四川省新高考联盟校级2025届高三九月适应考数学试题（解析版）

高三数学试题A.p和q都是真命题B.¬p和q都是真命题C.p和¬q都是真命题D.¬p和¬q都是真命题【答案】A【解析】【分析】依次判断两个命题的真假，即可求解.【详解】对于命题p，当x≤0时，≤0<1，当x>0时，所以命题p是真命题；对于命题q，当x=时，<x2=所以命题q是真命题；A.【答案】C【解析】【分析】根据题意=λ=(−4λ,3λ),λ∈R，根据模长公式以及数量积的坐标运算求解即可.【详解】由题意可知：向量与向量共线，=(−4,3)，可设=λ=(−4λ,3λ),λ∈则3λ=−λ>0，解得λ<0，综上所述：λ=−2，=(8,−6).3.在空间四边形ABCD中，E,F分别为边AB,AD上的点，且AE:EB=AF:FD=1:4，又H,G分别为BC,CD的中点，则()A.BD//平面EFG，且四边形EFGH是矩形B.EF//平面BCD，且四边形EFGH是梯形C.HG//平面ABD，且四边形EFGH是菱形D.EH//平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形【答案】B【解析】【分析】根据比值关系，利用线面平行判定定理证明EF//平面BCD，然后证明EF,HG平行且不相等即可.【详解】如图所示，在平面ABD内，AE:EB=AF:FD=1:4，:EF//BD，又BD⊂平面BCD，EF丈平面BCD，:EF//平面BCD.H,G分别是BC,CD的中点，:HG//BD,:HG//EF.:EF≠HG．在四边形EFGH中，EF//HG且EF≠HG，:四边形EFGH为梯形.4.若点P在曲线y=x3−3x上移动，经过点P的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是()【答案】D【解析】【分析】先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角范围即可.)=2x−≥−「τ)「2τ)「τ)「2τ)5.已知复数z1=1−2i，复数z满足iz+z1=2，则()A.z11=2+iC.5−2≤z≤5+2D.复数z在复平面内所对应的点为Z(x,y)，则(x+1)2+(y−2)2=2【答案】C 根据复数的几何意义求复数z1在复平面内所对应的点的坐标，判断B，根据复数的模的几何意义确定复数z所对应的点的轨迹，由此判断C，结合复数的模的公式，由条件求点Z的轨迹方程，判断D.由z+z1=2知z对应的点在以−z1对应点(−1,2又z1=5，因此5−2≤z≤5+2，C正确；6.用数字0，1，2，3，4，5组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为()【答案】B【解析】【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是0和不是0进行分类;个位不是0时要注意选中的数有0和不是0情况求解.如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以【答案】A【解析】【分析】根据已知条件化简归纳通项公式即可求参.【详解】A1====n+1,A2====n+3,A====n+5,…所以n=1806.tanα=则下列结论不正确的是()C.tanD.tanβ=−3【答案】C【解析】【详解】因为tanα=3，所以sinα=3，因为角α是锐角，角β是第四象限角，4cosα4sinα>0,cosα>0,sinβ<0,cosβ>0，因为sin2α+cos2α=1，解得sinα=，cosα=因为3sinα−sinβ=24，所以9−sinβ=24，解得sinβ=−310， 因为3cosα+cosβ=17，所以12+cosβ=17，解得cosβ=10，9.已知随机变量X满足：X~B(4,p),0<p<1,E(X)=D(X)，则()【答案】BCD【解析】【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式列方程求出p，然后根据期望性质和方差性质依次判断即可.对A，因为X~B，所以=4p，解得p=，故A错误；10.下列函数中最小值为4的是()A.y=lnx+B.y=2x+22−x【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.