沪教版 八年级数学上册 第19章 几何证明 期末复习 易错点专项训练 （含解析）

亲爱的同学，“又是一年芳草绿，依旧十里杏花红”。当春风又绿万水千山的时候，我

们胜利地完成了数学世界的又一次阶段性巡游。今天，让我们满怀信心地面对这张试卷，

细心地阅读、认真地思考，大胆地写下自己的理解，盘点之前所学的收获。

第19章几何证明期末复习易错点专项训练

选择题（共U小题）

1.下列各命题中，假命题是（）

A,有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等

B.有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等

C.有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等

D.有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等

2.下列命题是真命题的是（）

A.两个锐角的和还是锐角

B.全等三角形的对应边相等

C.同旁内角相等，两直线平行

D.等腰三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

3.下列语句中，不是命题的是（）

A.如果a+b=。，那么b互为相反数

B.同旁内角互补

C.作等腰三角形底边上的高

D.在同一平面内，若,b//c,贝必

4.下列命题是真命题的是（）

A.相等的两个角是对顶角

B.好好学习，天天向上

C.周长和面积相等的两个三角形全等

D.两点之间线段最短

5.下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（）

A.含有45。角的两个直角三角形

B.腰相等的两个等腰三角形

C.边长相等的两个等边三角形

D.一个钝角对应相等的两个等腰三角形

6.下列各组数据是线段长，其中不能作为直角三角形的三边长的是（）

A.1,1,直B.1,互出C.1,2D.血衣市

7.在下列以线段白、匕、。的长为边，能构成直角三角形的是（）

A.a=3,2>=4,c=6B.=b=6）c=7

C.a=6>2>=8,c=9D.a=7,2>=24,c=25

8.已知AAFC内一点河，如果点河到两边四、8C的距离相等，那么点“（）

A.在火。边的高上B.在47边的中线上

C.在41BC的平分线上D.在力。边的垂直平分线上

9.如图字母B所代表的正方形的面积是（）

10.如图，在AAFC中，点D在8。边上，DE垂直平分47边，垂足为点E,若NB=70。,

S.AB+BD=BC,则/砌。的度数是（）

A.40°B.65°C.70°D.75°

11.如图，在也4BC中，8。的垂直平分线交延于点D,交BC于点E,若NA=50。，

ZDCB=2ZACD,则NB的度数为（）

二.填空题（共15小题）

12.如果点火的坐标为(-4,0),点B的坐标为(OJ,则四=.

13.如图，在R3ABC中，ZC=90°,N4=15°,DE垂直平分废交于E,若BC=1,

则47=.

14.在RtAABC中，ZC=90",4=30°,BC=2,以AXBC的边47为一边的等腰三角

形，它的第三个顶点在AXBC的斜边盘上，则这个等腰三角形的腰长为.

15.如图，在RtAABC中，ZC=90",心平分NC4B,BC=12cm,AC=9cm,那么班

的长是.

16.如图，AXBC中，心平分NBA。，AB=4,47=2,且AXBD的面积为2,贝UAXBC

的面积为.

BDC

17.一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三

角形.若正方形力，B,C,D的面积分别为2,5,1,2,则最大的正方形E的面积是—.

18.如图，在AXBC中，已知点。是边松、火。垂直平分线的交点，点E是NABC、ZACB

角平分线的交点，若/。+/£=180。，则4=度.

o

3

19.如图，AAB。中，AB=AC,ZB4C=120°,血_1_月（7交BC于点D，AD=4,则

BC

20.如图，已知直线乙/4，含3。。角的三角板的直角顶点。在?1上，30°角的顶点月在5上,

如果边?15与?i的交点D是松的中点，那么Nl=度.

21.把两个同样大小含45。角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点

与另一个三角尺的直角顶点重合于点力，且另外三个锐角顶点B，C,D在同一直线上.若

AB=2,则⑵=.

22.如图，三角形翘7三边的长分别为四=加一4AC=2mn,8。=川+川，其中m、

M都是正整数.以的、AC,8C为边分别向外画正方形，面积分别为*、区、区，那

么工、Sc&之间的数量关系为

23.将一副三角尺如图所示叠放在一起，如果皿=10cm,那么斯=cm.

24.如图，将一根长为20c四的吸管，置于底面直径为冗阳，高为12加的圆柱形水杯中,

设吸管露在杯子外面的长度是为九:阴，则为的取值范围是.

