2006-2007学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2006-2007学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷一、精心选一选（本题共30分，每小题3分．）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．1．（3分）已知分式的值为零，那么x的值是（）A．x＝3 B．x＝0 C．x＝﹣1 D．x≠﹣12．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．3．（3分）如图，要测量池塘两侧的两点A、B之间的距离．可以取一个能直接到达A、B的点O，连接OA、OB，分别在线段OA、OB上取中点C、D，连接CD，测得CD＝50m，则A、B两点间的距离是（）m．A．150 B．125 C．100 D．754．（3分）生物学家发现一种病毒的长度约为0.000043mm，用科学记数法表示这个数的结果为（）A．4.3×10﹣4 B．4.3×10﹣5 C．4.3×10﹣6 D．43×10﹣55．（3分）农科院为了选出适合某地种植的甜玉米种子，对甲、乙两个品种的甜玉米各用10块试验田进行试验，把实验后所得的数据进行处理后发现：这两种甜玉米每公顷产量的平均数（单位：吨）分别为，；方差分别为，．通过比较实验田里这两种甜玉米的产量和产量的稳定性，可以推测（）A．这个地区甲、乙两种甜玉米都适合种植 B．这个地区无法确定种植哪种甜玉米 C．甲种的产量比乙种稳定，这个地区更适合种植甲种甜玉米 D．乙种的产量比甲种稳定，这个地区更适合种植乙种甜玉米6．（3分）等腰梯形的下底是上底的3倍，高与上底相等，这个梯形的腰与下底所夹角的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．135°7．（3分）某校为了解八年级学生每周课外阅读情况，随机调查了50名八年级学生，得到他们在某一周里课外阅读所用时间的数据，并绘制成频数分布直方图，如图所示，根据统计图，可以估计在这一周该校八年级学生平均课外阅读的时间约为（）小时．A．2.8 B．2.3 C．1.7 D．0.88．（3分）如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是AB边的中点，图中与△ADE面积相等的三角形（不包括△ADE）共有（）个．A．3 B．4 C．5 D．69．（3分）若点A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）都是反比例函数y＝的图象上的点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y210．（3分）有一张矩形纸片ABCD，AB＝，AD＝，将纸片折叠，使点D落在AB边上的D′处，折痕为AE，再将△AD′E以D′E为折痕向右折叠，使点A落在点A′处，设A′E与BC交于点F（如图），则A′F的长为（）A． B． C． D．二、细心填一填（本题共16分，每小题2分．）11．（2分）当x时，在实数范围内有意义．12．（2分）如图，表示某居民小区6月1日至6日每天用水量的变化情况，那么在这6天中用水量的极差是m3．13．（2分）已知反比例函数y＝的图象在第二、第四象限，则m的取值范围是．14．（2分）如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为．15．（2分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过O的直线分别交AD、BC于点E、F，已知AD＝4cm，图中阴影部分的面积总和为6cm2，对角线AC长为cm．16．（2分）已知：五个数a，2，3，4，5的平均数为3，那么这五个数的方差是．17．（2分）已知菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，如果点P是菱形内一点，且PB＝PD＝4，那么AP的长为．18．（2分）如图，依次连接第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去．若第一个正方形边长为1，则第n个正方形的面积是．三、用心算一算（本题共12分，每小题4分．）19．（4分）化简：﹣．20．（4分）．21．（4分）先化简，再求值：（），其中x＝，y＝．四、解答题（本题共22分，第22题6分，第23题6分，第24题5分，第25题5分．）22．（6分）某零件生产车间，有工人15位，为了调动工人工作的积极性，决定实行目标管理，即确定一个月生产定额，根据定额的完成情况进行适当的奖惩．为了合理制定工人加工零件的月生产定额，该车间统计了这15人某月的加工零件件数，数据如下（单位：件）：每人加工件数540450300240210120人数112632（1）写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数；（2）假如车间负责人把每位工人的月加工零件数定为260件，你认为这个定额是否合理？如果合理，请说明为什么？如果不合理，请你制定一个较合理的月生产定额，并说明理由．23．（6分）列方程解应用题：为了适应经济发展的需要，某地区的铁路提速改造工程全面开工建设，工程完成后，从甲站至乙站的旅客列车的平均速度将提高到现在的1.5倍，运行时间缩短1小时20分钟，已知甲站与乙站相距400千米，那么现在的旅客列车的平均速度是每小时多少千米？