高中数学试题：立体几何专项训练

寒假作业------立体几何专项训练高三()班姓名

1.如图，在几何体中，平面ABC,AB±BC,CC}//AAl,AB=BC=AA}=2,

CC[=1,D,E分别是AB,A4]的中点.\

(I)求证：BQ〃平面CDE;

(II)求二面角E—DC—A的平面角的正切值.

2.如图，已知平面Q3C与直线PA均垂直于R/AABC所在平面，且PA=4B=AC,

(I)求证：PA//平面Q5C；

(II)若「。，平面QBC,求CQ与平面PBC所成角的正弦值./

'B

3.如图，在直三棱柱ABC-A|B|G中，AABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,侧棱44k2,

D,E分别为CG与48的中点，点E在平面A3。上的射影是AABD的重心.

(I)求证：。£7/平面ACB；

(II)求A,B与平面ABD所成角的正弦值.

4.如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC—AI1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，ZB=90°,

D为棱BBi的中点.

(1)求证：面。4。_1面441<?1(7；

(2)若外=JL⑴求二面角A—4£)—C的大小;

AB

(ii)求直线BC与平面AiCD所成角的正弦值.

5.如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面4BC，AB//CD,ZDAB=9Q°,PA=AD=DC=\,AB=2,

/为尸8的中点.

(I)证明：MC//平面B4。；

(II)求直线MC与平面必C所成角的余弦值.

6.在三棱柱ABC—A向G中，AB=AC=AAi=2,平面ABC」平面AACC，/A41cl=/8AG=60°,

设AG与AC相交于点。，如图.

(I)求证：80_L平面44CC；

(II)求二面角Bi—ACi—Ai的大小.

7.如图所示，已知圆。的直径A3长度为4,点。为线段AB上一点，且点C为

3

圆。上一点，且3C="4c.点P在圆。所在平面上的正投影为点。，PD=BD.

(I)求证：CD_L平面R43；P

(II)求PD与平面PBC所成的角的正弦值

8.如图1,四面体B4BC中，BC=BP=1,AC=AP=8,AB=2,.将APAB沿直线AB翻折至

^AB,使点在同一平面内(如图2),点M为PC中点.

(I)求证：直线咫〃平面

(II)求证：PC±AB；

(III)求直线PA与平面PiPC所成角的大小.

1.(I)连接ACi交EC于点F,由题意知四边形ACCiE是矩形，贝|F是ACi的中点,

连接DF,是AB的中点，；.DF是AABCi的中位线,

BC1//DF,4分

,/BCitZ平面EDC,DFu平面EDC,

；.BCi//平面CDE.7分

(II)作AH_L直线CD,垂足为H,连接HE,

AA」平面ABC,AAi±DC,

CD_L平面AHE,

CD±EH,

NAHE是二面角E-CD-A的平面角.11分

,/D是AB的中点，

AH等于点B到CD的距离，

在ABCD中，求得：AH=2叵，

5

(第20题)

在△AEH中，

AH2

即所求二面角的正切值为7上?.

2

2.(I)证明：过点。作3c于点。，

•••平面QBC，平面ABC,：.QD±平面ABC……2分

又,:PAL平面ABC

/.QD//PA,........................2分

又•:QD1平面QBC

PA〃平面Q3C........................6分

(II)平面Q5C

/.ZPQB=ZPQC=90,又•?PB=PC,PQ=PQ

：.\PQBsAPQC；.BQ=CQ........................8分

...点。是BC的中点，连结AD,则

AD±平面QBC：.PQ//AD,ADLQD

四边形PADQ是矩形............10分

设PA=AB=AC=2a

得：PQ=AZ)=ypla,PD=y[6a

又•:BC1PA,BC1PQ,：.BC1平面PADQ,

从而平面PBC，平面PA。。，过Q作QH_LPZ）于点〃，贝ij：QHL平面PBC

...ZQCH是CQ与平面PBC所成角....................................12分

QH=2*J拽CQ=BQ=4^a

<63

.“口QH2V31V2

CQ3瓜3

CQ与平面PBC所成角的正弦值为'……・14分

3.

解：（I）取48中点尸,汇结E£R7,2分

由已知可得比/力/尸工丁”.乂0€〃取产=/”

所以四边形DEFC为平行四边形............4分

则EO//C尸，因为£Ocz平面/18C,FCu平面"C,

所以£。〃平而48c7分

（II）过E作E〃_L£＞产于，，连结H8.

