2020-2021学年数学新教材第一册 45 函数的应用（二） 教案 含答案

第五幸函教的应用（二）

4o5o3翦数模型的应用

教材分析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书教学必修1本（A

版J》的第五章的4。5.3的教模型的应用。函数模型及其应用是

中学重要内余之一，又是教学与生活实践相互衔接的枢纽，特别

在应用意识口叁加深的今天，舀数模型的应用实质是揭示了客

现世界中量的相互依存有互有制约的关系，因而函数模型的应

用举例有着不可誉代的重要位置，又有重要的现实意义。

本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型将决实

际问题，并对给定的函数模型遂行简单的分析评价，发展学生教

学建模、教学直观、教学抽象、逻辑推理的核心素养。

教学目标与核心素养

课程q标学科素养

lo能建立函数模型解决ao教学抽象：由实际问题

实际问题、建立困教模型；

2o了将拟合函数模型并

b.il帮推理:选择合适的函

解决实际问题、

教模型；

3.通过本节内家的学习，

使学生认识函数模型的Co教学运算：运用函数模

作用，提高学生教学建型解决实际问题；

模，数据分析的能力.d.直观想象:运用函数图像

分折问题；

eo数学建模：由实际问题建

立的模型；

f.数据分析:通过数据分析

对应的函数模型；

教学重难点

教学过程设讨意

教学重点：

图

利用给定

核心教

的身教模

学素养

型或建立

确定性函

教模型解决实际问题、

教学唯点：利用给定的函数模型或建立确定性的数模型解决实

际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价、

课前段备

多媒体

教学过程

目标

(一)创设问题情境

通过对

1、常见函数模型

常见函

⑴一次

y=kx+b（k,b为暗教模型

的数模

的回顾，

教，存0）

型

提出新

(2)二

y=ax1+bx+c（a,b,c为的问题，

次函教

常常教，存0）提出运

模拟用函教

用

(3)指

函y=bax+c（a,b,c为常数,模型分

教函教析解决

教厚0,〃>0且存1）

模型实际问

模

(4)对教题，培养

型y-mlog«x+n（m,a.n为

的数模和发展

常教,m#056z>0且存1）

型数据分

(5)奉

y=6+b（a.b为常教，析、教学

的数模建模和

。#0）

型教学抽

2o建立函数模型斛决问题的基本过程象、直观

想象的

核心素

收集数据

画散点图

型I

用函数模型解释实际问题

（二）问题探究

我们知道,函数是描述客观世界变化规

律的教学模型，不同的变化规律需要用

不同的函数模型来刻画、面临一个实际

问题，该如何选择恰当的法教模型来刻

画它呢?

典例解析

例3.人。问题是当今世界各国普遍关注

通过

的问题.认识人。数量的变化规律，

对具体

可以为制定一系列相关政策提供依

问题的

据、早在1978年，美国经济学家马

分析建

东萨斯（T.RoMalthas,1766-1834J

模，解模

就提出了自然状志下的人口增长模型

的过程，

y=y。/，其中t表示经过的时间，火表

发展学

示t=0时的人口数，i•表示人口的年

生教学

平均增长率、下表是1950~1959年我

建模、教

国的人。数据咨料据分析、

逐辑推

年份195019521953195419551956

19511957理，直观

人口数/万551965630057482587966026661456628286456：想象、教

(1J如果以各年人口增长率的平均值作学抽象、

为我国这一时期的人。增长率(精确到教学运

0.0001算等核

用马东萨斯人。增长模型建立我国在这心素养；

一时期的具体人口增长模型，并检验所

得模型与实

际人。数据是否相符；

(2)如果按上表的增长趋势,那么

大约在哪一年我国的人口数达到13

亿？

分析：用马东萨斯人口增长模型建立具

体人口增长模型，就是要确定其中的初

始量

尢和年平均增长率八

斛：(1)设1951~1959年我国各年的

人口增长率分别为rltr2,...,r9»由

55196(1+6)=56300,

可得1951年的人口增长率7c0。0200、

同理可得，后0.0210,小0.0229,

行0.0250,r5-0o0197,后0。0223,r尸0。

0276,r尸0.0222,伪=0。0154.

于是,1951—1959年期间，我国人

口的年平均增长率为:r-(r1什2+,,%)+9-0.0221

令行55196,则我国在1950〜1959年期

间的人口增长模型为y=55196e00221t,t€N、

根据表中的数据画出散点图，并画出

函数y=55196〃。221，(t€N)