24．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上两点，且AE＝CF，连接BE、ED、DF、FB，得四边形BEDF．（1）四边形BEDF的形状是，并证明你的结论．（2）当OE、BD满足条件时，四边形BEDF是矩形．25．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC与BD相交于点O，∠BOC＝120°，AD＝2，BC＝4．求：等腰梯形ABCD的面积．五、动手拼一拼，画一画（本题共4分．）26．（4分）如图，把一个等腰直角三角形ABC沿斜边上的中线CD（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分可以拼成一个平行四边形BCDA′，如示意图①．（以下有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明）（1）试一试：按上述的裁剪方法，请你在图②中再画出一个拼得的特殊的四边形的示意图．（2）想一想：在等腰直角三角形ABC中，请你沿一条中位线（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形，请你在图③、图④中画出分别拼得的特殊四边形的示意图．（要求：画不同拼接方法的示意图）（3）变一变：在等腰直角三角形ABC中，请你找一条经过三角形一边的中点但与上述方法不同的裁剪线，沿这条裁剪线剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形，请在图⑤中画出拼得的特殊四边形的示意图．六、解答题（本题共10分，每小题5分．）27．（5分）某水果店以每千克2元的价格新进一批水果，在市场销售中发现：此种水果的日销售量y（单位：千克）是销售单价x（单位：元/千克）的反比例函数，且2≤x≤10．已知当销售单价定为3元/千克时，日销售量恰好为40千克．（1）求出y与x的函数关系式，并在给出的平面直角坐标系内，画出该函数图象；（2）为了避免该水果库存的积压，水果店经理确定了日销售量不少于20千克且日销售利润不低于60元的销售方案，求出此时销售单价的范围．28．（5分）已知在正方形ABCD中，对角线AC、DB交于点O，E是CD边上一点，AE与对角线DB交于点M，连接CM．（1）如图，点F是线段CB上一点，AF与DB交于点N，连接CN．若∠CME＝30°，∠CNF＝50°．求：∠EAF的度数；（2）若点F′是CB延长线上一点，AF′与DB的延长线交于点N′，连接CN′．如果∠CME＝α，∠CN′F′＝β，请用含有α、β的代数式表示∠EAF′的度数：．（第（2）问只需填写结论，不要求证明过程）．七、解答题（本题共6分）29．（6分）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为顶点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝8．（1）如右上图，在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作点E．①求点E的坐标及折痕BD的长；②在x轴上取两点M，N（点M在点N的左侧），且MN＝4.5，求使四边形BDMN的周长最短的点M和点N的坐标；（2）如右下图，在OC，BC边上分别取点F，G，将△GCF沿GF折叠，使点C恰好落在OA边上，记作点H．设OH＝x，四边形OHGC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．八、附加题（本题共6分，每小题0分，解答正确可计入全卷总分，但总分不得超过100分．）30．设n个正整数a1，a2，…，an，（其中n＞1），如果满足：，则称k是一个“好数”．如：，，，因此4、11、24这三个数都是一个好数．（1）请你举一个“好数”的例子，并说明理由．（2）如果k是“好数”，2k+2是“好数”吗？为什么？31．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边作正方形ABFE，EP⊥l于P．求证：2EP+AD＝2CD．

2006-2007学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷一、精心选一选（本题共30分，每小题3分．）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．1．（3分）已知分式的值为零，那么x的值是（）A．x＝3 B．x＝0 C．x＝﹣1 D．x≠﹣1【分析】根据分式的值为0的条件列式求解即可．【解答】解：根据题意得，x﹣3＝0且x+1≠0，解得x＝3．故选：A．【点评】本题考查了分式的值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．2．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义直接进行判断，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数是否都小于根指数2，且被开方数中不含有分母；被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【解答】解：A、的被开方数中含有分母，故不是最简二次根式，故A选项错误；B、＝2，二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，故不是最简二次根式，故B选项错误；C、＝2，二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，故不是最简二次根式，故C选项错误；D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故D选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．