【新高考一轮复习】考点24 空间几何中的垂直（基础版含答案）

考点24空间几何中的垂直

知识理解

一.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义：

直线1与平面。内的任意一条直线都垂直，就说直线1与平面。互相垂直

(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：

文字语言图形语言符号语言

1。，bua、

判定一条直线与一个平面内的两条相交直aC\b=O

定理线都垂直，则该直线与此平面垂直刁ILa

l±b，

ab

性质17aLa\

垂直于同一个平面的两条直线平行

定理b±a\

二.平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定一个平面过另一个平面的垂线，则

屋Mly

定理这两个平面垂直

aLp、

性质两个平面垂直，则一个平面内垂直b

…>=>/±a

定理于交线的直线与另一个平面垂直aC\fi=a

/_Ld，

三.证明线线垂直的思路

f平行四边形：正方形、菱形、矩形

图形

三角形：等腰（等边）三角形一取中点

正余弦定理

边关系或边长＜

勾股逆定理

线面垂直的定义

面面垂直的性质

考向分析

考向一线面垂直

【例”3.（2021•江西吉安市•高三期末节选）如图，在四棱锥尸—ABCO中，底面A8CO为直角梯形，

。为正三角形，为的中点，求证：

AD//BC,ZADC=90°fAD=DC=2BC=2,△FAQAOADL

平面「8。

【举一反三】

1.（2321•河南信阳市节选）如图所示，四棱锥S-ABCO中，AB//CD,AD±DC,

CD=2AD=2AB=2SD=4,SD_L平面A8CD，求证：8C_L平面S3。

AB

rr

2.（2021•江西赣州市节选）如图，已知三棱柱ABC-A4G的所有棱长均为2,=证明：B.C1

平面A8C

3.（2020•山东德州市节选）如图，四棱锥P—A5CD中，四边形43CO是边长为2的正方形，△小。为

等边三角形，耳厂分别为PC和8。的中点，且b_LCO,证明：C£>_L平面P4O

考向二面面垂直

21（20214可南高三期末节选）如图，直四棱柱ABC。-的底面4BCO为平行四边形，40=3,

3

4B=5,cosZBAD=-tBD=DD.,E是CG的中点，求证：平面。3E_L平面

【举一反三】

【例3】（2021•江西宜春市•高安中学节选）如图，四棱锥尸一ABCD的底面A8c。是边长为2的菱形,

N84D=60，已知尸3=尸£>=2,PA=Jd,K为Q4的中点，求证PC_L3£>

【举一反三】

1.（2321•江苏南通巾•高二期末节选）如图，在四棱锥A-8CD石中，BCUDE,BC=2DE=2,

BC1CD,尸为4B的中点，BCLEF,求证：AC_L8C

2.（2020•山东德州市节选）如图，已知四棱锥P—ABC。中，底面A8CO为菱形，NABC=60。,PA_L

平面ABCD,E,尸分别为BC,PA的中点.

（1）求证：AE_LP£>;

（2）求证：EF//平面PCD.

3.（2321•山东枣庄市节选）如图，四棱锥尸一A5co的侧面△PAO是正三角形，底面ABCO是直角梯

形，NBA。=ZA£）C=90，AD-AB-2CD-2,M为8C的中点，求证：PM±AD

强化练习

1.（2021•山东泰安市•高三期末节选）如图，在四棱锥尸—ABC。中，底面A3CO是菱形，ZBAD=600,

PB=PD，尸为PC上一点，过A尸作与60平行的平面4MG,分别交PO,PB于点E,G,证明：EG1

平面「4c

D

2.（2321•浙江金华市•高三期末节选）在三棱锥尸-ABC中，平面B4C_L平面小

正4二28=48=>/£4。=&3。，）证明：PCJ■平面4%

3.（2021•河南焦作市节选）如图，四棱维P-ABC。的底面为正方形,PA_L底面ABC。，E,F,H

分别为AB,PC,8c的中点，求证：DE_L平面B4”

