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2024-2025学年四川省成都市武侯区西川中学九年级（上）入学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.中国代表队在第33届巴黎奥运会中取得了40金27银24铜的傲人成绩，并在多个项目上获得了突破，以下奥运比赛项目图标中，不是中心对称图形的是(

)A.乒乓球 B.篮球 C.排球 D.冲浪2.不等式组的解在数轴上表示为(

)A. B. C. D.3.若分式的值为0，则x的值为(

)A. B.3 C.或3 D.0或34.下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是(

)A. B.

C. D.5.如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接BE，若，则的度数为(

)A.

B.

C.

D.6.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是(

)A. B.

C. D.7.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为(

)A.

B.

C.

D.8.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，下列条件不能判定四边形DEBF是平行四边形的是(

)A.

B.

C.

D.二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。9.因式分解：______.10.一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是______.11.如图，将周长为12的沿BC方向平移3个单位长度得，则四边形ABFD的周长为______.

12.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______.13.如图，在中，，，，点E，F分别为AB，AC中点，连接EF并延长，交的外角平分线于点M，则______.

14.已知，则代数式的值为______.15.若关于x的方程有增根，那么a的值为______.16.我们把关于x的一元二次方程和称为“同族二次方程”，若方程和是关于y的“同族二次方程”，则c的值为______.17.如图，在正方形ABCD中，将线段BC绕点B逆时针旋转度得到线段BE，作的角平分线交CE延长线于点F，若，，则正方形ABCD的面积为______.

18.如图，在中，，，，点D为AB边上一动点不与点A重合，以AD为边在AB上方作等边，过点D作，点P为垂线DF上任一点，点G为EP中点，连接CG，则CG的最小值为______.

三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.本小题12分

解方程：；

解方程：20.本小题8分

先化简：，再从，中选择一个合适的m值代入求值.21.本小题8分

如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，

在图中画出平面直角坐标系xOy，并标出坐标原点O；

将以点O为旋转中心逆时针旋转，请画出旋转后的图形；

将向下平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度得到，请画出平移后的图形，并直接写出线段的长度为______.22.本小题10分

如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中，E，F分别是AC，AB边上两点，连接现将纸片ACB的一角沿直线EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使

试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；

若，，求四边形AEMF的周长.23.本小题10分

如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴轴于A，B两点，点A的坐标为，，过点B的直线与x轴交于点

求直线l的解析式及点C的坐标；

点D是直线BC上一点，当的面积为3时，求点D的坐标；

点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由.

24.本小题8分

中秋节将至，某商店用8000元购进一批月饼礼盒，很快售完，于是商店又用20000元购进了第二批月饼礼盒，所购数量是第一批购进量的两倍，但每个礼盒的进价贵了20元.

第二批月饼礼盒每个的进价为多少元？

商店将第二批月饼礼盒的进价提高后售出，预计在中秋节前2天，第二批月饼礼盒有m盒没有售出，商店计划把没有售出的月饼礼盒打八折促销.经核算，剩余的月饼礼盒全部售完后，第二批月饼礼盒的总利润率仍不低于不考虑其他因素请求出m的最大值.25.本小题10分

我们把关于x的一次函数且m、n都不为与一次函数定义为交换函数.

根据交换函数的定义，一次函数的交换函数是______；

试说明一次函数与其交换函数的交点坐标为；

如图，若点是一次函数与其交换函数的交点，与y轴交于点A，点P为上一动点，当AP取得最小值时，求点P的坐标.26.本小题12分

【课本再现】

如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形与正方形ABCD的边长相等，AB与OA相交于点E，BC与OC相交于点F，连接在正方形绕点O旋转的过程中，始终有，请证明这个结论.

【迁移应用】

如图2，在中，，，点D是AB边的中点，E是射线AC上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F，连接

当点E在AC边上，点F在BC边上时，试探究线段AE，BF，EF之间的数量关系.并证明你的结论；

若，，设，，请直接写出y与x的关系.

