A． B． C．3 D．672．若直线与圆只有一个公共点，则（

）A． B．1 C．0 D．2巩固训练71．若直线与圆交于点A，B，则（

）A． B． C． D．72．已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（

）A． B． C． D．73．已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（

）A． B． C． D．题型八直线与圆、圆与圆的位置关系综合例