3．（3分）如图，要测量池塘两侧的两点A、B之间的距离．可以取一个能直接到达A、B的点O，连接OA、OB，分别在线段OA、OB上取中点C、D，连接CD，测得CD＝50m，则A、B两点间的距离是（）m．A．150 B．125 C．100 D．75【分析】根据C、D是OA、OB的中点，即CD是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．【解答】解：∵C、D是OA、OB的中点，即CD是△OAB的中位线，∴CD＝AB，∴AB＝2CD＝2×50＝100m．故选：C．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，正确理解定理是关键．4．（3分）生物学家发现一种病毒的长度约为0.000043mm，用科学记数法表示这个数的结果为（）A．4.3×10﹣4 B．4.3×10﹣5 C．4.3×10﹣6 D．43×10﹣5【分析】绝对值＜1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．用科学记数法表示比较小的数时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．【解答】解：0.000043＝4.3×10﹣5．故选：B．【点评】把一个数记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律：（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．5．（3分）农科院为了选出适合某地种植的甜玉米种子，对甲、乙两个品种的甜玉米各用10块试验田进行试验，把实验后所得的数据进行处理后发现：这两种甜玉米每公顷产量的平均数（单位：吨）分别为，；方差分别为，．通过比较实验田里这两种甜玉米的产量和产量的稳定性，可以推测（）A．这个地区甲、乙两种甜玉米都适合种植 B．这个地区无法确定种植哪种甜玉米 C．甲种的产量比乙种稳定，这个地区更适合种植甲种甜玉米 D．乙种的产量比甲种稳定，这个地区更适合种植乙种甜玉米【分析】由于两种玉米平均产量基本相同，故在推测哪个实验田更合适种甜玉米时，应着重看方差．【解答】解：∵为，；∴≈，故在推测哪个实验田更合适种甜玉米时，应着重看方差，而＜，可见，乙的产量比甲的产量稳定，故乙更适合种甜玉米，故选：D．【点评】本题考查了方差和算术平方根，由于方差反映了一组数据的波动情况，在平均数基本相同的情况下，要以方差为主要参照统计量．6．（3分）等腰梯形的下底是上底的3倍，高与上底相等，这个梯形的腰与下底所夹角的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．135°【分析】分别过A，B作高AE，BF，根据已知得到DE＝AE＝AB，从而得到∠D的度数．【解答】解：分别过A，B作高AE，BF∵CD＝3AB∴DE＝CF＝AB∵AE＝AB∴DE＝AE∴∠D＝45°【点评】此题主要考查等腰梯形的性质和等腰直角三角形的判定及性质．7．（3分）某校为了解八年级学生每周课外阅读情况，随机调查了50名八年级学生，得到他们在某一周里课外阅读所用时间的数据，并绘制成频数分布直方图，如图所示，根据统计图，可以估计在这一周该校八年级学生平均课外阅读的时间约为（）小时．A．2.8 B．2.3 C．1.7 D．0.8【分析】根据图表数据，利用算术平均数的求解方法列式进行计算即可求解．【解答】解：＝＝2.3，即平均课外阅读的时间约为2.3小时．故选：B．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，取各组时间范围的中间值进行计算是解题的关键．8．（3分）如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是AB边的中点，图中与△ADE面积相等的三角形（不包括△ADE）共有（）个．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】首先利用平行四边形的性质证明△ADB≌△CBD，从而得到△CDB，与△ADB面积相等，再根据DO＝BO，AO＝CO，利用三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得△DOC、△COB、△AOB、△ADO面积相等，都是△ABD的一半，根据E是AB边的中点可得△ADE、△DEB面积相等，也都是△ABD的一半，从而得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，DC＝AB，在△ADB和△CBD中：，∴△ADB≌△CBD（SSS），∴S△ADB＝S△CBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO＝BO，CO＝AO，即：O是DB、AC中点，∴S△DOC＝S△COB＝S△DOA＝S△AOB＝S△ADB，∵E是AB边的中点，∴S△ADE＝S△DEB＝S△ABD，∴S△DOC＝S△COB＝S△DOA＝S△AOB＝S△ADE＝S△DEB＝S△ADB，∴不包括△ADE共有5个三角形与△ADE面积相等，故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及三角形的中线平分三角形面积，解决问题的关键是熟练把握三角形的中线平分三角形面积这一性质．