《高等数学》(第三版)教案第七章全

《高等数学》（第三版）教案第七章全7.1.1级数的概念教学目标： （1）学习无穷级数收敛、发散以及收敛级数的和等概念；（2）掌握级数的基本性质，熟记几何级数的敛散性；（3）会用级数的概念及基本性质判断一些级数的敛散性；教学重点： （1）无穷级数的概念及基本性质；（2）判断一些级数的敛散性。教学难点： 无穷级数的概念及基本性质的正确应用。授课时数：1课时教学过程过程备注引言介绍本章学习的主要内容。教师讲授3′知识回顾在等比数列中，当公比时，前n项和为.叫做一般项或通项.引导学生回答6′新知识无穷数列的各项和（即所有项的和），叫做无穷级数，简称级数．记作.即． 其中第n项叫做级数的一般项或通项.例如，级数,的一般项是.如果是常数，那么级数叫做常数项级数，如果是变量(或其他变量)的函数，那么级数叫做函数项级数．例如，级数，级数都是常数项级数；而级数，级数都是函数项级数.首先研究常数项级数．级数的前项之和叫做级数的部分和．如果当时，有极限，即，那么，称级数收敛，并把极限值叫做这个级数的和.即．如果当时，的极限不存在，那么称这个级数发散.教师讲授15′知识巩固例1判别级数是否收敛．若收敛求其和.解这个级数是公比为的等比数列的各项和，叫做等比级数．其部分和为，所以.因此，级数收敛，其和为．说明：等比级数，当时，.故级数收敛，且其和为；当时，级数发散.例2判别级数的敛散性.解级数的部分和为，因为，所以级数发散.在教师引领下共同完成22′新知识利用极限的性质可以得到级数下列面性质(证明略).性质1如果级数收敛，其和为S，那么级数也收敛，其和为（C为常数）.性质2如果级数与级数都收敛，其和分别为和，那么级数也收敛，其和为.性质3如果一个级数收敛，那么去掉、加上或改变有限项得到的级数仍然收敛．教师讲授26′知识巩固例3判别级数是否收敛，如果收敛，求出级数的和.解级数是等比级数，且公比，该级数收敛，其和为，级数是等比级数，且公比，该级数收敛，其和为，因此级数收敛，并且和为.在教师引领下共同完成30′链接软件利用在Matlab软件可以判断级数是否收敛，如果收敛可以求出和，方法详见实验7.计算例3的操作为输入：clearsymsnf=(2+（－1）^(n-1))/3^n;I=symsum(f,n,1,inf)显示：.说明如果级数发散，则显示结果为inf(即). 演示35′1.判别下列级数是否收敛，若收敛写出级数的和．(1)；(2)；2.利用级数收敛的性质，判断级数的敛散性，若收敛，则求其和.学生课上完成42′小结新知识：无穷级数的概念及基本性质，判断一些级数的敛散性。作业1.通过复习级数的概念，总结7.1.1学习的内容；2.完成高等数学习题集“”。45′7.1.2幂级数教学目标：（1）记住幂级数的一般形式及相关概念；（2）学会求一些简单的幂级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上的和函数。教学重点： （1）幂级数的一般形式及相关概念； （2）一些简单的幂级数的收敛半径，收敛区间的求法。教学难点： 幂级数概念的理解。授课时数：1课时.教学过程过程备注探究下面研究函数项级数．观察等比级数.级数的部分和为，所以因此，级数当时，收敛且其和为；当时发散.提问5′新知识形如的函数项级数叫做的幂级数（其中，是常数）.当时，上述的幂级数成为． 可以看到，等比级数是幂级数.使函数项级数收敛的点叫做级数的收敛点.使函数项级数发散的点叫做级数的发散点.所有收敛点的集合叫做级数的收敛域，所有发散点的集合叫做级数的发散域.例如幂级数的收敛域为.函数项级数对于收敛域内的某一个点，都有一个确定的和数与之对应，这样在收敛域内，函数项级数的和是的函数，叫做函数项级数的和函数，记作.即=.例如幂级数的和函数为，即=，.教师讲授12′知识巩固例4求幂级数的收敛域与和函数.解该幂级数是公比为的等比级数，其部分和为.根据上面的讨论，当，即时，级数收敛．并且.故级数的收敛域为，和函数为.即，.教师讲授17′新知识幂级数的收敛性一般有以下三种情形：（1）仅在点x＝0处收敛，（2）在（−∞，＋∞）内处处收敛，（3）存在一个正数R，当|x|<R时收敛，当|x|>R时发散．称正数R为级数的收敛半径，区间叫做收敛区间．经常使用下面的方法进行判定：对于幂级数，设an≠0，如果＝ρ，那么（1）当0＜ρ＜＋∞时，收敛半径R＝eq\f(1,ρ)；（2）当ρ＝0时，收敛半径R＝＋∞；（3）当ρ＝＋∞时，收敛半径R＝0．教师讲授25′知识巩固例5求幂级数的收敛半径及收敛区间．