4.（2321•浙江温州市节选）如图，已知三棱锥P—ABC.PCA.AB,是边长为2G的正三角

形，PB=4枢，NP8C=6（y,点尸为线段AP的中点，证明：PC_L平面A8C

5.（2C21•陕西咸阳市•高三一模节选）如图，在三棱锥P-48C中，平面B4C_L平面ABC,PC±AC,

BC1AC,AC=PC=2,CB=4,M是HA的中点，求证：“A_L平面MBC

6.（2321•浙江金华市节选）如图，在四棱锥尸一A5C。中，底面A8CD为矩形，PD=AB=6BC，

平面PCO_L平面ABCO,若£为尸。的中点，求证：OE_L平面PBC

7.（2321•西安市铁一中学节选）如图，在底面为菱形的四棱锥ABC。中,

PE

NA8C=60°,PA=AC=l,尸8=尸。二及，点E在尸力上，且二二2,求证：PA_L平面ABCD

ED

8.（2321•河南高三期末节选）如图，直四棱柱A6c。-A4G。的底面ABCO为平行四边形,

3

4。=3,48=5工05/区4。=1,3£>=D口，七是。。1的中点，求证：平面QBEJ"平面4DR

9.（2321•江苏南通市节选）如图，四面体48a>中，。是3。的中点，点G、£分别在线段力。和回上,

BE=2EC,AG=2GO,CA=CB=CD=BD=2,A8=AO="

（2）求证：平面A3。_L平面BCD.

10.（2021•山西吕梁市•高三一模节选）如图，四棱锥S—ABCZ）中，AB//CD,BC1CD,侧面SCD

为等边三角形，AB=BC=4,8=2,SB=25求证：BCLSD

11.（2021•云南高三期末）如图所示，在正方体A3CD—AECZ）'中，点M为线段B77的中点.

（1）求证：DD'-LAC；

（2）求证：3知//平面人。。'.

12.（2021•江西景德镇市节选）如图，己知四棱锥S—ABCD,其中AO〃6C,AB±AD,N8CO=45'，

BC=2AD=2,侧面SBC_L底面48CO,E是SB上一点,且△反。是等边三角形，求证：CE_L平

面S4B

13.（2021•江西景德镇市•景德镇一中）如图，在三棱柱中，平面A4CG_L平面ABC,

A

45=BC=2,NACB=3O‘,AA,=3,BCXA^C,E为AC的中点.

A

(1)求证：44〃平面GE3；

(2)求证：AC_L平面CEB.

14.(2021•陕西咸阳市)在三棱锥A-BCD中，E、尸分别为A。、OC的中点，且丛=%>,平面A8OJ_

平面从DC.

(1)证明：EF〃平面ABC；

(2)证明：BELCD.

15.(2021•全国)已知四棱锥尸一ABCD中，平面PABJ_平面ABCD,APAB为等边三角形，底面ABCD

为直角梯形，ND48=90。且AB=2CQ,点M为PB的中点、,求证：PBLDM.

p.

16.（2020•全国）如图，矩形ABC。所在平面与半圆弧CO所在平面垂直，M是CO上异于C，D的点.

（1）证明：平面平面3MC；

（2）若P点是线段AM的中点，求证：，V/C〃平面尸血）.

17.（2021•全国高三专题练习）如图，边长为2的正方形ABCO所在的平面与半圆弧。。所在平面垂直,

M是CO上异于C,。的点.证明：平面_L平面BMC.

M

18.（2020•全国高三专题练习）己知四棱锥尸—A5CD中，平面尸A5J_平面ABC。，△P45为等边三

角形，底面ABC。为直角梯形，/公45=90。且A/B=2C£>,点M为PB的中点,求证：DMPB.

19.（2020•江苏苏州市♦高三三模）如图，在三棱柱ABCi-ABC中，AB=AC,D为BC中点、,平面

ABC_L平面3CCM，BCJBQ.

