经济数学基础（第六版）（上册）课件 第17讲4.3换元积分法

经济应用数学辅导第17讲顾静相4.3换元积分法教学要求

掌握计算不定积分的换元积分法．第一换元积分法

本讲介绍的换元积分法是把复合函数求导法则反过来用于不定积分，通过适当的变量替换(换元)，将某些不定积分化为基本积分表中所列的形式，再计算出最终结果．第一换元积分法

例

因为

，所以不定积分

．在教材中的基本积分表中没有“

”形式的公式，要计算这个积分必须另寻途径．第一换元积分法

例

因为

，所以不定积分

．在教材中的基本积分表中没有“

”形式的公式，要计算这个积分必须另寻途径．

因为

，所以

．第一换元积分法

一般地，若积分

不能直接用基本积分表中的公式计算，而被积表达式

可以表示成：

则通过变换

u=

(x)

将不定积分化为

，且

容易计算．第一换元积分法不妨设

，即

(17.1)u=

(x)利用公式(17.1)来计算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分法．第一换元积分法例1求不定积分

．第一换元积分法例1求不定积分

．解被积函数可以写成

，设

u=3-2x，则du=-2dx，即

．因此

再将u=3-2x

代入，得

．

第一换元积分法

由例1还可以看出：一般，对于不定积分

，总可以把dx凑为

，于是

，实际上，所做的变换是

u=ax+b，只是不写出这一步而已．第一换元积分法例2求不定积分

．第一换元积分法例2求不定积分

．解方法1

第一换元积分法例2求不定积分

．解方法1

方法2

第一换元积分法

方法1和方法2所得结果一样吗？由倍角公式其中

C1仍是任意常数．第一换元积分法

方法1和方法2所得结果一样吗？由倍角公式其中

C1仍是任意常数．

在求不定积分时，有时会遇到用不同方法求出的原函数是不同的结果，大家可以通过求导来验证所求结果是否正确．第一换元积分法例3求不定积分

．第一换元积分法例3求不定积分

．解

第一换元积分法例4求不定积分

．第一换元积分法例4求不定积分

．解

．第一换元积分法例4求不定积分

．解

类似地，有

．

．第一换元积分法例5求不定积分

．第一换元积分法例5求不定积分

．解

(利用例4的结果)

第一换元积分法例5求不定积分

．解

(利用例4的结果)

类似地，有

．第一换元积分法

为了熟练地掌握求积分的第一换元积分法，大家应该把教材146页中给出的用第一换元积分法时常用的凑微分方法记熟，并通过练习熟练掌握这些方法．第二换元积分法

用第一换元积分法能够求出许多不定积分，但如不定积分

却不能用第一换元积分法求解．因此，我们引入另一种积分法——第二换元积分法．第二换元积分法

用第一换元积分法能够求出许多不定积分，但如不定积分

却不能用第一换元积分法求解．因此，我们引入另一种积分法——第二换元积分法．

第一换元积分法是用中间变量

u

替代可微函数

(x)，而第二换元积分法是引入新变量

t，并选择代换

x

=

(t)，从而简化计算求出不定积分．第二换元积分法例如，设

x

=2sint，则

dx

=2costdt，于是有第二换元积分法例如，设

x

=2sint，则

dx

=2costdt，于是有再将

t

还原成

x

的函数，由

，sin2t=

，得．第二换元积分法

一般地，当不定积分

不易计算时，可设

x

=

(t)，则原积分化为

第二换元积分法

一般地，当不定积分

不易计算时，可设

x

=

(t)，则原积分化为

假如

(t)，

(t)都是连续函数，且

(t)

0，x

=

(t)的反函数

t=

-1(x)

存在且可导，并且有

则

．

(17.2)这类求不定积分的方法，称为第二换元法．第二换元积分法

被积函数含有二次根式

、

或其他根式形式的积分问题，常用第二换元积分法．第二换元积分法例6

求不定积分

(a>0)．第二换元积分法例6

求不定积分

(a>0)．解设

x=asint，则

dx

=acostdt，且

，于是有

．第二换元积分法例6

求不定积分

(a>0)．解……，

为了还原积分变量

x，由

x=asint

作直角三角形(见右图)，可知

，代入上式，得第二换元积分法例7

求不定积分

(a>0)．第二换元积分法例7

求不定积分

(a>0)．解设

x=asect，则

，且

，第二换元积分法例7

求不定积分

(a>0)．解设

x=asect，则

，且

，于是有

．第二换元积分法例7

求不定积分

(a>0)．解……，

为了还原积分变量

x，由

x=asect

作直角三角形如右图，可知

，代入上式，得第二换元积分法例8

求不定积分

(a>0)．第二换元积分法例8

求不定积分

(a>0)．解设

x=atant，则

，且

，第二换元积分法例8

求不定积分

(a>0)．解设

x=atant，则

，且

，于是有

(由15讲例5得)

第二换元积分法例8

求不定积分

(a>0)．解……于是有

(由15讲例5得)

第二换元积分法例8

求不定积分

(a>0)．解……，

为了还原积分变量

x，由x=atant

作直角三角形如右图，可知

，

，代入上式，得第二换元积分法例9