第4讲基本不等式(学生版)

第4讲基本不等式【课前测试】1、若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为____，eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为_____．2、已知x，y为正实数，则eq\f(4x,x＋3y)＋eq\f(3y,x)的最小值为()A.eq\f(5,3)B.eq\f(10,3) C.eq\f(3,2) D．3【知识梳理】1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中eq\f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)称为正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p)．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(s2,4)．(简记：和定积最大)3．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．(5)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．【课堂讲解】考点一利用基本不等式求最值—公式法例1、设正实数a，b满足a+b＝1，则a2+b2最小值是，最大值是．变式训练：1、已知正数a、b满足2a+3b＝，则ab的最大值为（）A． B． C． D．2、若实数a、b满足a+b＝1，则3a+3b的最小值是（）A．18 B．2 C．6 D．2考点二利用基本不等式求最值—拼凑法例2、(1)已知0＜x＜，则x（4﹣3x）的最大值为.(2)已知x∈（2，+∞），函数y＝x+的最小值为（）A．4 B．6 C．2 D．8变式训练：1、设0＜x＜，求函数y＝4x（3﹣2x）的最大值．2、已知x＜3，求f（x）＝+x的最大值；3、已知0＜x＜，则函数y＝x（1﹣4x）的最大值为．4、设x＞0，则函数y＝x+﹣的最小值为（）A．0 B． C．1 D．5、已知x为正实数且x2＋eq\f(y2,2)＝1，求xeq\r(1＋y2)的最大值为．类型三利用基本不等式求最值—常数代换法例3、(1)已知正实数x，y满足2x+y＝2，则+的最小值为．(2)若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（）A．2 B．2 C．5 D．4变式训练：1、已知x，y∈R+，且x+y＝4，求+的最小值．2、若x，y∈R+，且x+3y＝5xy，则3x+4y的最小值是（）A．5 B． C． D．3、若正数x，y满足2x+y﹣3＝0，则的最小值为（）A．4 B．2 C．3 D．4、设正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为．5、已知正数x，y满足x+2y＝3，则的最小值．6、设实数a，b满足条件b＞0且a+b＝3，则的最小值为（）A． B． C． D．类型四利用基本不等式求最值—消元法例4、已知正实数x，y满足xy+2x+y＝4，则x+y的最小值为．变式训练：1、若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是（）A．4 B． C．2 D．42、如果正实数x，y满足xy+2x+y＝4，则3x+2y的最小值为．类型五利用基本不等式求最值—整体法例5、已知正数a，b满足a+2b+ab＝6，则a+2b的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8变式训练：1、已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，则x+2y的最小值是（）A．3 B．4 C． D．2、已知x，y都是正实数，且x+y﹣3xy+5＝0，求xy的最小值．3、已知实数x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则x+y的最大值为．类型六利用基本不等式求最值—换元法例6、已知实数x，y满足2x＞y＞0，且＝1，则x+y的最小值为（）A． B． C． D．变式训练：1、设a，b为正实数，则+的最小值为．2、若正数a，b满足，的最小值为（）A．1 B．6 C．9 D．16类型七利用基本不等式求最值—轮换对称法例7、若a＞0，b＞0，且，则a2+b2的最小值为（）A．2 B． C．4 D．变式训练：1、已知a，b都是正数a+b＝1，则（a+）（b+）的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．2、已知a＞0，b＞0，则的最小值是（）A．2 B． C．4 D．5考点八利用基本不等式求最值—多次利用例8、已知a>b>0，那么a2＋eq\f(1,ba－b)的最小值为________。变式训练：1、已知a＞b＞0，则2a＋eq\f(4,a＋b)＋eq\f(1,a－b)的最小值为()A．6B．4C．2eq\r(3)D．3eq\r(2)2、若a，b∈R，ab>0，则eq\f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值为________.考点九利用基本不等式求最值—代换减元例9、已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则eq\f(y2,xz)的最小值为()A．3B．6C．9D．12变式训练：1、若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则eq\f(4,a＋1)＋eq\f(1,b＋c)的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.62、若a，b都是正数，且a＋b＋c＝1，则a2+b3、设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq\f(z,xy)取得最小值时，x＋2y－z的最大值为__________．考点十基本不等式的综合应用求参数值或取值范围例10、已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2 B．4C．6 D．8变式训练：1、若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0,1)恒成立，则a的取值范围是________．2、已知a>0，b>0，若不等式eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,a＋3b)恒成立，则m的最大值为()A．9B．12C．18D．243、已知不等式2x＋m＋eq\f(8,x－1)>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是________．【作业布置】1、已知正数a，b满足a＋b＝2，则eq\r(a)＋eq\r(b＋1)的最大值为()A.eq\r(3) B.eq\r(2)＋1C.eq\r(6) D.eq\r(3)＋12、若a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为()A．8 B．6C．4 D．23、若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是()A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,3)C．2 D.eq\f(5,4)4、若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是()A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(2\r(3),3)5、若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是()A．4 B．8C．2eq\r(2) D．4eq\r(2)6、若正数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，则eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)的最小值为()A．16 B．9C．6 D．17、已知a>b>0，则a＋eq\f(4,a＋b)＋eq\f(1,a－b)的最小值为()A.eq\f(3\r(10),2) B．4C．2eq\r(3) D．3eq\r(2)8、设x＞0，y＞0，且x+y＝3，则2x+2y的最小值是（）A．8 B．6 C．3 D．49、已知正实数a，b满足a+b＝2，则的最小值为（）A． B．3 C． D．10、若正数x，y满足x+4y﹣xy＝0，则的最大值为（）A． B． C． D．111、设实数a，b满足b＞0，且a+b＝2．则+的最小值是（）A． B． C． D．12、已知a＞0，b＞0，则的最小值为（）A．4 B．7.5 C．8 D．1613、已知x，y为正实数，且满足x2+4y2+xy＝5，则x+2y的最大值是（）A． B．2 C． D．214、已知a>0，b>0，2a＋b＝4，则eq\f(3,ab)的最小值为_______．15、若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)(b＋1)的最大值为________．16、正实数x，y满足4x2＋y2＋xy＝1，则xy的最大值为________；2x＋y的最大值为________．17、已知a>0，b>0，若不等式eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,a＋3b)恒成立，则m的取值范围为________．18、正实数x，y满足2x+y＝2，则+的最小值为．19、已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为．20、设a，b为正实数，则的最小值为．21、设正数a，b满足，，则+的最大值是．22、已知实数x，y满足2x＞y＞0，且，则x+y的最小值为．23、已知实数若x、y满足x＞y≥0，则的最小值是．24、设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为．25、设x，y为实数，若4x2+y2+xy＝1，则2x+y的最大值是．26、若正实数x，y满足2x+y+6＝xy，则xy的最小值是．27、已知实数x，y满足x＞y＞0，且x+y＝1，则的最小值为．28、已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为