(1)求证：A。〃平面A耳。;

(2)求证：AB.1BC].

参考答案

考向一线面垂直

【例1】3.（2021•江西吉安市•高三期末节选）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCO为直角梯形，

ADUBC,NADC=9O。，AD=DC=2BC=2,△24。为正三角形，Q为AO的中点，求证：AD1

平面尸8。

【答窠】证明见解析

【解析】为正三角形，。为AD的中点，

•:ADHBC，AD=DC=2BC，。为A力的中点.，四边形6C。。为平行四边形，.・.8Q〃CO.

又NADC=900..・.N4Q8=90。，即3Q_LAD.又尸QC|BQ=Q,，4）1,平面PBQ.

【举一反三】

1.（2321•河南信阳市节选）如图所示，四棱锥S—ABCZ）中，AB//CD,AD1DC,

CD=2AD=2AB=2SD=4,SO_L平面A3CO,求证：3C_L平面S3。

M

【答案】证明见解析

【解析】证明：•；ABHCD,AD1DC,AB=AD=2,..BD=2夜,BC=2&，

又・.・CD=4,1.CD2=BD2+BC2,故

又QSO_L平面ABCD,BCu平面ABCD，,BC工SD,

又・・・SDnBD=D,..BC上平面SBD.

2.（2021•江西赣州市节选）如图，已知三棱柱ABC-A/IG的所有棱长均为2,/耳84=（,证明：1

平面ABC

【答案】证明见解析

【解析】证明：如图取A8中点O,连接用加，CD.

因为四边形5CG4为菱形，所以qCJ.8a

又因为三棱柱的所有楼长均为2,4B\BA=?

所以AABC和△ABB】是等边三角形，所以用D_LAB,CD1AB

因为4。，CDu平面&CO,B】DcCD=D,

所以A8_L平面8co

所以4C_LA8,而SGCIAB二B,

所以4cd.平面4BG

3.（2020•山东德州市节选）如图，四棱锥P—ABCD中，四边形A8CD是边长为2的正方形，"AD为

等边三角形，EF分别为PC和8£＞的中点，且EF_LCD,证明：CD_L平面AAO

【答案】证明见解析

【解析】如图所示，连接AC,由A3CD是边长为2的正方形，

因为尸是BO的中点，可得AC的中点，

在△PAC中，因为反尸分别是尸CAC的中点，可得EF//PA，

又因为所_LCD，所以PA_LCD,

乂由人O_LCD,且A£）nAP=A,所以。。_1平面PAD.

考向二面面垂直

【例21（2021洞［南高三期末节选）如图，直四棱柱4BCO-AqGA的底面48co为平行四边形，AD=3,

3

AB=5,cosZBAD=-,BD=DD,,£是CG的中点，求证：平面。8E_L平面从。9

【答案】证明见解析

【解析】由题意可得BD?=A£>2+Ag2—2ABxAOcosN8A£)=16，

所以4。2+3。2=AB?，因此4Q_L8Z)

在直四棱柱ABC。—AMGO中，

。马，平面A8CO，成><=平面45。£>,所以OR_L8D

又因为4。口。。1=。，AO,OAu平面A。。，所以8。_L平面A。。，

因为BOu平面DBE，所以平面DBE工平面ADD,.

【举一反三】

1.(2021•河南焦作市节选)如图所示，在四棱锥夕—A88中，底面A3。是菱形，B4J_平面ABC。,

点Q为线段PC的中点，求证:平面BOQ_L平面R4C

【答案】证明见解析

【解析】因为四边形A8CD是菱形，所以

因为RA_L平面ABCD,BDu平面ABCD,所以3。_LPA,

又因为PAcAC=A,所以8。J.平面PAC,

因为u平面BDQ,所以平面BDQ_L平面PAC.