y

70000

65000-

60000

55000

50000I

0(I23456789~x

的图象由图可以看出，所得模型与通过

1950〜1959年的实际人口数据基本吻对具体

问题的

合、

事实上，我国1989年的人口数为分析建

11.27亿，直到2005年才突破13模，解模

亿、对由的过程，

函数模型所得的结果与实际情况不符，发展学

你有何看法?生教学

因为人口基数较大，人口增长过建模、教

快，与我国经济发展水平产生了较大矛据分析、

盾,所以我国从20世纪70年代逻辑推

逐步实选了讨划生育政策.因此这一阶理，直观

段的人口增长条件并不符合马东萨斯人想象、教

口增长模型的条件，自然就出现了依模学抽象、

型得到的结果教学运

与实际不符的情况、算等核

例4.2010年，考古学彖对葭诸古城水利心素养；

系统中一条水坝的建筑材料上提取的草

茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳

14的周留量约为初始量的55o2%,能

否以此推断此水坝大概是什么年代建成

的？

分析：因为死亡生物机体内碳74的

初始量按确定的衰城率衰城，属于指教

减,所以&曲=ka*(k€R,•«BL

#0；a>0f且Q#7)建立教学

模型、

斛：设样本中碳/4的初始量为k,

衰臧率为P(0<p<1),经过工年后,

戌余量为y、根据问题的实际意义，

可选择如下模型：y=k(l-p)xfkWR,且

kR0；0<P<1;x>0)、由碳

/4的半衰期为5730年，得k(一

P严弓k,于是(1-阳=飞,所以y=

k仁忸

由样本中碳14的戏余量约为初始量的

55。2%可知，即0.552k=k(飞尸,

解得X=log573芈。.552、由计算工具得

E912、

因为2010年之前的4912年是公元,

2902年,

所以推断此水坝大概是公元南2902年

建成的、

归纳总结

［规律方法］已知函数模型斛决实际问

题，往往给出的函数解析式含有参数，

需要将题中的数据代入函数模型，求得

函数模型中的参数，再将问题转化为己

知舀教解析式求函数值或自变量的值

典例解析

例5。假设你有一免咨金用于投资，现有

三种投济方案供你选择，这三种方嚎的

回报如下:

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每

天比前一天多回报10元；

方嗓三：第一天回报0.4元,以后每天

的回报比前一天翻一番.

请问，你会选择哪种投资方嚎？

①问题中涉及邺些数量关余？

投资天数，回报金额

②如何用函数描述这些数量关系？

分析：我们可以先建立三种投咨方案所

对应的函数模型,再通过比较它们的增

长情况,为选择投资方嚎提供依据

野：设笫x天所得回报是y元,则方

案一可以用舀数y=40ON*）进行描

述；

方案二可以用函数y=10x（、wN*）进行描

述；

方案三可以用函数y=0.4x2x~\xeN.）

此行描述.三个模型中，第一个是靠

教函数,后两个都是增困数.

要对三个方案作出选择,就要对它们

的增长情况进行分析.

我们先用信息技术计算一下三种方案所

得回报的增长情况

三种方米每天回报表

方案一方案二方51民三

X

y增加量/元.y增加量/元y增加量/元

140100.4

240020100.80.4

R40030101.R0.R

440040103.21.6

540050106.43.2

6400601012.86.4

740701025.612.8

840801051.225.6

94009010102.451.2

1040010()1()204.8102.4

・・・・・・.・・……・・・•••

3040300:214748364.8107374182.1

y

y=0.4x2X-

140•

120­；，卬=10x

iJ

KX)■

80•

60■

v=40

40•

20­

*

.▲—4-Y**■।1

~7)'24681012x

方案一的舀教是常教舀

教，方案二、方案三的函数都是增函

数，但方案三的函数与

方案二的舀数的增长情况很不相同、可

以看到，尽管方案一、方案二在第/

天所得回报分别是方案三的100僖和25

售，但它们的增长量固定不变，而方

案三是“指教增长”，

其“增长量”是成僖增加的,从第7

天开始,方案三比其他两个方案增长得

快得多，这种增长速度是方案一、方

案二所无法企及的、从每天所得回报

看，

在第7〜3天,方案一最多；

在笫4天,方案一和方案二一样

多,方案三最少；

在第5〜8天，方案二最多；第9天

开始，方嗓三比其他两个方

案所得回报多得多，到第3。天，所得

回报已超过2亿元.

下面再看累计的回报数.通过信息技术

列表如下

天数

方案

1234567891011

—408012016020024028)320360400440

二10306010015021028)360450550660

三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8

投赛1〜6天，应选择方案一；

投去7天，应选择方素一或方案二；

投资8〜10天，应选择方案二；

投资11天（含H夭）以上,应选择方案

三。

假如某公司每天给你投济1万元，共

投密30天。公司要求你给他的回报是：

第一天给公司1分钱，第二天给公司2

分钱，以后每天给的钱都是的一天的2

得，共30天，你认为这样的交易对你有利

吗？

筹签如下：公司30天内为你的总投资为：

30万元

你30天内给公司的回报为：

2

0.01+0.01x2+0o01x2+...+0o

29.

