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文档简介

经济数学基础辅导第二讲顾静相1.2极限的概念教学要求

理解极限的定义,了解左、右极限的概念.函数的极限

定义1.9

设函数f(x)在(a为正常数)时有定义,如果当

x的绝对值无限增大时,函数

f(x)趋于一个常数

A,则称当

x→∞时函数

f(x)以

A为极限.记作

f(x)→

A

(x→∞).函数的极限

定义1.9′

设函数f(x)在x>a时有定义,如果当

x>0且无限增大时,函数

f(x)趋于一个常数

A,则称当

x→+∞时函数

f(x)以

A为极限.记作

f(x)→

A

(x→+∞).函数的极限

定义1.9″

设函数f(x)在x<

a时有定义,如果当

x<0且x的绝对值无限增大时,函数

f(x)趋于一个常数

A,则称当

x→-∞时函数

f(x)以

A为极限.记作

f(x)→

A

(x→-∞).函数的极限例1求.

函数的极限例1求.

解函数的图象如右图所示.当

x→+∞时,

无限变小,函数值趋于1;x→-∞

时,函数值同样趋于1,所以有

=1.

函数的极限

定义1.10

设函数y=f(x)在x0的某个邻域(点

x0本身可以除外)内有定义,如果当

x趋于x0(但x≠x0)时,函数

f(x)趋于一个常数

A,则称当

x趋于x0时,

f(x)以

A为极限.记作

f(x)→

A

(x→x0)

,亦称当

x→x0时,

f(x)的极限存在.否则称当

x→x0时,f(x)的极限不存在.左极限与右极限

定义1.11

设函数y=f(x)在x0右侧的某个邻域(点

x0本身可以除外)内有定义,如果当

x>x0趋于x0时,函数

f(x)趋于一个常数

A,那么称当

x趋于x0时,f(x)的右极限是

A.记作

f(x)→

A

.左极限与右极限设函数y=f(x)在x0左侧的某个邻域(点

x0本身可以除外)内有定义,如果当

x<x0趋于x0时,函数

f(x)趋于一个常数

A,那么称当

x趋于x0时,

f(x)的左极限是

A.记作

f(x)→

A

.极限存在的充分必要条件

定理1.1当

x→x0时,

f(x)以

A为极限的充分必要条件是

在点

x0处左、右极限存在且都等于A.即

.例2设试判断

是否存在.

左极限与右极限例2设试判断

是否存在.

解先分别求

f(x)当

x→1时的左、右极限:,左极限与右极限左、右极限各自存在且相等,所以

存在,且

.例3

判断

是否存在.

左极限与右极限例3

判断

是否存在.

左极限与右极限解当x→0+时,

,即

;当x→0-时,

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