2.（2Q21•山东青岛市•高三期末节选）如图，在直角梯形ABED中，BEHAD,DE±AD,BC±AD,

AB=4,8E=2jL将矩形8EQC沿BC翻折，使得平面ABC_L平面BCDE,若BC=BE,证明：

平面A5£）_L平面ACE

【答案】证明见解析

【解析】证明：连接80,因BC=%;所以8£）_LCE

因为平面A8C_L平面BCDE,平面平面5COE=3C,4。_18（?所以4。_1_平面8。。£

因为3Du平面BCDE,所以AC_L8£>

因为ACDCE=C,所以8。J_平面ACE

因为BDu平面ABD，所以平面ABD_L平面ACE

3.（2321•安徽马鞍山市节选）如图，BE,切为圆柱的母线，△ABC是底面圆的内接正三角形，必为8C

的中点，证明：平面力&平面8aB

【解析】根据题意可得，AM2.BC.

又・・・5E为圆柱的母线，.•.跳:_L平面ABC.

.\BE±AM，QBCIBE=B.

/.AM_L平面BCDE.

又•：AMu平面人，

・•・平面A臼0J_平面BCDE.

考向三线线垂直

【例3】（2021•江西宜春市•高安中学节选）如图，四棱锥尸一A3C£＞的底面48C。是边长为2的菱形,

/84。=60，已知PB=PD=2,PA=瓜,£为24的中点，求证尸C_L8£）

【答案】证明见解析

【解析】ACBD交点、为0,连接尸

vABCD是边长为2的菱形，ACJ_8。,。是AC,3。的中点，

,;PB=PD,;.PO上BD.

又尸Ou平面尸OC,ACu平面POC,POC|4C=O，.•.8力_1_平面P。。，

・・・尸。＜=平面尸。。，.・.瓦）_1_尸。.

【举一反三】

1.（2321•江苏南通市•高三期末节选）如图，在四棱锥A—8CDE中，BC//DE,BC=2DE=2,

BC1CD,尸为A8的中点，BC1EF,求证：ACLBC

E

【答案】证明见解析

【解析】取力。中点明连接掰DM,

，.,£修分别为力8,AC中点，：.FM"、BC,

=2

DE[^-BCy:.FMl/DE,

.,.四边形颂V是平行四边形，「.DM//即，

・・・EFLBC,，DM工BC,

・・・CQ_LOM,CZ）,£>Mu平面力微CDcDM=D,

5。_1_平面⑦M,ACu平面⑦加/.BC±AC：

2.（2020•山东德州市节选）如图，已知四棱锥P—ABCO中，底面A8CO为菱形，NA3C=60。,尸A_L

平面ABCD,E,F分别为BC,PA的中点.

（1）求证：AE±PD.

（2）求证：EF//平面par

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

证明：(1)连AC，

QZABC=60%底面A8CO为菱形,

「.△ABC是等边三角形，

・.・BE=EC,

:.AE±BC,

又BCMAD，

:.AE±AD^

又PA_1_面ABCD,AEu面ABCD,

:.PA±AEf

PAr,AD=A,

A£_L面PAD,尸。u面PAD，

:.AEYPD

(2)取尸。的中点M，连尸M,MC,

■:PF=FA、

所以尸M/JAR月0=，A。,

22

又EC//LAD,EC=>AD,

22

:.FM//EC,FM=EC,

四边形FECM是平行四边形，

:.EF//MC，

又EFe面PCD,MCu面PCD,

;.EF〃面PCD.

3.（2321•山东枣庄市节选）如图，四棱锥P—A3C。的侧面△PAD是正三角形，底面A3CO是直角梯

形，ZBAD=ZADC=90，AD=AB=2CD=2,M为BC的中点，求证：PM1AD

p

【答案】（1）证明见解析；（2）立.

7

【解析】证明：取A。中点N,连PN,NM,

因为△24。是正三角形，所以?N八4）.又M是中点，所以NM//AB.

