《高等数学》期末考试卷及答案3套

PAGE1PAGE1《高等数学》期末考试卷及答案3套填空题（每小题4分，共20分）１．设,则.2.已知边际成本为,固定成本为1000,则总成本函数为.3.4.已知,则.5.由曲线,及所为图形的面积为.二、选择题（每小题3分，共15分）1.曲线(D).A.无渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有垂直渐近线.D.既有水平又有垂直渐近线.2.函数在区间上(B).A.不存在最大值和最小值B.最小值是C.最大值是D.最大值是3.以下广义积分发散的是(C).A.B.C.D.4.设,则(A).A.B.C.D.5.设上的连续函数,且,令,,,则(C).A.B.C.D.三、计算题（每小题7分，共35分）1.2.3.4.5.设,求在上的表达式.解：当时，；当时，故。四、应用题和证明题（共4题,30分）1.（10分）设抛物线，当时,.又该抛物线与直线及轴所围平面图形的面积为,求使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解:因为,又因为.2.（10分）设,在内的驻点为,求使最大,并求最大值.解:因为所以所以最大值.3.（5分）设是上连续的单增函数,证明:.证明:作辅助函数,因为因为单增,所以,即,又，所以有.4.（5分）设函数在上具有连续的二阶导数,且,又,试证:存在使.证明：由题设条件知，在上的最大值点只能在区间内取到，即存在，使得，且由费尔马定理得。由泰勒公式令，则，①令，则，②当时，由①式，，即，取；当时，由②式，，即，取，综上所述就有：存在使《高等数学（B）》课程试卷一、填空题（每小题4分，共20分）1、极限2、3、4、函数在上的最大值为0，最小值为5、二、单项选择题（每小题4分，共20分）1、设函数连续，且，则存在，使得（C）.（A）在内单调增加； （B）在内单调减少；（C）对任意的有；（D）对任意的有.2、(B).（A）； （B）2；（C）; (D).3、设函数满足关系式，且，，则在点处(A).（A）取得极大值； （B）取得极小值；（C）在点某邻域内单调增加；（D）在的某邻域内单调减少.4、若，，则当时，是的(B).（A）低阶无穷小； （B）高阶无穷小；（C）等价无穷小； （D）同阶但不是等价的无穷小。5、设，则(B).（A）； (B)； （C）； （D）.三、计算下列各题（每小题4分，共12分）1、求抛物线上任一点处的曲率，在那一点它的曲率最大？解：因为要使最大，只需最小，所以有，即曲线在处曲率最大。2、计算不定积分：.解：3、证明：，并计算.证明：令有所以即四、可选题（A型题满分40分，B型题满分30分，每道小题限做1题）1、（A）（8分），（B）（6分）.2、（A）（8分）当时，证明：。（B）（6分）证明：当时，.3、（A）（8分）设满足,且，证明：点是曲线的一个拐点.证明：因为有且，点是曲线的一个可能的拐点。又当时当时这是因为连续且由有由保号性所以点是曲线的一个拐点.（B）（6分）求曲线的凹凸区间及拐点。解：。令，得。显然，曲线的凹区间为，凸区间为，拐点为。4、（A）（8分）设函数，，求函数，的表达式。（B）（6分）设，求。5、（A）（8分）设在上可微，单调增加，证明：.证明：作辅助函数，则。由微分中值定理，存在，使得，因此，当时，有，即，取，则有。（B）（6分）设在上连续，且，证明方程在内只有一个实根.五、应用题（限做1题）（A）（8分）已知厂商的总收益函数和总成本函数分别为，厂商追求最大利润，政府征收产品税.（1）试确定税率，使征税收益最大.（2）试说明当税率增加时，产品的价格随之增加，而产量随之下降.（B）（6分）将一长为的铁丝切成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形与圆形面积之和最小，问两段铁丝的长各为多少？最小面积为多少？高等数学C一、解下列各题（每小题6分，共42分）1、.2、设函数连续，且，求.3、设，求.4、已知点为曲线的拐点，求,.5、求函数的单调区间与极值.6、设函数求.7、求曲线的斜渐近线.二、计算下列积分（每小题6分，共36分）1、.2、.3、.4、.5、.6、，其中.三、应用题（每小题6分，共12分）1、假设在某个产品的制造过程中，次品数是日产量的函数为：并且生产出的合格品都能售出。如果售出一件合格品可盈利元，但出一件次品就要损失元。为获得最大利润，日产量应为多少？2、设函数连续，，且满足方程，求及在上的最大值与最小值.四、证明题（每小题5分，共10分）1、当时，证明：.2、设函数在上连续，且不恒为零，证明.一、解下列各题（每小题6分，共42分）1、解：2、解：两边求导有，令，得。（或令）3、解：两边求导有，即，积分得4、解：因为，又，由得，。5、解：因为，，有（负舍）在上，，，在上，，，极小值6、解：7、解：因为，在方程两边同除有，取极限得。设斜渐近线为代入方程得，在方程两边同除取极限得，所求斜渐近线为。二、计算下列积分（每小题6分，共30分）1、解2、解：令，原式3、解：或令，。4、解：5、解：6、解：令，代入积分三、应用题（每小题6分，共12分）1、解：因为，为每日的合格品，所以收益函数为，（负舍），