01x2=10737418.23^10741万元）

上述例子只是一种假想情况,但从中

可以看到,不同的舀数增长模型,增

长变化存在很大差异

例6.某公司为了实现1000万元利润的

目标，准备制定一个激励销售人员的奖

励方案：在销售利润达到10万元时，按

销售利润进行奖励,且奖金y（单传：万

元）陵销售利润x（单伉：万元）的增加而

增加，但奖金总数不超过5万元，同时

奖金不超过利润的25%。现有三个奖励

X

模型：y=0o25x,y=log7x+l,y=lo002,

其中哪个模型能符合公司的要求？

①例6涉及了哪几类法教模型？

一次的数，对数型曲教，指教的救。

②你能用教学语言描述符合公司奖励方

案的条件吗？

分析：本例提供了三个不同增长方式的

奖励模型,捺要求选择其中一个的数作

为刻也

奖金总数与销售利润的关系,由于公司

总的利泗目标为1000万元，所以销售

人员的销售利润一般不会超过公司总的

利润，于是，只需在区间no,1000]

上，寻找并验证所选舀数是否满足两条

要求：第一,奖金总数不超过5万

元，即最大值不大于5;

第二，奖金不超过利润的25%,即

Y<0.25X、不妨先画出函数图象，通过

观察心教图象,得到初步的结论，再

通过具体计算，确认结果、

解：借助信息技术也出函数y=5,

x

y=0o25x,y=log7x+l,y=1.002的图

象、观察图象发现，在区间[10,

X

1000J上,模型y=0o25x,y=lo002

的图象都有一部分在直线y=5的上

方，只有模型y=log7x+l的图象始终在

y=5的下方，这说明只有按模型

y=log7x+l遂行奖励时才符合公司的要

求、

下面通过计算确认上述判断、

先计算哪个模型的奖金总数不超过5

万元、

对于模型y=0o25x,它在区间［10,

1000］上单调逅增，

而且当x=2。时,y=5,

因此，当x>20时，y>5,所

以该模型不符合要求；

x

对于模型，y=l。002,由函数图象,

并利用信息技术，可知在区间(805,

806)

内有一个点％满足1.002*。=5,由于它

在区间no,woo］上单调遹增，

因此当x>“。时,y>5,所以该模

型也不符合要求；

对于模型y=log7x+l,它在区间［10,

1000]上单调遹增，而且当X=1000

时，y=log71000+1-4o55<5,所以

它符合奖金总数不超过5万元的要

求.

再讨算按模型y=log7x+l奖励时,奖金

是否不超过利润的25%,

即当x€no,1000]时,是否有y

<0.25x,

即y=log7x+l<0o25x成立、

令f(xj=y=log7x+l——Oo25x,x€

no,10007,利用信息技术画出它

的图象

由图象可知函数f(x)在区间「10,1000]

上单调遹城,

因此f(x)0f(lO户一0.3167Vo,

即y=log7x+lv0.25x、所以，当x€

no,1000]M，

y<0.25x,说明按模型y=log7x+l奖

励，奖金不会超过利润的25%、综上

所述，模型y=log7x+l确实能符合公司

要求、

［规律方法］

自建模型时主要抓住四个关键：“求什

么,设什2,列什么，F艮制什么”。

求什么就是弄清楚要斛决什么问题，完

成什么任务。

设什么就是弄清楚这个问题有哪些因

素,谁是核心因素，通常设核心因素为

自变量。

列什么就是把问题已知条件用所设变量

表示出来,可以是方程、函数、不等式等.

F艮制什么主要是指自变量所应满足的F艮

制条件，在实际问题中，除了要使因教

式有意义外，还要考虑变量的实际含义,

如人不能是半个等.

三、当堂达标

1.一辆沌车在某段路程中的行驶路程s

通过练

关于时间/变化的图象如图所示，那么图

习巩固

象所对应的函数模型是（）

本节所

A、分段函B、二次的C、指数^舀

教，对教的教学知识,

23Ool/巩固对

2200困教模

2100/

2000kz型的运

-o|1~2~3~A用，增强

学生的

教学建

【答案】A［由图可知，该图象所对应

模、直观

的函教模型是分段函数模型.1

想象、教

2、若镭经过100年后剩留原来质量的

学抽象、

95o76%,设质量为1的镭经过x年后

教学运

剩留量为y,则的舀教关条是()

算、2梅

A、y=0o错误！y=

9576B.(0o推理的

9576),00x核心素

X

养。

C、y二错误！D、y=1-0.0424错误！

【答案】A/由题意可知y=(95。76%)

错误!，即y=0.9576错误!.《7

3.若一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃

院5cm,则燃烧剩下的嵩度"(cm)与燃

烧时间t(h)的函数关杂用图象表示为

()

【签案】B］由题意"=20-5（00/4,

其图象为BoJ

4、某工厂生产某种产品固定成本为2

000万元，并且每生产一单住产品，成本

增加10万元,又知总收入K是单核产品

教Q的函数，K［。）=40。一错误©2,则

总利润£CQ）的最大值是万元。

【答索】2500,每生产一单住产品,

成本增加10万元，

・♦・单住产品数。时的总成本为2000+

10Q万元、

・・・K（。）=40。一错误!Q2,

/.利泗L（Q）=40。-错