经济数学基础（第六版）（上册）课件 第22讲5.3定积分计算与无限区间上的积分

经济数学基础辅导第22讲顾静相5.3定积分的计算教学要求

熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法．定积分的换元积分法

第17讲中，学习了用换元积分法求已知函数的原函数，在某些条件下换元积分法也可以用来计算定积分．

定积分的换元积分法的定理

定理5.3

设函数

f(x)在区间[a,b]上连续，作变换

x=

(t)，如果

(1)x=

(t)在区间[

,

]上有连续导数

(t)；

(2)

当

t在区间[

,

]上变化时，x=

(t)的值从

(

)=a单调地变到

(

)=b，则

．(22.1)

定积分的换元积分法

在应用定积分的换元积分法公式(22.1)时，应注意：(1)从左到右应用公式(22.1)，相当于不定积分的第二换元法．计算时，用

x=

(t)把原积分变量x换成新变量

t，积分限也必须由

a和

b换为新变量

t的积分限

和

，而不用代回原积分变量x，这与不定积分的第二换元法是完全不同的．定积分的换元积分法

在应用定积分的换元积分法公式(22.1)时，应注意：(2)从右到左应用公式(22.1),相当于不定积分的第一换元法（凑微分法）．一般不用设出新的积分量．这时，原积分的上、下限不需改变，只要求出被积函数的一个原函数，就可直接应用牛顿—莱布尼兹公式求出定积分的值.

定积分的换元积分法例1计算定积分

．定积分的换元积分法例1计算定积分

．解法一设

t=cosx，则

dt=-sinxdx．当

x=0时，t=1；当

时，t=0．所以，原积分

．定积分的换元积分法例1计算定积分

．解法一设

t=cosx，则

dt=-sinxdx．当

x=0时，t=1；当

时，t=0．所以，原积分

．

这一解法明确地设出了新的积分变量

t．这时，应更换积分的上、下限，且不必代回原积分变量．定积分的换元积分法例1计算定积分

．解法二

．定积分的换元积分法例1计算定积分

．解法二

．

这一解法没有引入新的积分变量，计算时原积分的上、下限不要改变．对于能用“凑微分法”求原函数的积分，应尽可能用解法二的方法．定积分的换元积分法例2计算定积分

．定积分的换元积分法例2计算定积分

．解设

x=t3，则

dx=3t2dt，当

t在

[0,2]上变化时，x在

[0,8]上变化，所以

．定积分的换元积分法例3计算定积分

．定积分的换元积分法例3计算定积分

．解

令

x=sint,dx=costdt，当

t=0时，x=0；

时，x=1，且

时，0

x

1，因此，

．定积分的换元积分法例4计算定积分

．定积分的换元积分法例4计算定积分

．解

设，则，

．当

x=0时，t=0；当

x=ln5时，t＝2．所以

定积分的换元积分法例5设函数

f(x)在区间[-a,a]上连续(a>0)，则(1)

当f(x)为偶函数时，

；(2)

当f(x)为奇函数时，

．定积分的换元积分法例5设函数

f(x)在区间[-a,a]上连续(a>0)，则(1)

当f(x)为偶函数时，

；(2)

当f(x)为奇函数时，

．证

(1)由定积分的可加性，有(22.2)对于等号右端的第一项，令x=-t，则dx=-dt．且当x=-a时，t=a；当x=0时，t=0．于是，

．定积分的换元积分法证

(1)由定积分的可加性，有(22.2)对于等号右端的第一项，令x=-t，则dx=-dt．且当x=-a时，t=a；当x=0时，t=0．于是，

．

所以，(22.2)式可化为

．定积分的换元积分法证

(1)由定积分的可加性，有(22.2)对于等号右端的第一项，令x=-t，则dx=-dt．且当x=-a时，t=a；当x=0时，t=0．于是，

．

所以，(22.2)式可化为

．(2)证明类似于(1)．定积分的换元积分法

例5的结果可以作为定理使用．

在计算对称区间上的定积分时，如果能判定被积函数的奇偶性，利用这一结果就可以化简计算过程．定积分的换元积分法例6计算定积分

．定积分的换元积分法例6计算定积分

．解由于

在区间[-2,2]上为奇函数，

在[-2,2]上为偶函数，所以定积分的分部积分法

对应于不定积分的分部积分法，也有计算定积分的分部积分法．

定积分的分部积分法

设函数

u=u(x)与

v=v(x)在区间

[a,b]上有连续导数

u

(x)，v

(x)，则(uv)

=u

v+uv

．上式两边取从

a到

b的积分，得到

即移项得(22.3)公式(22.3)称为定积分的分部积分公式．导数乘法公式定积分的分部积分法例7计算定积分

．

定积分的分部积分法例7计算定积分

．

解设

u=lnx，dv=xdx，则,.可得

注：计算熟练以后，变量的替换过程可以不写．

．

定积分的分部积分法例8计算定积分

．

定积分的分部积分法例8计算定积分

．

解由于

为偶函数，

为奇函数，所以．

定积分的分部积分法例9计算定积分

．

定积分的分部积分法例9计算定积分

．

解设

，则

x=t2，dx

=2tdt，当

x=0时，t

=0；当

x=

2时，t=

．于是．

定积分的分部积分法例10计算定积分