CC,JL平面43c

­=>CC±AB,

♦Bu平面/BCt

AC=8C]„,八二

卜=AB±CF,

AF=FB\

乂CFOCD=C,CF,CDu平面OEFC.

所以1.平面CEFC,EHu平面0EFC,

所以181EH,

乂EHLDF,DF(]AB=F,AB.DFu平面4BD,所以EH1平面48。,

所以NE8//为48与平面月8。所成角的平面角，.........il分

"为A4BO的重心，在AADEF41EF2=FHFD=-FD2=\

3

所以得FD=石,W.—,EP一旦,U=4i,FB=&,EB;瓜

33

得sinNE8，=型=①，所以与皿面480所成角的正弦值为巫

EB，'3

4.

力（行+项（而-碉=；（6=巧号............

9孵：U酸的中点E点，取.也的中点广，近0&"6

由此知？DE〃RF,A

Y;面。.仁L而“。•且相生于4C,另期肝LKi

・♦5/^面,4』,G（\

•二九沌比±而4你7.

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川胤KD4卜川线至j*G，招如《判」M4{B田.

过3的BHiJ,GfAft.itCHtn；4,GlCH

南此址（7/J9儿而向HTiM'的平面由：

恰/$=",4怔HT=、hh・

在RiA4』G中.易知./加贸7一

在RtAOflG中XB=阻孕=—.

DG3

住RIACW8也f状丝=9b=、A

BH

故ZC”於2

5.

解：(I>VA/姑PB的中点・收掰的中戌£连站小DE.

则ME//AB且WE」理.又旦CH-AH.

22

工四边形CD£M为平行四边影，........................................3分

：.CM//ED.CWa而发。，EZJu面加。

工MC”平面MX••…i...........7分

(II)证法—；：‘方」平面.4ACD，

又/CJSC'W+AM?,二氏'_1_只(7,

•・1CCEf三4,JBCL平面以<7.

又灰:平面加C.所以平面/MC_L平而P5C：

取汽7中点N.如JMMVBC，从而MN」.平面用C,

所以为琼3MC与平面/MC所成角.设为6,

AO-ipO=—,Acos49=—.

22225

故直线MC与平面MC所成角的余弦值为孚.

14分

证法二；.以/为原点,AD.AB、AP所在直线为x轴一轴、？箱建立婀比角坐标系,

则ZX1A0卜CC1J.0).802"),KWM)，M0.l,1h..................................9分

"巾阿)./YJ.0),,

则面PAC的法向量为/ij=(-l.l,0)

设直线MC与平而MC所成角为〃

而由+1.0」)，...............

2

闽,.除洞।Vio

明sin0-1；-----T--7-

l“*M&¥5

6.

解；（I）四边形44GC为平行四边形，所以HC=4G，因为/c=/4,

所以及］=4G，Z4i4；C,=60*.

所以A44G为等边三角形，同理MBG也是等边三角形，.........3分

而。为4G的中点，所以B0_L4G，..........4分

且BOu平面45G，...............5分

力G=平面/Bqn平面/4£C,..............6分

平面4BGJ•平面•

由面面垂直的性质定理知，BO_L平面44GC.7分

4

（II）连结B4交于E,过E作

E尸〃8。交Oq于尸.连结OE,

因为B。，平面44G。，EFHBO,

所以EFJ_平面MGC，

4C|U平面必GC,则EFJ./G，又因为0F_L4G，OFC]EF=F,EFQFu

平面O/3，所以/G"1■平面04»，0Eu平面33,所以4GJ.OE,所以NE。尸

为二面角々一/G-4的平面角......］］分

7,解答：（［）连接CO,由3AD=DB知，点D为AO的中点、，

又TAB为圆。的直径，由6AC=BC知，

ZCAB=60，,AACO为等边三角形，从而C£>，AO.

•.•点P在圆。所在平面上的正投影为点D,

...平面A6C,又CDu平面ABC,

:.PgCD,由P£>AO=£>得，平面Q43.

（II）法1：过。作DHL平面PBC交平面于点H,连接P",

则NDFH即为所求的线面角。由（I）可知。。=百，PD=Z）B=3

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