高考数学 1-2-1距离问题课后强化作业 新人教A版必修5

【成才之路】-学年高考数学1-2-1距离问题课后强化作业新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akm B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm[答案]B[解析]∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝eq\r(3)a(km)．2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10nmlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时()A．5nmlie B．5eq\r(3)nmlieC．10nmlie D．10eq\r(3)nmlie[答案]C[解析]如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴这艘船的速度是eq\f(5,0.5)＝10(nmlie/h)．3．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300m和500m，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为()A．500m B．600mC．700m D．800m[答案]C[解析]根据题意画出图形如图．在△ABC中，BC＝500，AC＝300，∠ACB＝120°，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC＝3002＋5002－2×300×500×(－eq\f(1,2))＝490000，∴AB＝700(m)．4．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为()A．10km B.eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km[答案]D[解析]在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝100＋400－2×10×20cos120°＝100＋400－2×10×20×(－eq\f(1,2))＝700，∴AC＝10eq\r(7)，即A、C两地的距离为10eq\r(7)km.5．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A、B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120m由此可得河宽为(精确到1m)()A．170m B．98mC．95m D．86m[答案]C[解析]在△ABC中，AB＝120，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝eq\f(120sin45°,sin60°)＝40eq\r(6).设△ABC中，AB边上的高为h，则h即为河宽，∴h＝BC·sin∠CBA＝40eq\r(6)×sin75°≈95(m)6．某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的()A．北偏西35° B．北偏东55°C．南偏西35° D．南偏西55°[答案]D[解析]根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°.所以B在A的南偏西55°.故应选D.二、填空题7．一船以24km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是______km.(精确到0.1km)[答案]5.2[解析]作出示意图如图．由题意知，则AB＝24×eq\f(15,60)＝6，∠ASB＝35°，由正弦定理eq\f(6,sin35°)＝eq\f(BS,sin30°)，可得BS≈5.2(km)．8．已知船在A处测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔C，船以每小时30nmile的速度向东南方向航行半小时后到达B点，在B处看到灯塔在船的正西方向，问这时船和灯塔相距________nmile.[答案]eq\f(5\r(6)\r(3)－1,2)[解析]如图，∠CAB＝45°－30°＝15°，∠ACB＝180°－60°＝120°，AB＝30×eq\f(1,2)＝15，∴BC＝eq\f(AB×sin∠CAB,sin∠ACB)＝eq\f(15×sin15°,sin120°)，∵sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，∴BC＝eq\f(5\r(6),2)(eq\r(3)－1)(nmile)．三、解答题9．如图，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在河的这边测得CD＝eq\f(\r(3),2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．[解析]∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，AC＝DC＝eq\f(\r(3),2).在△BCD中，∠DBC＝45°，∴eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(DC,sin45°)，∴BC＝eq\f(\r(6),4).在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos45°＝eq\f(3,4)＋eq\f(3,8)－2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8)，∴AB＝eq\f(\r(6),4).∴A、B两点间距离为eq\f(\r(6),4)km.能力提升一、选择题1．某工程中要将一长为100m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长()A．100eq\r(2)m B．100eq\r(3)mC．50(eq\r(2)＋eq\r(6))m D．200m[答案]A[解析]如图，由条件知，AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)＝25(eq\r(6)＋eq\r(2))，CD＝100cos75°＝25(eq\r(6)－eq\r(2))，BD＝eq\f(AD,tan30°)＝eq\f(25\r(6)＋\r(2),\f(\r(3),3))＝25(3eq\r(2)＋eq\r(6))．∴BC＝BD－CD＝25(3eq\r(2)＋eq\r(6))－25(eq\r(6)－eq\r(2))＝100eq\r(2)(m)．2．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为eq\r(3)km，则A、B两船的距离为()A．2eq\r(3)km B．3eq\r(2)kmC.eq\r(15)km D.eq\r(13)km[答案]D[解析]如图可知∠ACB＝85°＋(90°－25°)＝150°，AC＝2，BC＝eq\r(3)，∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC∴AB＝eq\r(13).3．如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳个场馆B、C的俯角分别为α、β，此时气球的高度为h，则两个场馆B、C间的距离为()A.eq\f(hsinαsinβ,sinα－β) B.eq\f(hsinβ－α,sinαsinβ)C.eq\f(hsinα,sinβsinα－β) D.eq\f(hsinβ,sinαsinα－β)[答案]B[解析]在Rt△ADC中，AC＝eq\f(h,sinβ)，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝eq\f(ACsinβ－α,sinα)＝eq\f(hsinβ－α,sinαsinβ).4．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是()A.eq\f(150,7)min B.eq\f(15,7)hC．21.5min D．2.15h[答案]A[解析]当时间t<2.5h时，如图．∠CBD＝120°，BD＝10－4t，BC＝6t.在△BCD中，利用余弦定理，得CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.当t＝eq\f(20,2×28)＝eq\f(5,14)(h)，即eq\f(150,7)min时，CD2最小，即CD最小为eq\r(\f(675,7)).当t≥2.5h时，CF＝15×eq\f(\r(3),2)，CF2＝eq\f(675,4)>CD2，故距离最近时，t<2.5h，即t＝eq\f(150,7)min.二、填空题5．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90nmile.此时海盗船距观测站10eq\r(7)nmile,20min后测得海盗船距观测站20nmlie，再过________min，海盗船到达商船．[答案]eq\f(40,3)[解析]如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处，20min后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝10eq\r(7)，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋CD2－AC2,2AD×CD)＝eq\f(400＋900－700,2×20×30)＝eq\f(1,2).∴∠ADC＝60°，在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，∴BD＝AD＝20，eq\f(20,90)×60＝eq\f(40,3)(min)．6.如图，一艘船上午800在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午830到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距4eq\r(2)nmile，则此船的航行速度是________nmile/h.[答案]16[解析]在△ABS中，∠A＝30°，∠ABS＝105°，∴∠ASB＝45°，∵BS＝4eq\r(2)，eq\f(BS,sinA)＝eq\f(AB,sin∠ASB)，∴AB＝eq\f(BS·sin∠ASB,sinA)＝eq\f(4\r(2)×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝8，∵上午800在A地，830在B地，∴航行0.5小时的路程为8nmile，∴此船的航速为16nmile/h.三、解答题7．如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6000m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)[分析]由于∠ADC＝75°，∠BDC＝15°，∴∠ADB为直角．题中有多个三角形而抓住△ABD为Rt△作为突破口可简化计算．[解析]在△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝eq\f(CD·sin45°,sin60°)＝eq\f(\r(6),3)CD.在△BCD中，∠CBD＝135°，BD＝eq\f(CD·sin30°,sin135°)＝eq\f(\r(2),2)CD，∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\f(\r(42),6)CD＝1000eq\r(42)(m)．8．海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为12eq\r(6)nmile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8eq\r(3)nmile；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离．[解析]由题意，画出示意图，如图所示．(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，则B＝45°.由正弦定理，得AD＝eq\f(ABsin45°,sin60°)＝24(nmile)(2)在△ADC中，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD×ACcos30°＝242＋(8eq\r(3))2－2×24×8eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝(8eq\r(3))