上海市桃浦中学2025届高三上学期阶段性评估（9月）数学试卷

桃浦中学高三数学阶段性评估（9月）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合，，则__________．2．不等式的解集是__________．3．数列1，5，9，13，…的一个通项公式可能是__________．4．函数的最大值等于__________．5．函数的最小正周期为__________．6．若复数z满足（i是虚数单位），则__________．7．直线，，则直线与的夹角为＝__________．8．的二项展开式中的常数项是__________(用数值作答)．9．圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为，半径为，则该圆锥的体积等于__________．10．从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有__________种．（结果用数值表示）11．在中，，且在方向上的数量投影是，则的最小值为__________．12．设，函数的图像与直线有四个交点，且这些交点的横坐标分别为，，，，则的取值范围为__________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．已知，．若是的必要非充分条件，则实数a的取值范围是（）．A． B． C． D．14．某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（）人．A．16 B．18 C．20 D．2415．已知，且，则的值为（）．A． B． C． D．16．已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“集合”．给出下列4个集合：① ②③ ④其中所有“集合”的序号是（）．A．②③ B．③④ C．①②④ D．①③④三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设，．（1）若，试判断集合A与集合B的关系；（2）若，求实数a组成的集合C．18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，E是PC的中点，已知，，求：.（1）的面积；（2）异面直线BC与AE所成角的大小．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，向量，，且．（1）求角B；（2）若，求的面积的最大值．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）已知椭圆，、、、这四点中恰有三点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）点E是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值；（3）过的直线l交椭圆C于A、B两点，设直线l的斜率，在x轴上是否存在一点，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数．（1）求函数的定义域D，并判断的奇偶性；（2）如果当时，的值域是，求a与t的值；（3）对任意的，，是否存在，使得，若存在，求出；若不存在，请说明理由．

桃浦中学高三数学阶段性评估（9月）参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1． 2．3． 4．45． 6． 7． 8．30039． 10．96 11． 12．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．B14．A15．C16．A本大题共有5题17．解：（1）由得或，所以．（2分）若，得，即，所以，（4分）故．（6分）（2）因为，又．①当时，则方程无解，则；（9分）②当时，则，由，得，所以或，即或，（13分）故集合．（14分）18．解：（1）∵平面ABCD，∴，由平面PAD，（3分）∴．又∵在中，，（5分）∴．（7分）（2）连接．∵，∴就是异面直线BC与AE所成的角或其补角，（9分）在中，，在中，．∵E是PC的中点，∴，同理可求得．（11分）在中，，∴，（13分）∴异面直线BC与AE所成的角的大小为．（4分）19．解：（1）∵，∴，（2分），，（4分）又，∴，∴，∴．（6分）（2）∵，，∴，即，（9分）∴，即，当且仅当时等号成立．（11分），当时，．（14分）20．（1）Q，M关于x轴对称，则椭圆C过）Q，M点．又由可得点P不在椭圆C上，故椭圆C过Q，M，N这三点，（2分）代入得，解得，所以椭圆C的方程为．（4分）（2）直线MN的方程为．（5分）设与椭圆C相切，联立得，求得（舍正），（7分）直线l，的距离，（8分）又，所以面积的最大值是．（9分）另解：（参数法）设点E的坐标为，，（5分）直线MN的方程为，（6分）则点E到直线MN的距离，（8分）所以面积的最大值是．（9分）（3）设，与椭圆方程联立，得．（10分）设，，由韦达定理得，，（11分）由DA，DB为邻边的平行四边形为菱形得，AB的一个方向向量是，即，，（14分）故．由题知，则，（15分）所以存在时，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形．（16分）21．解：（1）令，解得，，（2分）对任意，，所以函数是奇函数．（4分）（2）由知，函数在上单调递减，因为，所以在上是增函数．（6