不等式性质高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

3.1不等式的性质学习目标1.理解不等式的性质2.掌握不等式性质的应用导入新课问题1从下列图片中我们可以得出什么信息？导入新课与生活息息相关的不等式词汇不超过、不大于、限速、限重低于、小于相等、一样不小于、不低于、超过、高于、大于<>在初中数学中，可以利用数轴比较任意两个实数a,b的大小。关于实数a,b的大小比较，有以下基本事实：如果a-b是正数，那么a>b;如果a-b等于0，那么a=b;如果a-b是负数，那么a<b;导入新课a>ba-b>0;a=ba-b=0;a<ba-b<0.导入新课性质1：如果a＞b，b＞c，那么a＞c.证明：∵a－b＞0，b－c＞0根据两个正数的和还是正数，得（a－b）＋（b－c）＞0，∴a－c＞0，∴a＞c．作差法导入新课性质2：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.证明：∵a－b＞0∴（a＋c）－（b－c）＝a－b＞0，∴a－b＞0，∴a＋c＞b＋c．不等式两边加上同一个数，不等号方向不改变。导入新课性质3:(1)如果a＞b，c>0,那么ac＞bc；(2)如果a＞b，c<0,那么ac<bc.不等式两边乘上上同一个正数，不等号方向不改变。不等式两边乘上上同一个负数，不等号方向相反。证明:(1)要证ac>bc,只要证ac-bc>0

∵a>b∴a-b>0

又∵c>0∴ac-bc=(a-b)c>0

∴ac＞bc导入新课性质4：如果a＞b，c>d,那么a＋c＞b＋d.由性质1，得a＋c＞b＋d．证明：由性质2，∵a>b∴a＋c＞b＋c

∵c>d∴c＋b＞d＋b；大数加大数，大于小数加小数导入新课性质5:(1)如果a＞b>0，c>d>0,那么ac＞bd；(2)如果a＞b>0，c<d<0,那么ac<bd.证明：由性质2，∵a>b∴a＋c＞b＋c

∵c>d∴c＋b＞d＋b；特别地，如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N*，n≥2）．导入新课

大于0的数中，大数的n次方根大于小数

根据性质5和根式的性质，得a＜b或a＝b．

反证法不等式开方性质证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法．反证法的一般步骤：假设假设命题结论不成立．推理得出的结论与已知条件矛盾与定理，定义，公理矛盾假设不成立所证命题成立例题精讲例1

试比较(x＋1)(x＋5)与(x＋3)2的大小．∴（x＋1）（x＋5）＜（x＋3）2．解答：作差比较，（x＋1）（x＋5）－（x＋3）2＝－4＜0．例题精讲例2

试证明：若0＜a＜b，m＞0，则

．证明：

作差比较，

因为a＜b，所以b－a＞0，又因a＞0，b＞0，m＞0，所以

所以

例题精讲例3(1）已知a＞b，ab＞0，求证：

；

（2）已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d．（2）因c＜d．由不等式的性质3，－c＞－d再由a＞b，利用不等式的性质4，同向不等式相加，得a－c＞b－d．证明(1)因ab＞0，则

＞0，

由不等式的性质3，a·

＞b·

，即

练习巩固1用“>”或“<”填空

>><><<特殊值法练习巩固2试比较下面各组中两式的大小（1）(x-2)2与(x-1)(x-3)．（2）x2+2x与3x-1方法总结[方法总结]

利用作差法比较两个实数(或代数式)大小的步骤及变形方法(1)利用作差法比较两个实数(或代数式)大小的步骤：作差→

变形→

定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．(3)在遇到无理数(式)比较大小时，可将分子或分母有理化再作比较，如果比较大小的两个数(式子)都是正数，那么可先乘方再作比较．（4）对于小题，可取特殊值代入进行比较课堂小结性质内容备注性质1性质2性质3性质4如果a＞b，且b＞c，那么a＞c传递性如果a＞b，那么a＋c＞b＋c如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc加（减）乘（除）运算如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d同向不等式相加性质5性质6如果a＞b＞0