9．（3分）若点A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）都是反比例函数y＝的图象上的点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将A、B、C三点的坐标代入反比例函数的解析式y＝，分别求得y1、y2、y3的值，然后再来比较它们的大小．【解答】解：∵点（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3）都是反比例函数y＝的图象上的点，∴y1＝﹣，y2＝1，y3＝；又∵﹣＜＜1，∴y1＜y3＜y2；故选：D．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．经过反比例函数y＝的某点一定在该函数的图象上．10．（3分）有一张矩形纸片ABCD，AB＝，AD＝，将纸片折叠，使点D落在AB边上的D′处，折痕为AE，再将△AD′E以D′E为折痕向右折叠，使点A落在点A′处，设A′E与BC交于点F（如图），则A′F的长为（）A． B． C． D．【分析】利用折叠的性质，即可求得AD＝AD′＝A′D′＝、BD′＝AB﹣AD＝﹣，A′E＝AE＝AD＝2，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得EF：A′F＝EC：A′B，从而求得A′F的长度．【解答】解：根据折叠的性质知，AD＝AD′＝A′D′＝、CE＝CD﹣DE＝﹣，∵CE∥A′B，∴△ECF∽△A′BF，∴CE：BA′＝EF：A′F（相似三角形的对应边成比例）；又∵CE＝CD﹣DE＝﹣，BA′＝AD﹣CE＝2﹣，∴＝；而A′E＝AE＝AD＝2，∴A′F＝4﹣．故选：D．【点评】本题考查了翻折变换及正方形的性质，利用了折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等及正方形的性质，平行线的性质，有一定的难度．二、细心填一填（本题共16分，每小题2分．）11．（2分）当x≥时，在实数范围内有意义．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式求解．【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0时，即x≥，二次根式有意义．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．12．（2分）如图，表示某居民小区6月1日至6日每天用水量的变化情况，那么在这6天中用水量的极差是9m3．【分析】根据极差的定义用最大值减去最小值即可求出答案．【解答】解：根据图形可得：极差为：37﹣28＝9m3．故答案为：9．【点评】此题考查了极差，要熟悉统计图，读懂统计图，熟练掌握极差的计算方法．13．（2分）已知反比例函数y＝的图象在第二、第四象限，则m的取值范围是m＜﹣7．【分析】先根据反比例函数y＝的图象在第二、第四象限得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在第二、第四象限，∴m+7＜0，即m＜﹣7．故答案为：m＜﹣7．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限．14．（2分）如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为．【分析】本题考查勾股定理的逆定理和直角三角形的性质，利用了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质求解．【解答】解：观察图形AB＝＝，AC＝＝3，BC＝＝2∴AC2+BC2＝AB2，∴三角形为直角三角形，∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半∴CD＝．【点评】解决此类题目要熟记斜边上的中线等于斜边的一半．注意勾股定理的应用．15．（2分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过O的直线分别交AD、BC于点E、F，已知AD＝4cm，图中阴影部分的面积总和为6cm2，对角线AC长为5cm．【分析】根据矩形的性质，采用勾股定理求解即可．【解答】解：∵图中阴影部分的面积总和为6cm2，AD＝4cm，则AD×CD＝×4×CD＝6，CD＝3，在直角三角形ACD中AD＝4，CD＝3，由勾股定理得AC＝5，∴对角线AC长为5cm．故答案为5．【点评】本题主要考查矩形的性质、勾股定理，是基础知识比较简单．16．（2分）已知：五个数a，2，3，4，5的平均数为3，那么这五个数的方差是2．【分析】首先利用平均数的计算方法求得a的值，然后利用方差的公式计算这组数的方差即可．【解答】解：∵（a+2+3+4+5）÷5＝3，∴a＝1，∴S2＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2．故答案为2．【点评】考查了算术平均数和方差的定义．算术平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方叫做方差．