+浙江省杭州外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷+

2024-2025学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在中，，，，那么等于(

)A. B. C. D.2.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了如图，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是(

)A.①

B.②

C.③

D.④3.如图，点A、D、G、M在半上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形．设，，，则下列各式中正确的是(

)A.

B.

C.

D.4.如图，在中，，，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是(

)

A. B.BD平分

C. D.点D为线段AC的黄金分割点5.已知二次函数的y与x的部分对应值如表：x…013…y…131…则下列判断中正确的是(

)A.抛物线开口向上

B.抛物线与y轴交于负半轴

C.当时，

D.方程的正根在3与4之间6.二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和(

)A.大于0

B.等于0

C.小于0

D.不能确定7.如图，直径为10的上经过点和点，B是y轴右侧优弧上一点，则的余弦值为(

)

A. B. C. D.8.如图，在半径为1的中，直径AB把分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点与点A、B不重合，过点C作弦，垂足为E，的平分线交于点P，设，，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是(

)

A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。9.分解因式：______.10.如图，线段，于点A，于点B，，，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为______.11.如图，在扇形OAB中，，点C是上的一个动点不与A，B重合，，，垂足分别为D，若，则扇形OAB的面积为______.

12.已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：

①，

②，

③，

④，，

⑤正确的序号是______.

三、解答题：本题共4小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。13.本小题10分

计算：；

解分式方程：14.本小题10分

如图，四边形ABCD中，AC平分，，E为AB的中点，连接CE，

求证：；

若，，求的值.15.本小题14分

已知、、、、五个点，抛物线经过其中的三个点.

求证：C、E两点不可能同时在抛物线上；

点A在抛物线上吗？为什么？

求a和k的值.16.本小题8分

如图，在矩形ABCD中，是大于0的常数，，E为线段BC上的动点不与B、C重合连接DE，作，EF与射线BA交于点F，设，

求y关于x的函数关系式；

若，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

若，要使为等腰三角形，m的值应为多少？

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：，

，

是直角三角形，，

，

故选：

根据中，，，可利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，再根据正弦的定义可得答案．

此题主要考查了勾股定理逆定理，解直角三角形，关键是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．2.【答案】A

【解析】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．

故选：

利用段完整的弧结合垂径定理确定圆心即可．

本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．3.【答案】D

【解析】解：连接OM、OD、OA、根据矩形的对角线相等，得，，再根据同圆的半径相等，得

故选

本题主要根据矩形的性质以及垂径定理进行做题．

此题主要能够根据矩形的对角线相等把线段进行转换，根据同圆的半径相等即可证明．4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，黄金分割点，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．

求出的度数即可判断A；求出和的度数，求出的度数，即可判断B；根据三角形面积即可判断C；求出∽，得出，求出，即可判断

【解答】

解：A、，，

，

，正确，

B、是AB垂直平分线，

，

，

，

是的角平分线，正确，

C，根据已知不能推出的面积和面积相等，错误，

D、，，

∽，

，

，

，，

，

，

，

，

，

即点D是AC的黄金分割点，正确，

故选：5.【答案】D

【解析】解：由图表可得，

该函数的对称轴是直线，有最大值，

抛物线开口向下，故选项A错误，

抛物线与y轴的交点为，故选项B错误，

和时的函数值相等，则时，，故选项C错误，

方程的正根在3与4之间，故选项D正确，

故选：

根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．

本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．6.【答案】A

【解析】解：设的两根为，，

由二次函数的图象可知，，

设方程的两根为m，n，则，

，

，

故选

设的两根为，，由二次函数的图象可知，，设方程的两根为m，n再根据根与系数的关系即可得出结论．

本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．7.【答案】C

【解析】解：如图，连接CA并延长交与点D，连接OD，

同弧所对的圆周角相等，

，

是的直径，

，

，

，

，

，

即的余弦值为

故选：

首先根据圆周角定理，判断出；然后根据CD是的直径，判断出，在中，用OD的长度除以CD的长度，求出的余弦值为多少，进而判断出的余弦值为多少即可．

此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

此题还考查了锐角三角函数值的求法，要熟练掌握．8.【答案】A

【解析】解：连接OP，

，

，，

，

故选：

连接OP，根据条件可判断出，即AP是定值，与x的大小无关，所以函数图象是平行于x轴的线段．要注意CE的长度是小于1而大于0的．

解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．9.【答案】

【解析】解：原式

，

故答案为：

原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

此题考查了因式分解-提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．10.【答案】1或3或

【解析】解：设

以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，

①当时，，解得

②当时，，解得或，

当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，

故答案为1或3或

分两种情形构建方程求解即可．

本题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．11.【答案】

【解析】解：连接AB，

，，

、E分别为BC、AC的中点，

为的中位线，

又在中，，，

，

扇形OAB的面积为：

故答案是：

连接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，利用垂径定理得到D、E分别为BC、AC的中点，即ED为三角形ABC的中位线，即可求出AB的长．利用勾股定理、，且，可以求得该扇形的半径．

此题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算以及三角形的中位线定理，熟练掌握定理是解本题的关键．12.【答案】④⑤

【解析】解：抛物线开口向下，

，

抛物线对称轴为直线，

，

，②错误．

抛物线与y轴交点在x轴上方，

，

，①错误．

由图象可得时，，

③错误．

由图象可得时，为最大值，

，即，④正确．

时，，抛物线对称轴为直线，

时，，

，

，

，

，⑤正确．

故答案为：④⑤．

由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．13.【答案】解：

；

，

方程可化为，

方程两边同乘，得，

解得，，

检验：当时，，所以不是分式方程的解；

当时，，所以是分式方程的解；

所以原分式方程的解是

【解析】先根据有理数的乘方、算术平方根、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可；

分式方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可．

本题考查了解分式方程，实数的运算，熟练掌握运算法则以及解分式方程的步骤是解题的关键．14.【答案】证明：平分，

，

，

∽，

：：AB，

；

解：，E为AB中点，

，

，

平分，

，

，

，

∽，

：：CF，

，

，

，

【解析】由AC平分，，可证得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，证得；

易证得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．

此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．15.【答案】解：抛物线的对称轴为，

而，两点纵坐标相等，

由抛物线的对称性可知，C、E关于直线对称，

又与对称轴相距2，与对称轴相距3，

、E两点不可能同时在抛物线上；

假设点在抛物线上，

则，解得，

因为抛物线经过5个点中的三个点，

将、、、代入，

得出a的值分别为，，，，

所以抛物线经过的点是B，D，

又因为，与矛盾，

所以假设不成立．

所以A不在抛物线上；

由题意，抛物线可能经过BCD或者BDE，

将、两点坐标代入中，得

，

解得，

，

在抛物线上．

或将E、D两点坐标代入中，得

，

解得，

，

在抛物线上．

综上所述，或

【解析】由抛物线可知，抛物线对称轴为，而，两点纵坐标相等，应该关于直线对称，但与对称轴相距2，与对称轴相距3，故不可能；

假设A点在抛物线上，得出矛盾排除A点在抛物线上；

、D两点关于对称轴对称，一定在抛物线上，另外一点可能是C点或E点，分别将C、D或D、E两点坐标代入求a和k的值．

本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是明确图象上点的坐标必须满足函数解析式．16.【