新教材人教A版必修第二册6. 3 . 1 平面对量根本定理作业

20212022学年新教材人教A版必修其次册6.3.1平面对量根本

定理作业

1、设4,°2是不共线的向量，AB=q+5e2,^=-2^,+8^>CD=3e「3%,

那么（）

A.A、B、。三点共线B.B、C、D三点共线

C.A、B、D三点共线D.A、C.D三点共线

2、直线48上一点P满意।।2lI假设AP=/IP8,那么实数4的值为

（）

A.-3B.-1C.ID.-3或1

3、如图，|。仆画=1,|"|=8,OC1OB,<OA,。。〉=30。假设

OC-xOA+yOBx+y=（）

A.1B.2C.3D.4

4、向量a=(2，T),，=(-3,2),c=(l,l),那么向量c可用向量出”表示为()

11111111

A.2a+6bB,5。+3〃Q4a—2hpa-5h

lII

5、设O,A,B,M为平面上四点，OM=AOA+(l-A)OBAe(0,l),那么()

A.点N庭线段AB上B.点B在线段AM上

C.点A在线段BM上D.四点共线

6、始终线1与平行四边形ABCD中的两边AB,AD分别交于点E,F,且交其对角线

Ac于点M假设AB=2AE,AD=3AF,AM=AAB—〃AC(X,JJeR)那么

5,

—Ll—A=

2()

3

A.2B.1C.2D.-3

7、在三棱锥中，。是BC的中点，那么直AO=()

-OA-OB+-OC-OA+-OB+OC

A.22B.22

-OA+-OB+-OCOA+-OB+-OC

C.22D.22

8、设0工2是平面内的一组基底，那么下面四组向量中，能作为基底的是()

02-乌与q-e2q+3e与-4e-6e

A.2B2t2

111

e；+e；与e；-";以〈一”与一产

C.

9、以下说法中正确的选项是()

UUU1ULftl1

A.AB+BA=Q

B.假设且a//),那么

卜+司=卜一£>

C.假设,那么

D.假设。〃人，那么有且只有一个实数2,使得匕=力。

10、假如4*2是平面内一组不共线的向量，那么以下四组向量中，不能作为平面内

全部向量的一组基底的是()

A4与弓+，2B4—2色与4+2e?

C.4+e?与4.02De]-2e2与一。+2e2

H、始终线1与平行四边形ABCD中的两边AB,AD分别交于点E,F,且交其对角线

Ac于点M假设A3=2AE,AZ)=3Ab,AM=4A8—〃AC(4,〃£/?)里口么

)

3

A.2B.1c.2D.一3

12、以下各组向量中，可以作为基底的是()

Aq=(1,2),02=(-2,1)B,4=(0,。)，=(2,3)

___口_3、

C.4=(—3,4),02=(6,-8)Dq=(2,-3),与一口，,

13、点42，。)，3(0,1),°为坐标原点，动点加满意+

当4+4=1时，点M的轨迹方程为；

14、2钻C的三个顶点坐标分别为A(T2),3(3,-1),°(-5,3)，。是8c上一

点，假设那么。的坐标为.

15、八钻c中，AB=3,AC=4,BC=5,P为BC边上一动点,那么2Pq

的最小值为.

ULHLlULKI

16、如图，矩形A8CO中，点P在矩形边上运动，假设DP=2PC,

UUUUUUUUIU

AP^AAB+pADf那么；I2+"的值为.

17、在直角坐标系中(。为坐标原点)，—=(2,5),。月=(3,1),OC=(x,3).

(1)假设A,B,C共线，求x的值；

(2)当x=6时，直线0c上存在点M使求点用的坐标.

18、平面内给定三个向量a=(3,2),‘=(一1,2),c=(4,l).

(1)求满意a=m'+nc的实数①，n；

⑵假设(a+k；)〃(2，=),求实数k；

19、设与4是不共线的非零向量，且a=q-2e2，b=q+3s.

(1)证明：a'可以作为一组基底；

⑵假设4q-3e2=4a+叫求入，口的值.

参考答案

1、答案C

依据条件表示出ACBD,结合选项进行推断.

详解,由于钻=4+56BC=-2ex+8^2CD=3ex-3e2

所以BD=BC+CD=0+54=A6

所以A、B、D三点共线.

应选：C.

名师点评

此题主要考查利用向量推断三点共线问题，找出向量间的平行关系是求解的关键，侧重

考查数学运算的核心素养.