解由于an＝eq\f(1,n)，an+1＝eq\f(1,n+1)，因此＝＝＝1＝ρ．则收敛半径R＝eq\f(1,ρ)＝1，收敛区间为（－1，1）．例6求幂级数的收敛区间.解令，于是原幂级数变为..所以.由，即得．故幂级数的收敛区间.说明求幂级数的收敛域的时候，一般需要首先求出收敛区间，然后判定级数在区间端点处是否收敛．如本题中，级数在x＝－1处收敛，在x＝1处发散，因此级数的收敛域是[－1，1）．在本教材中，一般不做这方面的研究，如果需要可以利用软件来完成．教师引领学生完成33′链接软件利用matlab软件可以将一个函数展开为幂级数，方法详见实验7. 例如：将函数展开为幂级数，写出展开至5次幂项的操作为：clearsymsxf=sin(x);taylor(f)显示：f=sin(x)ans=x-1/6*x^3+1/120*x^5即．演示37′练习7.1.21.求下列幂级数的收敛区间与和函数．2.求下列幂级数的收敛半径和收敛区间（1）；（2）.学生课上完成43′小结新知识：幂级数的一般形式及相关概念，一些简单的幂级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上和函数的求法。作业1.记忆幂级数的一般形式，梳理求幂级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上和函数的方法。2.完成高等数学习题集“”中的1，2，4。45′7.2.1周期为2π的函数展开为傅里叶级数教学目标：（1）了解傅里叶级数的概念和将函数展开成傅里叶级数的条件；（2）学会将周期为的函数展开为傅里叶级数。教学重点： 将周期为的函数展开为傅里叶级数。教学难点： 傅里叶级数的概念和将函数展开成傅里叶级数的条件。授课时数：2课时.教学过程过程备注新知识设是一个以为周期的函数，且能展开成级数，即．叫做函数的傅立叶级数，其中，，（7.1）.系数叫做函数的傅立叶系数.设是以为周期的函数，如果函数在一个周期内连续或至多只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，可以证明函数的傅立叶级数收敛，并且(1)当是的连续点时，级数收敛于；(2)当是的间断点时，级数收敛于.实际问题中我们所遇到的周期函数，一般都能满足上述定理的条件，因而都能展开为傅立叶级数.教师讲授10′知识巩固例1设是以为周期的函数，它在上的表示式为将展开为傅立叶级数.解计算傅立叶系数：，.因此得到的傅立叶级数为在函数的间断点处，它的收敛于.所以展开为傅立叶级数（，）和函数的图像如图7-1所示.图7－1说明：为简单起见，本章后面讨论周期函数展开为傅立叶级数，不再讨论间断点处的收敛情况.例2设是以为周期的函数，它在上的表示式为，将展开为傅立叶级数.解因为，，.所以的傅立叶级数为.教师讲授在教师引领下完成35′新知识如果是周期为的奇函数,那么它的傅立叶系数中，，，.于是的展开为傅立叶级数傅立叶展开式中只有正弦项,这样的级数叫做正弦级数.如果是的偶函数,那么它的傅立叶系数中，，，，于是的展开为傅立叶级数傅立叶展开式中只有余弦项,这样的级数叫做余弦级数. 首先判断函数的奇偶性，有时候会给函数的傅立叶级数展开带来便利．教师讲授45′知识巩固例3设是以为周期的函数，它在上的表示式为将展开为傅立叶级数.解因为周期函数为偶函数，所以它的傅立叶级数是余弦级数，，.所以的傅立叶级数为．在教师引领下完成55′练习7.2.1 1.设是周期为的函数，它在上的表示式为其中为不等于零的常数，将展开为傅立叶级数.2.设是周期为的函数，它在上的表示式为将展开为傅立叶级数.学生课上完成85′小结新知识：傅里叶级数的概念，将函数展开成傅里叶级数的条件，周期为的函数展开为傅里叶级数。作业1.熟记傅里叶系数公式，总结周期为的函数展开为傅里叶级数的步骤。2.完成高等数学习题集“”。90′7.2.2周期为2l的函数展开成傅里叶级数教学目标：学会将周期为的函数展开为傅里叶级数。教学重点： 将周期为的函数展开为傅里叶级数。 教学难点： 周期为的函数变换为周期为的函数过程的理解。授课时数：1课时.教学过程过程备注探究设函数的周期为，令,则当在区间上取值时，就在上取值.设，则是以为周期的函数.将展开为傅立叶级数，其中；；.在以上各式中，把变量换回并注意到，可以得到以周期为的函数的傅立叶级数展开式.教师讲授5′新知识周期为的函数的傅立叶级数展开式.，其中，，（7.2）类似地，如果是奇函数，则它的傅立叶级数是正弦级数，即，其中.