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由各选项图形可知，不是中心对称图形的是D选项．

故选：

根据中心对称图形的定义可得答案．

本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．2.【答案】B

【解析】解：，

解不等式①，得，

解不等式②，得，

所以不等式组的解集是，

在数轴上表示为：

故选：

先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．

本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．3.【答案】A

【解析】解：由题可知，

且，

解得

故选：

分式的值为0：分子为0，分母不为

本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为这两个条件缺一不可．4.【答案】C

【解析】解：是分式，

选项A不符合题意；

不是整式乘积的形式，

选项B不符合题意；

，

选项C符合题意；

，

选项D不符合题意，

故选：

运用因式分解的定义进行逐一辨别、求解．

此题考查了因式分解的辨别能力，关键是能准确理解并运用因式分解的定义进行求解．5.【答案】B

【解析】解：将绕点A按逆时针方向旋转得到，

，，，

，

，

，

，

故选：

由旋转的性质求出，，，由等腰三角形的性质求出的度数，由平行线的性质可求出，则可求出答案．

本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．6.【答案】B

【解析】解：由题意可得，

，

故选：

根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决．

本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．7.【答案】B

【解析】解：由函数图象可知，

当时，一次函数的图象在一次函数图象的下方，即，

所以关于x的不等式的解集为：

故选：

根据所给函数图象，利用数形结合的数学思想即可解决问题．

本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及两条直线相交或平行问题，巧用数形结合的数学思想是解题的关键．8.【答案】B

【解析】解：由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，B不能证明对角线互相平分，只有A、C、D可以，

在平行四边形ABCD中，，，，，，，

，，

≌，≌，

，，，

四边形DEBF是平行四边形．

故选：

若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，B不能证明对角线互相平分，只有A、C、D可以．

本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．9.【答案】

【解析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取a，再利用平方差公式分解即可．

解：原式

，

故答案为：10.【答案】6

【解析】解：设这个多边形的边数为n，依题意，得：

，

解得

故答案为：

n边形的内角和可以表示成，外角和为，根据题意列方程求解．

本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数．11.【答案】18

【解析】解：沿BC方向平移3个单位得到，

，，

四边形ABFD的周长，

的周长，

，

四边形ABFD的周长

故答案为：

根据平移的性质可得，，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解．

本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．12.【答案】

【解析】解：关于x的方程有两个不相等的实数根，

，

即，

故答案为：

利用根的判别式进行计算，令即可得到关于k的不等式，解答即可．

本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式的关系：

方程有两个不相等的实数根；

方程有两个相等的实数根；

方程没有实数根．13.【答案】4

【解析】解：由勾股定理得，

，

在中，点E，F分别为AB，AC中点，

，，BF是直角三角形ABC斜边上的中线，

，

连接EF并延长，交的外角平分线于点M，

，

，

又平分，

，

，

，

故答案为：

根据勾股定理求出AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，根据三角形中位线的性质得出EF的长，根据结合CM平分推出，即可推出结果．

本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，角平分线的定义，熟记三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理是解题的关键．14.【答案】12

【解析】解：，

，

则原式

，

故答案为：

由已知等式得出，代入到原式计算可得答案．

本题主要考查代数式求值，解题的关键是掌握完全平方公式和整体代入思想的运用．15.【答案】0

【解析】解：去分母，得：，

由分式方程有增根，得到，即，

把代入整式方程，可得：

故答案为：

首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．

此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．16.【答案】

【解析】解：方程和是关于y的“同族二次方程”，

可表示为，

整理得，

，，

解得，

先利用新定义得到可表示为，整理得，所以，，然后先求出a的值，从而得到c的值．

本题考查了配方法的运用：灵活运用完全平方公式和正确理解题中的新定义是解决问题的关键．17.【答案】

【解析】解：如图，连接AE，过点F作，G为垂足．

根据题意，，，

，，

，，

∽，

，

，，

，，

，

和FG分别为和的角平分线，

，

，

在和中，，，，

≌

，BF为的角平分线，

为AE的中垂线，即A、E两点关于直线BF对称．

，

为等腰直角三角形，

由得：

故答案为：

连接AE，AF，过点F作，G为垂足．通过证明∽，然后结合FG为等腰的角平分线，得到，进而证明≌，进而得出，再通过证明为等腰直角三角形求出FE的长度，最后由相似三角形对应边成比例求出，即可求出正方形ABCD的面积．