因为/84£>=90‘，即AB_LAD.所以Mf_LAZ）,因为NMcPN=N,NM、PNu平而PMN,

1.（2021•山东泰安市•高三期末节选）如图，在四棱锥P—A3CO中，底面43co是菱形，440=60。，

PB=PD，尸为PC上一点，过A尸作与8。平行的平面人七阳，分别交P£）,PB于点E，G,证明：EG_L

平面R4C

p

F

【答案】证明见解析

【解析】证明：连接30,交AC于点0,连接尸0.

•••8乃〃平面平面P8Z）n平面gU=EG,BDu平面PBD,，EG〃BD.

:底iEABC。是菱形，・・・AC_L8O,且。为AC,BD中点,

又PB=PD、：.POtBD,又ACp\P0=0,HC,P0u平面尸AC,

:.BD_L平面PAC,・•・EG_L平面PAC.

2.（2321•浙江金华市•高三期末节选）在三棱锥P—A8c中，平面B4C_L平面力比；

PA=P8=A8=Ji4C=JL?。，）证明：PCJ■平面月砥

【答案】证明见解析；

【解析】证明：取4?中点。，连接勿，DC

'：PA=PB，AC=BC^则ABIDC^

而PZ)cDC=Z)./.ABJ■平面PDC,

因为PCu平面POC,故ABJ_PC.

在△ABC中，AB=yfiAC=6BC,故482=4。2+8。2,.・BCJ^AC

又•・•平面PAC_L平面ABC，且交线为“；BCu平面ABC,

・・・8C_L平面PAC,因为PCu平面RAC,故3C_LPC.

因为A8c8C=B,・・.PC_L平面ABC.

3.（2021•河南焦作市节选）如图，四棱锥尸一A8CD的底面为正方形，Q4_L底面ABC。，E,F,H

分别为AB,PC,8C的中点，求证：DE_L平面P4H

【答案】证明见解析

【解析】因为P4_1_底面A8CQ,£>Eu底面A8CQ,

所以P4_LOE，因为E，H分别为正方形488的边AB，8c的中点，

AB=DA,BH=AE,?HBA?EAD,

所以放所以NK4H=NADE,由NA£O+NA0£=9O

所以NBA”+NAEO=90,所以OE_LA7/，

因为如u平面PAH，AHu平面PAH,PAnAH=A^

所以OEL平面PAH.

4.（2321•浙江温州市节选）如图，已知三棱锥P—A3C,PC1AB,△A3C是边长为的正三角

形，PB=4也，ZP8C=60"点产为线段A尸的中点，证明：PC_L平面A5C

R

【答案】证明见解析

【解析】在△/（7中，PB=A6BC=Z5NPBC=60，

由余花定理可得PC?=24+BC2-2PB•BCcos/PBC=36，/.PC2+BC2=PB1，

:.PC1BC,・・・PCJ_A3，ABcBC=B，/.PCJ_平面ABC；

5.（2C21•陕西咸阳市•高三一模节选）如图，在三棱锥P—A3c中，平面PAC_L平面48C,PCIAC,

BC1AC,AC=PC=2,CB=4,M是BA的中点，求证：PAJ_平面M8C

【答案】证明见解析

【解析】平面R4C_L平面A3C,平面R4CD平面ABCMG3Cu平面ABC,BCLAC,

・•・8c，平面PAC,

•・・R4u平面PAC,

・•.BC±PA,

VAC=PC,"是抬的中点，

・•・CM1PA,

-CM^BC=C,CM,8Cu平面M6C,

R4_L平面MHC.