一根长为7c根的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为女m,

高为4cm,则吸管露出在杯外面的最短长度为cm.

26.如图，一棵大树在离地面3m、5m两处折成三段，中间一段松恰好与地面平行，大树

顶部落在离大树底部6根处，则大树折断前的高度是.

B

三.解答题（共4小题）

27.已知A/1BC中，4CB=90。，CD_L超于点D,地平分N历1C,交CD于点

邠_1,力8于点6,说明EG=C『.

28.已知：如图，2UBC中，ZABC=90°,AC=IO,BC=6,CD平分乙1C8交店于D.求

Q的长.

29.如图，在RLiABC中，ZACB=9Q°,CD是斜边盘上的中线，过点R作松_LCD于

点尸，交CB于点、E,且/财S=NDCB.

(1)求NB的度数：

(2)求证：BC=3C5.

30.已知：如下图，A4BC和中，ZB4C=ZBDC=90°,E为8。的中点，连接DE、

AE.若DC/A4E,在DC上取一点尸，使得DF=D督，连接即交加于。.

(1)求证：EFIDA.

(2)若EC=4,㈤=2?，求即的长.

参考答案

一.选择题（共11小题）

1.下列各命题中，假命题是（）

A.有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等

B.有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等

C.有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等

D.有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等

解：月、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，可利用证两步全等的方

法求得，是真命题；

8、高有可能在内部，也有可能在外部，是不确定的，不符合全等的条件，原命题是假命

题；

C、有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得,

是真命题；

D、有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，

是真命题；

故选：B.

2.下列命题是真命题的是（）

A.两个锐角的和还是锐角

B.全等三角形的对应边相等

C.同旁内角相等，两直线平行

D.等腰三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

解：月、两个锐角的和还是锐角，是假命题，例如60。+60。=120。；

B、全等三角形的对应边相等，是真命题；

C、同旁内角合并，两直线平行，本选项说法是假命题；

D、等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项说法是假命题；

故选：B.

3.下列语句中，不是命题的是（）

A.如果a+匕=0,那么b互为相反数

B.同旁内角互补

C.作等腰三角形底边上的高

D.在同一平面内，若a"b,bile,贝

解：如果a+匕=0,那么a、b互为相反数；同旁内角互补；在同一平面内，若b//c>

则它们都是命题，

而作等腰三角形底边上的高为描述性的语言，它不是命题.

故选：C.

4.下列命题是真命题的是（）

A.相等的两个角是对顶角

B.好好学习，天天向上

C.周长和面积相等的两个三角形全等

D.两点之间线段最短

解：力、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题；

3、好好学习，天天向上，不是命题；

。、周长和面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；

D、两点之间线段最短，是真命题；

故选：D.

5.下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（）

A.含有45。角的两个直角三角形

B.腰相等的两个等腰三角形

C.边长相等的两个等边三角形

D.一个钝角对应相等的两个等腰三角形

解：力、含有45。角的两个直角三角形，没有指明边相等，所以不一定全等，选项不符合题

忌；

B、腰相等的两个等腰三角形，没有指明角相等，所以不一定全等，选项不符合题意；

C、边长相等的两个等边三角形，利用£SS可得一定全等，选项符合题意；

D、一个钝角对应相等的两个等腰三角形，没有指明边相等，所以不一定全等，选项不符

合题意；

故选：C.

6.下列各组数据是线段长，其中不能作为直角三角形的三边长的是（）

A.i,i,aB.1，及，出C.1,力，2D-后也帮

解：月、P+i?=G/iy,符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；

B、F+（&y=（道y,符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；

C、F+（W）?=22,符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；

D、（回2+（#）?*（我2,不符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长.

故选：D.

7.在下列以线段a、力、。的长为边，能构成直角三角形的是（）

A.a=3,b=4>c=6B.a=5,b=6）c=7

C.a=6,2>=8,c=9D.a=7,2>=24,c=25

解：月、3?+4?#6?，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；

B、5?+6?/7?，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；

。、6?+8?#9?，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；

D、72+242=252.故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确.

故选：D.

8.已知AAFC内一点如果点河到两边的、8C的距离相等，那么点河（）

A.在月。边的高上B.在火。边的中线上

C.在N4BC的平分线上D.在47边的垂直平分线上

解：•.•何?!月5,MFLBC,ME=MF，

M在的角平分线上，

故选：C.