【详解】对于A：当lnx<0时，y=lnx+故A错误；=4，当且仅当2x=22−x，即x=1时取等号，故B正确；对于C：令t=sinx，则0<t≤1，y=4t+当且仅当t=时取等号，而0<t≤1，11.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，A.开口向上的抛物线的方程为C.直线x+y=t截第一象限花瓣的弦长最大值为【答案】ABD【解析】求出点A,B的坐标，即得；对于C，将直点线与抛物线方程联立求积，即可对阴影部分面积大小进行判断.【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为C:y2=2x，顶点在原点，焦点为F1(,0),将其逆时针旋转90。后得到的抛物线开口向上，焦点为则其方程为x2=2y，即故对于B，根据A项分析，由可解得，x=0或x=2，即xA=2，代入可得yA=2，由图象对称性，可得A(2,2),B(2,−2),故AB=4，即B正确；如图，设直线x+y=t与第一象限花瓣分别交于点M,N,由图知，直线x+y=t经过点A时t取最大值4，经过点O时t取最小值0，代入得，|MN|=+2−2u|=2−1|1<u≤3）对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值.在抛物线上取一点P，使过点P的切线与直线OA平行，于是S□OPA=【点睛】思路点睛：本题主要考查曲线与方程的联系的应用问题，属于难题.情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解.Sn，且S7=−7，a4+a6=−3．记bn=an，则数列{bn}的前10项的和.【解析】【详解】由S7=−7，可得7a4=−7，解得a4=−1，又a4+a6=−3，得2a5=−3，解得a5=−,所以数列{an}的公差为d=−,:an=1−n，又bn=an，故答案为：−15.13.在△ABC中，点D在BC边上，BC=2,∠BAD=∠CAD,AB.AC=AD.AB+AC.AD，则 【解析】【分析】设∠BAC=2θ,则由题以及正弦定理形式的面积公式结合S□ABC=S□ABD+S□ADC可得sin2θ=sinθ,进而可求出θ,再由即可得解.【详解】设∠BAC=2θ,则∠BAD=∠CAD=θ,由S□ABC=S□ABD+S□ADC，得1AB.ACsin2θ=1AD.A又AB.AC=AD.AB+AC.AD，所以sin2θ=sinθ,即2sinθcosθ=sinθ,又0<2θ<τ,所以0<θ<，所以sinθ>0，则cosθ=所以所以∠BAC=2θ=则△ABC外接圆的半径为【点睛】关键点睛：根据已知条件∠BAD=∠CAD,AB.AC=AD.AB+AC.AD的结构特征可知解决本题的关键是利用S□ABC=S□ABD+□ADC即AB.ACsin2θ=AD.ABsinθ+AD.ACsinθ求出∠BAC.也．甍，屋盖也．”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的字面意思为茅屋屋顶．如图所示，现有刍甍ABCDEF，所有顶点都在球O的球面上，球心O在矩形ABCD所在的平面内，AB=4，BC=2，该刍甍的体积最大时，EF=，体积的最大值为 【解析】三棱柱与三棱锥体积的差表示出刍甍的体积，利用导数求最大值即可.【详解】连接AC,BD交于点O，取EF中点M,连接OE,OF,OM,补几何体为直三棱柱LAD−KBC，因为顶点都在球O的球面上，球心O在矩形ABCD所在的平面内，故球心为AC,BD的交点O,故设EF=2x，则Rt□OEM中，OM==R=R2−x266−x2（0<x<设刍甍的体积为V，则V=VLAD−KBC−VF−BCK−VE−ADL, 令f(x)=(6−x2)(x+4)2=−x4−8x3−10x2+48x+96,0<x<6，f3−24x2−20x+48，令h(x)=−4x3−24x2−20x+48，则h′(x)=−12x2 当0<x<6时，h′(x)<0，故h(x)单调递减，令h(x)=0解得x=1，所以当0<x<1时，h(x)>0，即f′(x)>0 当1<x<6时，h(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减，故当x=1,EF=2时，f(x)max=f(1)=125，【点睛】关键点点睛：利用补形的方法，将几何体补形为直三棱柱，根据三棱柱与棱锥的体积差求出刍甍的体积，是解题的关键，同时注意利用导数求函数的最大值也是解题的一个15.