17．（2分）已知菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，如果点P是菱形内一点，且PB＝PD＝4，那么AP的长为4或8．【分析】先画出图形，判断出点P在AC上，①点P在OA上时，②点P在OC上时，然后利用勾股定理求出DO、AO、OP，继而可得出AP的长度．【解答】解：①∵∠A＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，BD＝AD＝4，∴DO＝2，AO＝＝6，又∵PB＝PD＝4，∴点P在BD的中垂线AC上，在RT△DPO中，OP＝＝2，故可得AP＝AO﹣OP＝6﹣2＝4．②当点P在OC上时，可得CP＝4，此时AP＝AC﹣CP＝8故答案为：4或8．【点评】此题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分的性质，判断出点P在线段AC上，难度一般．18．（2分）如图，依次连接第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去．若第一个正方形边长为1，则第n个正方形的面积是）n﹣1．【分析】根据正方形的性质及三角形中位线的定理可分别求得第二个，第三个正方形的面积从而不难发现规律，根据规律即可求得第n个正方形的面积．【解答】解：根据三角形中位线定理得，第二个正方形的边长为＝，面积为，第三个正方形的面积为＝（）2，以此类推，第n个正方形的面积为．【点评】根据中位线定理和正方形的性质计算出正方形的面积，找出规律，即可解答．三、用心算一算（本题共12分，每小题4分．）19．（4分）化简：﹣．【分析】首先将两个分式通分，然后再进行分式的加减运算．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝．【点评】分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．20．（4分）．【分析】先将二次根式的化为最简，然后去括号合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝2+2﹣（3﹣）＝2+2﹣3+＝3﹣．【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．21．（4分）先化简，再求值：（），其中x＝，y＝．【分析】首先计算括号内的式子，把除法转化成乘法运算，即可把分式化简，然后把x，y的值代入即可求解．【解答】解：原式＝[（+]÷＝（﹣）÷＝•y（x+y）＝xy．当x＝+，y＝﹣时，原式＝（﹣）•（+）＝2．【点评】本题主要考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是关键．四、解答题（本题共22分，第22题6分，第23题6分，第24题5分，第25题5分．）22．（6分）某零件生产车间，有工人15位，为了调动工人工作的积极性，决定实行目标管理，即确定一个月生产定额，根据定额的完成情况进行适当的奖惩．为了合理制定工人加工零件的月生产定额，该车间统计了这15人某月的加工零件件数，数据如下（单位：件）：每人加工件数540450300240210120人数112632（1）写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数；（2）假如车间负责人把每位工人的月加工零件数定为260件，你认为这个定额是否合理？如果合理，请说明为什么？如果不合理，请你制定一个较合理的月生产定额，并说明理由．【分析】（1）平均数＝加工零件总数÷总人数，中位数是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．本题中应是第7个数．众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，240出现6次．（2）应根据中位数和众数综合考虑．【解答】解：（1）这15人该月加工零件数的平均数＝＝260；把这15人该月加工零件数从小到大排列，处于中间位置的是第7个数，所以中位数是240；这15人该月加工零件数中，240出现的次数最多，所以众数是240；（2）不合理．因为表中数据显示，每月能完成260件的人数一共是4人，还有11人不能达到此定额，尽管260是平均数，但不利于调动多数员工的积极性，因为240既是中位数，又是众数，是大多数人能达到的定额，故定额为240较为合理．【点评】本题考查的是平均数、众数和中位数的定义，在做本题的平均数时，应注意先算出15个人加工的零件总数．为了大多数人能达到的定额，制定标准零件总数时一般应采用中位数或众数．23．（6分）列方程解应用题：为了适应经济发展的需要，某地区的铁路提速改造工程全面开工建设，工程完成后，从甲站至乙站的旅客列车的平均速度将提高到现在的1.5倍，运行时间缩短1小时20分钟，已知甲站与乙站相距400千米，那么现在的旅客列车的平均速度是每小时多少千米？【分析】首先设现在的旅客列车的平均速度是每小时x千米，则工程完后，旅客列车的平均速度是每小时1.5x千米，由题意可得等量关系：现在从甲到乙所用的时间﹣工程完后从甲到乙所用的时间＝1小时20分钟，根据等量关系列出方程，解方程即可．【解答】解；设现在的旅客列车的平均速度是每小时x千米，则工程完后，旅客列车的平均速度是每小时1.5x千米，由题意得：﹣＝1，解得：x＝100，经检验：x＝100是原方程的解．答：现在的旅客列车的平均速度是每小时100千米．