9.如图字母B所代表的正方形的面积是（）

B.13C.144D.194

解：由题可知，在直角三角形中，斜边的平方=169,一直角边的平方=25,

根据勾股定理知，另一直角边平方=169-25=144,即字母B所代表的正方形的面积是144.

故选：C.

10.如图，在加石。中，点D在EC边上,DE垂直平分47边，垂足为点若NB=70。,

&AB+BD=BC,则/班。的度数是（）

C.70°D.75°

解：连接皿，

・・・DE垂直平分47边，

/.AD=CD,

・・・BC=BD+CD=AB+BD,

AB=CD,

AB=AD,

ZXDB=ZB=70°,

1

zc=一ADB=35\

ZB4C=1800-ZB-ZC=75°,

11.如图，在/UBC中，EC的垂直平分线交贴于点D,交BC于点、E,若乙1=50。，

ZDCB=2ZACD,则NE的度数为（）

A.26°B.36°C.52°D.45°

解：・・・BC的垂直平分线交的于点D,

BD=CD,

•Z5=ZDC®,

\-ZDCB=2ZACD,

：.设乙

ZB=ZDCB=2a,

ZXBC+ZACS=1800-ZA=130°,

5a=130°,

a=26。，

ZB=52。,

故选：C.

二.填空题（共15小题）

12.如果点火的坐标为（-4,0）,点B的坐标为（。,3）,则回5.

解：由两点间的距离公式可得超=依+4>+（3-。）2=5.

故答案为：5.

13.如图，在RtAABC中，ZC=90°,ZX=15°,"垂直平分<3交47于E,若BC=1,

则工。=_2+S_・

ZB45-ZB-150

ZB£C=ZABff+ZX=15°+15o=30°,

AE=BE=2BC=2,

CE=WBC=W，

-RC=2+W•

故答案为2+W.

14.在RtAABC中，ZC=90",ZA=30°,5(7=2,以AABC的边47为一边的等腰三角

形，它的第三个顶点在AABC的斜边盘上，则这个等腰三角形的腰长为年或2.

解：如图，

在RLiACB中，•.•4理=90°,ZA=30°,BC=2,

AB=2BC=4,AC=4BC=2书，

当A£4=MC时，作W_L47,

-MT//BC,AT=TC,

AM=MB=2，

：.等腰三角形如纶的腰长为2,

当47=W=2J5时，等腰三角形的腰长为23，

故答案为24或2.

15.如图，在RtAABC中，ZC=90°,心平分BC=\2cm,AC=9cm,那么BD

解：作DEI力B于E,

由勾股定理得，AB=^AC&+BC1=9+12'=15,

在AXCD和AA班中，

[/CAD=ZEAD

\xACD=ZAED=9Q\

[AD=AD

MCD^MED(AA^)

-CD=ED,AE=AC=9,

:.BE=AB-AE=6,

在RtZBED中，=呼，即BD?=(12-ED)?+6,

解得，BD=y,

故答案为：ycm.

16.如图，1MBe中，Q平分NR4C,AB=4,AC=2,且A4班的面积为2,则&4BC

的面积为3

解：过D作DEIRE于E,DblRC于产，

Lx4xD5-2,解得DE=1，

2

•••加平分/取。,

-DF=DE=\,

S“=yaw=；x2xi=i,

$2就=+$2=2+1=3,

故答案为3.

17.一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三

角形.若正方形力，B,C,D的面积分别为2,5,1,2,则最大的正方形£的面积是10.

解：根据勾股定理的几何意义，可得力、B的面积和为工，C、D的面积和为耳，与+况="，

于是£=，+£,

即用=2+5+1+2=10.

故答案是：10.

18.如图，在中，已知点。是边松、47垂直平分线的交点，点E是乙IB。、ZACB

角平分线的交点，若NO+N£=180。，则ZX=36度.

解：如图，连接Q4.

・・,点。是他，工。的垂直平分线的交点，

•OA=OB=OC,

ZOAB=ZOBA,^OAC=ZOCA,

・・・NBOC=ZABO+ZOCA+ZBAC=2HIB+2ZOAC=2ZB4C,

・・,点E是4B。、4CB角平分线的交点，

-ZE=90^-ZBAC,

2

vZBOC+Z5=180°,

-2ZBAC+90。+-ZBAC=180°,

2

ZBAC=36。，

故答案为36.