2、答案D

依据题意画出图象，依据图象分析出X的值即可.

|PB|=-|AB|

详解：解：直线AB上一点尸满意II21I,依据题意，可画出如以下图形：

(1)-3PB

⑵1--------卡——r

ULIUUU

由=假如是第一种状况：点P为A3中点，那么AP=PB,即；1=1；

假如是其次种状况：那么AP=-3PB,即4=-3,

故实数之的值为-3或1.

应选：D.

名师点评

此题考查向量共线定理，考查分析力量，属于根底题.

3、答案C

依据图形特点，可建立直角坐标系，利用坐标法表示出°C=x°A+y°8,进而可求出

73_V3

所以1—2.y~—2,解得x=2,y=l

所以中二3,

此题考查平面对量根本定理的坐标运算，考查数形结合思想和根本运算求解力量，属于

根底题.

4、答案B

ill

依据平面对量根本定理，设c=4a+〃》.代入坐标，由坐标运算即可求得参数.

详解

111

依据平面对量根本定理，可设c=2a+4b

代入可得°』）=4（2,T）+〃（-3,2）

1=24—3/zA=5

<V

即〔1=一丸+2〃，解得［〃=3

所以c=5a+36

应选:B

名师点评

此题考查了平面对量根本定理的应用，向量坐标运算及数乘运算的应用，属于根底题.

5、答案A

IIIIIII

OM=AOA+C1-X）OB,/.OM-OB=k（OA-OB\.-.BM=A.BA,又入6（0,1）,.•.点M在线段

AB±,应选A

考查目的：此题考查了向量共线定理的运用

点评：娴熟运用向量的运算及共线向量定理是解决此类问题的关键

6、答案A

由平行四边形法那么得AC=AB+AQ以及题设条件化简AM="A8-〃AC得

AM=2(4-〃)AE—由E,M,F三点共线，得出2(入一u)+(―3u)=1,即

5,

一〃-4

可求解2的值.

详解.AM=AAB—/JAC=AAB—+AD)

=(2-//)AB-/zAD=2(2~^)AE-3^iAF

由于E,M,F三点共线，所以2(N—N)+(—3U)=1

5,1

：.—fd-A,=——

即2入-5P=1,22.

应选：A

名师点评

此题主要考查了平面对量共线定理的应用，属于中档题.

7、答案C

依据向量的线性运算可表示得到结果.

详解

AD=OD-OA=-(OC+OB\-OA=-OA+-OB+-OC

应选：c

名师点评

此题考查利用基底表示向量的问题，关键是能够娴熟把握向量的线性运算的学问.

8、答案C

利用向量可以作为基底的条件是，两个向量不共线，由此分别判定选项中的两个向量是

否共线即可.

详解

由%C2是平面内的一组基底，所以G和。2不共线，

对应选项A：=一(6—«2),所以这2个向量共线，不能作为基底；

对应选项B：2ei+3e2-~2^~4e'~6e2\所以这2个向量共线，不能作为基底；

11_"•11

——e\+—/二一力q―7与

对应选项D：28-4人所以这2个向量共线，不能作为基底；

对应选项C：4+3与不共线，能作为基底.

应选：C.

名师点评

此题主要考查基底的定义，推断2个向量是否共线的方法，属于根底题.

9、答案AC

采纳逐一验证法，依据相反向量以及共线向量的概念并结合向量的运算，简洁计算，可

得结果.

UUU1UUU1

详解：由ARB”互为相反向量，那么AB+B4=0,故A正确

露MA1h

由।।।।且〃=力或a=",故B错

由何例=何一耳，那么两边平方化简可得&为=。，所以。口，故c正确

依据向量共线根本定理可知D错，由于要排解零向量

应选：AC

名师点评

此题考查向量的相反向量以及向量共线根本定理，还考查了向量垂直，主要考查概念的

理解以及简洁计算，属根底题.

10、答案D

依据向量共线定理求解即可.

工=1

*

详解：对A项，设4+02=2",那么［1=°,无解

2=1

对B项，设4一%=几(弓+262),那么［-2=24,无解

A=1

对c项，设q+e2=4(q_02),那么无解

对D项，4―2e?=—(—q+2e2),所以两向量为共线向量

应选：D

名师点评

此题主要考查了基底的概念及辨析，属于根底题.

11、答案A

由平行四边形法那么得AC=AB+AD以及题设条件化简得

A例=2(4-〃)AE-由E,M,F三点共线，得出2(入一u)+(―3u)=1,即

5,

一〃-4

可求解2的值.

详解AM=AAB—/JAC=—+AD)

=(A-^AB-^iAD=2(4—4)A后一3//AF

由于E,M,F三点共线，所以2(A—N)+(-3U)=1

即2A—5u=1,22.