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是首先弄清题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程，此题用到的公式是：行驶时间＝路程÷速度．24．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上两点，且AE＝CF，连接BE、ED、DF、FB，得四边形BEDF．（1）四边形BEDF的形状是平行四边形，并证明你的结论．（2）当OE、BD满足OE＝BD条件时，四边形BEDF是矩形．【分析】（1）平行四边形；有平行四边形的性质则可知OB＝OD，OA＝OC，又AE＝CF，所以OE＝OF，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形填空即可．【解答】（1）答：平行四边形，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO∵AE＝CF，∴AO﹣AE＝CO﹣CE．即EO＝FO．∴四边形BEDF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；（2）OE＝BD，证明：∵四边形BEDF为平行四边形，∴OE＝OF，OB＝OD，∵OE＝BD，∴BD＝EF，∴四边形BEDF是矩形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和矩形的判定，题目难度不大，属于基础题．25．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC与BD相交于点O，∠BOC＝120°，AD＝2，BC＝4．求：等腰梯形ABCD的面积．【分析】首先过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，即可得四边形AEFD是矩形，则可求得BE与EC的长，根据SAS证得△ABC≌△DCB，即可求得∠ACE的度数，然后即可求得高AE的长，则可求得等腰梯形ABCD的面积．【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠DFE＝∠ADF＝90°，∴四边形AEFD是矩形，∴EF＝AD＝2，在Rt△AEB和Rt△DFC中，，∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），∴BE＝FC＝（BC﹣AD）＝1，∴EC＝3，∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠ABC＝∠DCB，在△ABC与△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠ACB＝∠DBC，∵∠BOC＝120°，∴∠ACB＝30°，∴AE＝EC•tan∠ACE＝3×＝，∴S梯形ABCD＝（AD+BC）•AE＝×（2+4）×＝3．【点评】此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．五、动手拼一拼，画一画（本题共4分．）26．（4分）如图，把一个等腰直角三角形ABC沿斜边上的中线CD（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分可以拼成一个平行四边形BCDA′，如示意图①．（以下有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明）（1）试一试：按上述的裁剪方法，请你在图②中再画出一个拼得的特殊的四边形的示意图．（2）想一想：在等腰直角三角形ABC中，请你沿一条中位线（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形，请你在图③、图④中画出分别拼得的特殊四边形的示意图．（要求：画不同拼接方法的示意图）（3）变一变：在等腰直角三角形ABC中，请你找一条经过三角形一边的中点但与上述方法不同的裁剪线，沿这条裁剪线剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形，请在图⑤中画出拼得的特殊四边形的示意图．【分析】（1）利用旋转将三角形ACD绕点C顺时针旋转90度到CBD′的位置，可得到一个正方形．（2）先沿平行于BC的中位线剪开，将得到的三角形旋转180°，可拼成一个平行四边形，或将得到的三角形的一条直角边与直角梯形的高重合，另一边与直角梯形的下底在一条直线上，可得到一个等腰梯形．（3）先沿过斜边中点的一条非中位线的直线剪开．将得到的三角形绕斜边中点旋转180°，即可拼成一个直角梯形．【解答】解：（1）根据题意得：（2）平行四边形、矩形或者等腰梯形，如图；（3）如图所示：【点评】此题主要考查了图形的剪拼，一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程．六、解答题（本题共10分，每小题5分．）27．（5分）某水果店以每千克2元的价格新进一批水果，在市场销售中发现：此种水果的日销售量y（单位：千克）是销售单价x（单位：元/千克）的反比例函数，且2≤x≤10．已知当销售单价定为3元/千克时，日销售量恰好为40千克．（1）求出y与x的函数关系式，并在给出的平面直角坐标系内，画出该函数图象；（2）为了避免该水果库存的积压，水果店经理确定了日销售量不少于20千克且日销售利润不低于60元的销售方案，求出此时销售单价的范围．