如果是偶函数，则它的傅立叶级数是余弦级数，即，其中，.教师讲授10′知识巩固例4设是周期为4的函数，它在上的表示式为其中为不等于零的常数，将展开为傅立叶级数.解计算傅立叶系数.，，所以的傅立叶级数为.在教师引领下完成20′练习7.2.21.设是周期为2的函数，它在上的表示式为将展开为傅立叶级数2.将周期为4的函数，展开为傅立叶级数.学生课上完成42′小结新知识：周期为的函数展开为傅里叶级数。作业完成高等数学习题集“”。45′7.3.1拉氏变换的概念教学目标：（1）理解拉氏变换的概念；（2）学会用拉氏变换表求函数的拉氏变换；（3）认识单位阶梯函数和狄拉克函数。教学重点：（1）拉氏变换的概念；（2）用拉氏变换表求函数的拉氏变换；教学难点： 拉氏变换的概念的理解。授课时数：1课时.教学过程过程备注新知识设函数的定义域为，若广义积分在的某一范围内收敛，则此积分就确定了一个参数为的函数，记作，即.函数叫做的拉普拉斯(Laplace)变换，简称拉氏变换(或叫做的像函数)，用记号表示，即(7.3)关于拉氏变换定义的几点说明：(1)定义中只要求在时有定义，假定在时，；(2)在自然科学和工程技术中经常遇到的函数，总能满足拉氏变换的存在条件，故本章略去拉氏变换的存在性的讨论.教师讲授8′知识巩固例1求指数函数()的拉氏变换.解由公式(7.3)得.当时，此积分收敛，故.在教师引领下共同完成13′新知识在实际应用中，直接用定义的方法求函数的拉氏变换比较繁琐.为了应用方便，我们将常用的函数的拉氏变换分别列表如下，供读者使用.表7-1常用函数的拉氏变换表序号123456789101112131415教师讲授20′知识巩固例2求下列函数的拉氏变换：(1)；(2)；(3)解(1)由拉氏变换表中得.(2)由拉氏变换表中，得，即.(3)由，得.在教师引领下共同完成26′新知识下面介绍两个自动控制系统中常用的函数.1.单位阶梯函数单位阶梯函数的表示形式为(1)如图7-4(1)所示.（1）（2）图7－4将平移个单位如图7-7(2)所示，则有(2)2.狄拉克函数设当时，的极限叫做狄拉克(Dirac)函数，简称为函数.当，；当，，即如图7-5所示，图7－5教师讲授32′练习7.3.1利用拉氏变换表求下列函数拉氏变换(1)； (2)；(3)；(4)，(5)； (6)．学生课上完成42′小结新知识：拉氏变换的概念，利用拉氏变换表求函数的拉氏变换。45′作业1.熟悉拉氏变换表中所列函数的拉氏变换；2.完成高等数学习题集“作业”。7.3.2拉氏变换的性质教学目标：（1）理解拉氏变换的性质；（2）学会用拉氏变换的性质求函数的拉氏变换。教学重点：用拉氏变换的性质求函数的拉氏变换。 教学难点： 拉氏变换的性质的理解。授课时数：2课时.教学过程过程备注新知识利用拉氏变换的性质，可以更方便求一些较为复杂的函数的拉氏变换.性质1(线性性质)设，是任意常数，且，，则.(7.4)这个性质可以推广到有限个函数的情形，即，其中为常数．性质1表明，函数线性组合的拉氏变换等于各个函数拉氏变换的线性组合．教师讲授8′知识巩固例3求函数的拉氏变换.解.即.教师讲授15′新知识性质2（平移性质）设，则.(7.5)性质2说明：乘以的拉氏变换等于其像函数做位移个单位．教师讲授20′知识巩固例4求.解因为，根据平移性质，得，同理可得．在教师引领下共同完成23′新知识性质3（延滞性质）设，则(7.6)此性质表明，函数的拉氏变换等于的拉氏变换乘以.教师讲授28′知识巩固例5求函数的拉氏变换.解因为，由延滞性质，得. 例6计算.解.注意：不能直接使用上述性质，因为时，当时，不恒为零.教师讲授在教师引领下共同完成40′新知识性质4（微分性质）设，在上连续，且连续，则.(7.7)性质4表明，一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数，再减去函数的初始值.同理.一般地.教师讲授50′知识巩固例7利用微分性质求.解设，那么，，，.利用线性性质得.由微分性质得，有，得，同理可得.在教师引领下共同完成60′链接软件 利用matlab软件可以求函数的拉氏变换，方法详见实验7.例如，求的操作为输入symstlaplace(sin(x))显示：ans=1/(s^2+1)即.演示65′练习7.3.2求下列各函数的拉氏变换.(1)；(2)； (3)；(4)；(5).学生课上完成85′小结新知识：利用拉氏变换的性质求函数的拉氏变换。作业1.在记忆拉氏变换的性质的同时总结其使用方法。2.完成高等数学习题集“”。90′7.3.3拉氏逆变换及其性质教学目标：（