19.如图，ZUBC中，AB=AC,ZB4C=120°,加14C交EC于点D,AD=4,则=

12.

解：・・・MBC中，AB=AC,ZB4C=120°,

・•.ZC=ZB=30°,

・・・HD_L工C交EC于点D，

-CD=2J4D=8,ZB4D=30°=ZB,

二.BD=AD=4,

BC=5D+CD=4+8=12.

故答案为：12.

20.如图，已知直线乙/4，含3。。角的三角板的直角顶点。在?i上，30°角的顶点月在5上,

如果边＞15与?i的交点D是松的中点，那么Nl=120度.

解：是斜边旗的中点，

.­.DA=DC,

ZDCA^ZDAC=3Q9,

Z2=^DCA+ADAC=60°,

•；\i%,

Zl+Z2=180°,

Zl=1800-60o=120°.

故答案为120.

21.把两个同样大小含45。角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点

与另一个三角尺的直角顶点重合于点力，且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若

AB=2,则8=_指_&_.

在RtAABC中，ZB=45°,

:.BC=KAB=2W，BF=AF=g~ABf，

•••两个同样大小的含45。角的三角尺，

;AD=BC=2^/2'

在RtAADF中，根据勾股定理得，DF=JQ?_力刑=布,

CD=BF+DF-BC=0#-2^=«-W，

故答案为：V6-V2-

22.如图，三角形翘7三边的长分别为西=苏一"，AC=2mn,B0=m?+"，其中m、

n都是正整数.以抽、AC,8。为边分别向外画正方形，面积分别为区、国、耳，那

么*、国、氏之间的数量关系为+&="_.

解：•.•项=m？-/，AC=2mn,BC=m1+n1>

AB1+AC1=BC1，

MB。是直角三角形，

设RLiABC的三边分别为a、b、c,

:1=d,Sj=t>2>S：=&,

•/A4BC是直角三角形，

;./+/=〃，即，+S?=S].

故答案为：*+a=£.

23.将一副三角尺如图所示叠放在一起，如果的=1(］储，那么W=_5点_州.

C

E

解：在RtAACB中，ZACB=9Q0,Z5=30°,

AC=1AB=5

•：FCIIDE,

4m=ZD=45°,

FC=AC=5,

由勾股定理得，AF=JAC，+亦=，

故答案为：5点.

24.如图，将一根长为20c於的吸管，置于底面直径为5c掰，高为12B的圆柱形水杯中,

设吸管露在杯子外面的长度是为加制，则为的取值范围是_7W/W8_.

解：如图，当筷子、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，力最短,

此时期=,5?+12*=13,故％近=20-13=7(*］；

当筷子竖直插入水杯时，力最大，此时%大=20-12=8(SM).

故答案为：7W4W8.

B

25.如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为女m,

高为4cm,则吸管露出在杯外面的最短长度为

解：设在杯里部分长为xcm,

则有：?=32+42.

解得：x=5,

所以露在外面最短的长度为7cM-5cm=2cm,

故吸管露出杯口外的最短长度是2cm,

故答案为：2.

26.如图，一棵大树在离地面3m、5m两处折成三段，中间一段盘恰好与地面平行，大树

顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是

B

DC

解：如图，作物_LDC于点E,

由题意得：AD=BE=3m,AB=DE=2m,

DC=6m,

EC=4m,

由勾股定理得：BC=y/BE1+EC1=+42=5(w)，

大树的高度为5+5=10⑺，

故答案为：10M.

B

DE

三.解答题(共4小题)

27.已知AA5C中，ZACB=90°,CD_L4F于点D,松平分NBA。，交CD于点尸，

欧？_1,力8于点6,说明EG=C『.

c

解：vZXC®=90°,空平分/班C,EG1AB,

-CE=EG,4cAE=4GAE,

-CDLAB,

:.Z/WF=90。，

..ZAKD=90。-NMD,AAEC=90。-Z.CAE,

ZAFD=ZAEC,

・；ZAFE=AAFD,

:.ZAFE=4CEF,

CF=CE,

・•.CF=EG.

28.已知：如图，A4BC中，Z>lBC=90o,AC=IQ,BC=6,CD平分/AC®交的于D.求

工D的长.

解：过D作工。于点£.

•••