【分析】（1）首先根据题意设出函数关系式，根据“销售单价定为3元/千克时，日销售量恰好为40千克”利用待定系数法即可求出y与x的函数关系式；（2）根据关键语句“日销售量不少于20千克”可得不等式≥20，再根据关键语句“日销售利润不低于60元”可得不等式（x﹣2）•≥60，两个不等式联立，即可求出销售单价的范围．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝，由题意得：k＝xy＝3×40＝120，因此y与x的函数关系式为：y＝（2≤x≤10）；函数图象如右图所示：（2）由题意得：，解得：4≤x≤6，答：此时销售单价的范围为4≤x≤6．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是弄清题意，利用待定系数法求出函数关系式，再根据题目中的关键语句列出不等式组，即可得答案．28．（5分）已知在正方形ABCD中，对角线AC、DB交于点O，E是CD边上一点，AE与对角线DB交于点M，连接CM．（1）如图，点F是线段CB上一点，AF与DB交于点N，连接CN．若∠CME＝30°，∠CNF＝50°．求：∠EAF的度数；（2）若点F′是CB延长线上一点，AF′与DB的延长线交于点N′，连接CN′．如果∠CME＝α，∠CN′F′＝β，请用含有α、β的代数式表示∠EAF′的度数：90°+．（第（2）问只需填写结论，不要求证明过程）．【分析】（1）根据正方形的对角线互相垂直平分以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM＝CM，AN＝CN，再根据等边对等角的性质可得∠MAC＝∠MCA，∠NAC＝∠NCA，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠MAC与∠NAC的度数，相加即可得解；（2）根据正方形的对角线互相垂直平分以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM＝CM，AN′＝CN′，再根据等边对等角的性质可得∠MAC＝∠MCA，∠N′AC＝∠N′CA，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠MAC，利用三角形的内角和等于180°求出∠N′AC，两者相加即可得解．【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，∴AM＝CM，AN＝CN，∴∠MAC＝∠MCA，∠NAC＝∠NCA，∵∠CME＝30°，∠CNF＝50°，∴∠MAC＝∠CME＝15°，∠NAC＝∠CNF＝25°，∴∠EAF＝∠MAC+∠NAC＝15°+25°＝40°；（2）如图，∠EAF′＝90°+．理由如下：在正方形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，∴AM＝CM，AN′＝CN′，∴∠MAC＝∠MCA，∠N′AC＝∠N′CA，∵∠CME＝α，∠CN′F′＝β，∴∠MAC＝∠CME＝α，∠N′AC＝（180°﹣β）＝90°﹣β，∴∠EAF′＝∠MAC+∠N′AC＝α+90°﹣β＝90°+．故答案为：90°+．【点评】本题考查了正方形的对角线互相垂直平分的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，综合性较强，但难度不是很大，熟练掌握各性质并理清各角度之间的关系是解题的关键．七、解答题（本题共6分）29．（6分）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为顶点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝8．（1）如右上图，在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作点E．①求点E的坐标及折痕BD的长；②在x轴上取两点M，N（点M在点N的左侧），且MN＝4.5，求使四边形BDMN的周长最短的点M和点N的坐标；（2）如右下图，在OC，BC边上分别取点F，G，将△GCF沿GF折叠，使点C恰好落在OA边上，记作点H．设OH＝x，四边形OHGC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【分析】（1）①根据矩形的性质得到BC＝OA＝10，AB＝OC＝8，再根据折叠的性质得到BC＝BE＝10，DC＝DE，易得AE＝6，则OE＝10﹣6＝4，即可得到E点坐标；在Rt△ODE中，设DE＝x，则OD＝OC﹣DC＝OC﹣DE＝8﹣x，利用勾股定理可计算出x，再在Rt△BDE中，利用勾股定理计算出BD；②以D、M、N为顶点作平行四边形DMND′，作出点B关于x轴对称点B′，则易得到B′的坐标，D′的坐标，然后利用待定系数法求出直线D′B′的解析式，令y＝0，得﹣2x+12＝0，确定N点坐标，也即可得到M点坐标．（2）过点H作HM⊥BC于M，则MG＝HG﹣x，从而在RT△HMG中可用x表示出HG的长，利用梯形的面积公式可用x表示出y，点F与点O重合时是OH取得最大值的点，从而可得出自变量的范围．【解答】解：（1）①∵四边形OABC为矩形，∴BC＝OA＝10，AB＝OC＝8，∵△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边E点上，∴BC＝BE＝10，DC＝DE，在Rt△ABE中，BE＝10，AB＝8，∴AE＝6，∴OE＝10﹣6＝4，∴E点坐标为（4，