本题考查了正方形的性质，图形的旋转，三角形相似和全等的判定和性质，轴对称图形，等腰直角三角形的性质等知识点．通过构造等腰直角三角形求出EC和FE的关系是解答本题的关键．18.【答案】18

【解析】解：如图，作直线AG，连接作于点

，

，

是EP的中点，

，

是等边三角形，

，

垂直平分线段DE，

，

，，，

，，

，

，

，

，

的最小值为

如图，作直线AG，连接作于点证明，求出CH，可得结论．

本题考查垂线段最短，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题．19.【答案】解：去分母得，

，

解得，

检验：当时，，则为原方程的增根，

所以原方程无解；

方程化为，

，，，

，

，

，

【解析】先把方程两边乘以，再解一元一次方程得到，然后进行检验确定原方程的据诶；

先把二次项系数化为正数系数，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．

本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了解分式方程．20.【答案】解：

，

或时，原分式无意义，

，

当时，原式

【解析】先通分括号内的式子，再算括号外的乘法，然后从，中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．

本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．21.【答案】

【解析】解：建立平面直角坐标系xOy如图所示．

如图，即为所求．

如图，即为所求．

由勾股定理得，

故答案为：

根据点A的坐标建立平面直角坐标系xOy即可．

根据旋转的性质作图即可．

根据平移的性质作图即可；利用勾股定理可得线段的长度．

本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．22.【答案】解：四边形AEMF形状为菱形．理由如下：

证明：根据折叠的性质，可知，且，

，

，

，

四边形AEMF为平行四边形．

又，

四边形AEMF为菱形．

，，

，，

，

又四边形AEMF为菱形，

四边形AEMF周长为：

故四边形AEMF周长为

【解析】由折叠的性质可得和，然后由推导出，进而得出，再通过邻边相等的平行四边形是菱形得出结论；

根据，求出FM和FB的比例关系，再由和，求出FM的长度即可解决问题．

本题考查了翻折变换，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，涉及到特殊角三角函数．熟悉平行四边形和菱形的定义和判定定理是解答本题的关键．23.【答案】解：，

，

，

，，

，

设直线l的解析式为，

在直线1上，

，

直线l的解析式为，

在直线上，

，

直线BC的解析式为

点C在x轴上，

令，则

；

过点D作于点E，如图，

，

，

，

，

，

，

，

，

的面积为3，

，

，

，

，，

，，

；

存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，Q点的坐标为或或或理由：

由题意：，，

，

①过点A作直线，当点Q在直线a上时，如图，

以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，

，

，；

②当以AB为一边时，如图，

以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，

，

③当以AB为一条对角线时，如图，

以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，

，，

设，

，

由勾股定理得：，

，

，

综上，存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，Q点的坐标为或或或

【解析】根据有一个角为的直角三角形的性质，求出OB，再利用待定系数法即可求解；

过点D作于点E，利用含角的直角三角形的性质求得，利用三角形的面积公式求得BD，则CD可求，再利用直角三角形的边角关系定理求得线段DE，OE，则结论可求；

利用分类讨论的思想方法画出符合题意的图形，再利用菱形的性质解答即可．

本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，菱形的性质，分类讨论的思想方法．利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键．24.【答案】解：设第二批月饼礼盒每个的进价为x元，则第一批月饼礼盒每个的进价为元，

依题意得：，

解得：，

经检验，是所列方程的解，且符合题意．

答：第二批月饼礼盒每个的进价为100元；

第二批购进月饼礼盒的数量为盒，

依题意得：，

解得：，

又为整数，

的最大值为

答：m的最大值是

【解析】设第二批月饼礼盒每个的进价为x元，则第一批月饼礼盒每个的进价为元，利用数量=总价单价，结合第二批所购数量是第一批购进量的两倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

利用数量=总价单价，可求出第二批购进月饼礼盒的数量，利用总利润=销售单价销售数量-进货总价，结合第二批月饼礼盒的总利润率不低于，可列出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25.【答案】

【解析】解：根据交