6.（2321•浙江金华市节选）如图，在四棱锥尸—A3c。中，底面ABC。为矩形，PD=AB=EBC，

平面PCD_L平面ABC。，若E为PC的中点,求证：。石_L平面尸8c

【答案】证明见解析

【解析】因为平面PCD_L平面A8CQ，且平面尸80平面A3CQ=CO,底面A3CO为矩形，所以

BC1CD,又CDu平面尸£）C，所以BC_L平面P0C,又OEu平面PDC，所以8CJ_DE；

因为PD=A3=QC,所以△PDC为等腰三角形，〃为PC的中点，所以0£_LCP，因为CPn8C=C,

8。,。「＜=面尸8。，所以。E_L面P3C

7.（2321•西安市铁一中学节选）如图，在底面为菱形的四棱锥P-48C。中,

PE

ZABC=60°,PA=AC=[,PB=PD=j2,点E在尸。上，且一=2,求证：PA_L平面ABCO

ED

【答案】证明见详解

【解析】因为底面A8CD是菱形，ZABC=60\

所以AB=AC=AO=1，

在△PA8中，PA=\,PB=y[i，

由尸+=尸82，可得PALAB.

同理，PAIAD^又A5c4）=A所以R4_L平面A5CZ）.

8.（2321•河南高三期末节选）如图，直四棱柱A3cO-A4Gol的底面ABC。为平行四边形,

3

4。=3,43=5,（：05/84。=一，3。=乃。1,£1是。4的中点，求证：平面。?石JL平面A3R

【答案】证明见解析

【解析】由题意可得BO?=A£>2+A82—2ABXA£>COSNBAZ>=16，

所以4。2+3力2=A*,因此AZ）_L8Z），

在直四棱柱ABC。—AgGA中，。01_平面43。。，所以OR_L8D,

又因为A£>nOR=。，所以8。1平面A。。，

因为5。u平面OBE，所以平面短8石_1平面4。2.

9.（2321•江苏南通市节选）如图，四面体A8CZ）中，。是5。的中点，点G、£分别在线段力。和力上,

BE=2EC»AG=2GO，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=V2-

（1）求证：GE〃平面ACO；

（2）求证：平面ABD_L平面BCD.

【答案】（1）证明见解析：（2）证明见解析.

【解析】证明：（1）连接5G并延长，交AD于连接MC,

在△A3。中，。为劭中点，G在力。上，AG=2GO,

2

:.G为△ABD的重心，----二—

GM1

pBE2BGBE

又---——--=——:,GEHMC,

EC1GMEC

•・・GE（z平面ACO，ACu平面AC。，

・・・GE〃平面ACO；

（2）在中，0为BD中点、,BD=2,A8=AO=夜,

：•AO1BD/.AO=>)AB2-BO-=1»

在△BCD中，BC=CD=BD=2,。为BD中点,连接OC,则OC=JL

又C4=2,・•・。42+0。2=02,.・・A。_LOC

由AO_LOC，AOIBD^OC[}BD=O,OC,8Ou平面3CQ,

得AOJ■平面BCD,

又AOu平面ABO,

，平面ABO_L平面BCD

10.（2021•山西吕梁市•高三一模节选）如图，四棱锥S—ABCZ）中，AB//CD,BCA.CD,侧面SCD

为等边三角形，AB=BC=4,CD=2,S8=26，求证：BC1SD

【答案】证明见解析

【解析】由已知3C=4,SC=2,SB=2如得,

SB2=BC；SC2,所以NBCS=90。，所以BC_LCS，

又8CJLCD,COnCS=C,所以8C_L平面SC。，

又SOu平面SCD,所以BCLSD.

11.（2021•云南高三期末）如图所示，在正方体ABCD-AB'CZ>'中，点时为线段377的中点.

（1）求证：OQ'JLAC；

（2）求证：〃平面ACD.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）在正方体ABS-AECTT中，

•：DD工AD，DD'ICD,且。。口4力=。，

:."X_L平面ACO，ACu平面ACD.

:.Diy±AC

（2）如图所示，连接30.交AC；N；连接DN.

B

由题设得：BN=MD',BN/iMD'，

・•・四边形BMDN为平行四边形.

：.BM//ND,.

又M）'u平面AC。'，平面AC。，

・・・励1//平面48'.