应选：A

名师点评

此题主要考查了平面对量共线定理的应用，属于中档题.

12、答案A

推断各选项中的两个向量是否共线，可得出适宜的选项.

详解

对于A选项，弓=(1，2),02=(-2,1),由于1x1-2x(-2)'0,那么,和e?不共线，A

选项中的两个向量可以作基底；

对于B选项，弓=(°，°),02=(2,3),那么G和共线，B选项中的两个向量不能作基

底；

对于C选项，6=(-3,4),02=(6，-8),那么02=为，c选项中的两个向量不能作

基底；

eJi__3^e

对于D选项，6=(2,-3),212”上那么6,D选项中的两个向量不能作

基底.

应选：A.

名师点评

此题考查基底概念的理解，解题的关键就是所找的两个向量不共线，考查推理力量与计

算力量，属于根底题.

13、答案x+2y-2=0

设出点依据向量相等，可以用乂》表示出入〃，再由即可求出轨

迹方程.

详解

设M(x,y),那么。〃=(无,y),OA=(2,0),OB=(0,l),由于0M=40A+〃06

-+y=1

所以(x，y)=(2Z〃)，即x=2Zy=〃，当4+〃=1,即2,即x+2y—2=0.

故答案为：x+2y_2=o.

名师点评

此题主要考查轨迹方程的求法，属于根底题.

14、答案(1,0)

\BP\J

依据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比，可得10cl3,再得到

—1----1―.

BD=-DCBD=-DC

3，设出。的坐标，代入3可解得.

详解

SABD_।_1§ABD_J_

由于〉ABCI"I,又由于4，所以3ABe%

\BD\1|fiD|_1

所以的=L所以及

BD=-DC

所以3,

设。(a,6),

所以BD—(a—3,b+1)DC-(—5—ci,3—h)

(a—3,b+l)=-(—5—a,3—8)

所以3,

a-3=—(-5-a)h+1=—(3-Z?)

所以3且3,

解得a=l,且。=0,

所以。的坐标为"°).

故答案为：(1，°).

名师点评

此题考查了向量共线的坐标表示,平面对量根本定理,属于根底题.

15、答案w

依据三边长得出直角三角形，以AB,AC作为基底，表示出

PA+2PC=(3x-l)AC-3xAB即可求得模长，利用函数单调性求出最值.

详解：AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,BC2=AB2+AC2,

依据勾股定理=°

c

PC-xBC=x\AC-AB,0<x<l

P为BC边上一动点，设v>

PA=-AB-BP=-AB-(1-x)(AC-AB)=-xAB-[1-x)AC

PA+2PC=-xAB-(l-x)AC+2x(AC-AB)=(3x-l)AC-3xAB

卅/PA+2Pc|=|(3x-l)/lC-3xAB\=^(3x-l)2xl6+9x2x9

=J(9x?-6X+1)X16+9X2X9

________________.二96_16

，225£-96X+16,依据二次函数性质，当一225x2~75时，取得最小值,

1614412

225x|-96x^|+16

最小值为］75~25T

12

故答案为：5

名师点评

此题考查平面对量根本定理的应用，结合线性运算，数量积运算，求模长，依据函数性

质求最值.

16、答案一

9

把AP用ABM。表示出来，可得

详解

22

APAD+DPAD+-DCAD+-ABminiiuunum

由题意33乂AP-A,AB+juAD

2

2

3%+T

[4=1

13

故答案为：9.

名师点评

此题考查向量的线性运算，考查平面对量根本定理.属于根底题，

S（221

17、答案（1）%二不；（2）（2,1）或［歹,《J.

unituuu

试题分析：（1）利用AB〃BC，结合向量共线的坐标表示列方程，解方程求得x的值.

⑵设M点的坐标为（6/1,3/1）,利用结合向量垂直的坐标表示列方程,

解方程求得X的值，进而求得M点的坐标.

详解：（1）46=08—04=（1,T）；BC=OC-OB=（x-3,2）

ULIUUUU

：A、B、C共线，...

.•.2+4（x-3）=0

5

・・X=­・

2

⑵在直线OC上，，设QM=4OC=（643/l）

：.MA=OA-OM=（2-6A,5-3A）

MB=OB=（3-6/1,l-3/l）

：MA1MB

：.（2-62）（3-62）+（5-3^）（l-3A）=0

即：45A2-482+11=0

解得：x=L或;i=U.

315

UUU2211

/.OM=（2,1）或OM=

二点M

名师点评

本小题主要考查向量共线、垂直的坐标表示，属于中档题.

5816