算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工A=“表示的三位数能被5整除”，B=“表示的三位数能被3整除”.（2）求事件AUB、A∩B的概率.【解析】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，三位数的个数是23=而这些数中个位数是5的数的个数为22=4，所以事件A发生的概率所以事件B发生的概率【小问2详解】 16.如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=32，PA=PB=PC=AC=6，点O是AC的中（2）点M在棱BC上，且求直线PC与平面PAM所成角的大小.（2）θ=arcsin【解析】 PO=33为高的圆锥，求出体积即可；（2）建立空间直角坐标系，求出直线PC与平面PAM所成角的正弦值，再把角用反三角的形式表示出来由PA=PB=PC=AC=6，所以AB2+BC2=AC2，所以∠ABC=所以OB=3，又因为PA=PC=AC=6，点O是AC的中点，−32所以PO2+OB2=PB2，所以PO丄OB，且AC∩OB=O，所以PO丄平面ABC，所以△POB绕PO旋转一周形成的几何体 为以OB=3为底面圆半径，以PO=33为高的圆锥，2 如图：由上可知：PO丄平面ABC，又AB=BC=32，PA=PB=PC=AC=6，所以AB2+BC2=AC2，所以∠ABC=，△ABC为等腰直角三角形，以O为坐标原点，以OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角P0,3,−30,3,3则{即{令y=3，则x=−23,z=−1，则{即{令y=3，则x=−23,z=−1，所以=−2,−1，设直线PC与平面PAM所成角为所以sinθ=所以θ=arcsin（1）若不等式f(x)<0的解集为∅,求m的取值范围；（2）当m>−2时，解不等式f(x)2−x+1恒成立，求m的取值范围.（2）答案见解析【解析】（2）当m>-2时，f(x)≥m，即(m+1)x2-mx+m-1≥m，因式分解，对m进行讨论，可得解集；当m=−1时，由f(x)<0，得到x−2<0，所以x<2，不合题意，x)<0，得到解得所以实数m的取值范围为当m>−2时，f(x)≥m，即(m+1)x2−mx+m−1≥m，可得[(m+1)x+1](x−1)≥0，因为m>−2，①当m+1=0时，即m=−1，不等式的解集为{x|x≥1}②当−2<m<−1时，因为③当m>−1时，≥0．又−<0<1，所以不等式的解集为{x|x≤−或x≥1},综上：m=−1，不等式的解集为{x|x≥1}，当−2<m<−1时，不等式的解集为当m>−1时，不等式的解集为{x|x≤−或x≥1}.由题对任意x∈[−1,1]，不等式(m+1)x2−mx+m−1≥x2−x+1恒成立.即m可得，设t=2−x，则1≤t≤3，所以x=2−t，因为t+≥2，当且仅当t=·i3是取等号.+，x1=1.（1）求x2；2（2）求xn+1与xn的关系式；2xn+1（3）证明：x+x+x+…xn+1≤4n2+1.xn+1−Xn=（3）证明见解析【解析】（2）根据垂直向量的坐标表示和模长公式列出方程组，解方程即可得出答案.（3）要证x+x+x+…+x+1≤4n2+1等价于证明x+x+…+x+1≤4n2，先证明x+1≤8n−4，PP2=APPP2=AP得x2−x1=，所以x2=2.将①代入②得:2xn+1要证x+x+x+…+x+1≤4n2+1等价于证明x+x+…2xn+1当n≥2时，≤4n2，=2−) ⇒xn+1≤8n+8−2 n+1⇒x2≤8n+8+4−48n+8≤8n−4n+1⇒x+x+…+x+1≤4(1+3+…+(2n−1))=4n2，:x+x+…+x+1≤4n2，:x+x+x+…+x+1≤4n2+1.2xn+1【点睛】关键点点睛：本题（3）的关键点在于将题意转化为证明x+x+…+明x+1≤8n−42xn+1≤4n2，先由放缩法证θ角得到向量-P-→=(xcosθ−ysinθ,xsinθ−,2，把点B绕点A逆