12.（2021•江西景德镇市节选）如图，已知四棱锥S—ABCD,其中AO〃8C,AB±AD，N8CD=45°，

BC=2AD=2,侧面SBC_L底面ABC。，E1是SB上一点，且△EC。是等边三角形，求证：。七_1平

面加B

【答案】证明见解析

【解析】•:ADHBC、ABYAD.s.ABLBC^

•・•侧面S3C_L底面A3CO,侧面S8CI底面ABCD=3C,ABI平面ABC。，

AB_L平面SBC,

・・・CEu平面SBC,:.CE±AB,

如下图所示，取6c的中点尸，连接。尸、EF，

vBC=2AD,且b为5C的中点，则A£>=B/，

QBC//AD，贝UAQ//M，所以，四边形48FQ为平行四边形，则"7/A3，

.•.OF_L平面S8C,

EF、BCu平面S3C,DF1BC,

•••△ECD为等边三角形,讽EF=」DE2-DF?=yJCD?-DF?=CF=BF，

所以，&BE=ZBEF，ZFCE=ZCEF,

兀

由NFBE+/BEF+NFCE+NCEF=2/BEC=乃，・•・NBEC=—,即CEJ.S6,

2

-SBC\AB=B,因此，。七_1平面$45；

13.（2021•江西景德镇市•景德镇一中）如图，在三棱柱ABC—44G中，平面A/CG，平面ABC,

AB=BC=2,ZACB=3O，M=3,8。1八A。，E为AC的中点.

（1）求证：A4〃平面GE8；

（2）求证：从。，平面。也8.

【答案】（1）证明见解析：（2）证明见解析.

【解析】（1）如下图所示，连接人与、B。,设旦。086二尸，连接所,

R

在三棱柱A3C-A&G中，四边形34CC为平行四边形，

因为4Cp|BG=尸，在点F为4c的中点，又因为点石为AC的中点，，瓦

•••人丹•平面弓硝，成U平面GE3,所以，A8"平面。|所：

（2）\AB=BC^E为AC的中点，.•.BE_LAC，

因为平面A4CG，平面ABC,平面AACGc平面ABC=AC,BEu平面ABC,

.•.8E_L平面4ACG，

,/AjCu平面A}ACC},/.A}C±BE,

vBC,1\C,BECBG二B,A。，平面REB.

14.（2021,陕西咸阳市）在三棱锥A—BCD中，E、尸分别为A£＞、的中点，且44=皿），平面A8£）J_

平面AOC.

（1）证明：EF〃平面ABC；

（2）证明：BELCD.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）在△AOC中，E、尸分别是A。、OC的中点，.•.17/AC.

・.・EFu平面ABC,ACu平面ABC^瓦7/平面ABC；

（2）在/XABO中，BA=BD,E为AO的中点，.•.鹿_LAD,

又,•,平面A%）_L平面ADC，平面A3Qc平面A£）C=AO,3Eu平面AB£＞，

.•.BE_L平面ADC.

15.（2021•全国）已知四棱锥P—ABC。中，平面B48J_平面ABCD,为等边三角形，底面ABCD

为直角梯形，/943=90。且48=2。。，点M为P8的中点，求证：PBA.DM.

【答案】证明见解析.

【解析】因为△PA3为等边三角形，M为P3的中点，所以

因为平面K4B_L平面48CD,平面E43c平面A5C£）=48,DA-LABrD4u平面4BCD，

所以加，平面R4/，

因为PBu平面PA8,所以D4_LPB，

因为DAcAM=A，所以P8J_平面ADM，

因为。Mu平面ADW,所以

16.(2020•全国》如图，矩形A3C。所在平面与半圆弧CO所在平面垂直，M是CO上异于。，力的点.

(1)证明：平面AMD_L平面8MC；

(2)若尸点是线段AM的中点，求证：，3C〃平面PBQ.

【答案