湖南大学大学物理练习册答案(一、二年级上册下两册全)

大学物理(一)练习册参考解答

第1章质点运动学

一、选择题

1(D),2(D),3(B),4(D),5(D),6(D),7(D),8(D),9(B),10(B),

二、填空题

⑴.A^sind,-^(2n+l);i/(y(77=0,1,...),

(2),8m,10m.

⑶.23m/s.

(4).16Rt2-4rad/s2

(5).4卢-3g(rad/s),12代-6*m/s2).

(6).1cr3,2ct,&f/R.

⑺.2.24m/s2,104°

(8).50(-sin5r7+cos5rj)m/s,0,圆.

(9)./7ik/(/71/72)

(10).12,+2+2=0

三、计算题

1.有一质点沿/?轴作直线运动，,时刻的坐标为/?=4.5月2汽SI).试求：

(1)第2秒内的平均速度;

(2)第2秒末的瞬时速度；

(3)第2秒内的路程.

解：(1)»=AX/A，=-0.5m/s

(2)ydQd片9f-6%M2)=-6m/s.

(3)S=|/?(1.5)-/?(l)|+|/?(2)-/?(1.5)|=2.25m.

2.一质点沿/?轴运动，其加速度为a《SI)，已知f0时，质点位于R

处，初速度,.试求其位置和时间的关系式.

解：a=diydt=4f,dj=4/df

['dv=14fdrv=2^

/=dA/df=2g「dx=12产dr

J.r0Jo

/?=2户/3+&(SI)

3.质点沿/?轴运动，其加速度a与位置坐标/?的关系为3=2+6卬(SI),如果质

点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度.

解：设质点在/?处的速度为乙

dvdvdxc,，

a=——----------=2+6x

drdxdr

VX

Jvdi7=j(2+6x2)dx

00

v=2(x+x3p

4.f体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为a=-力/?,式中/为常量，/?是

以平衡位置为原点所测得的坐标.假定振动的物体在坐标&处的速度为K)，试求

速度，与坐标月的函数关系式.

解：”包=空生内也

drdydzdy

又a=-//?：-/y=vAv/6R

-=jvdv,~~^y2=~y2+

已知>=Ab,=(4)则C=一-；妙；

v2=vl+k(yl-y2)

5.一质点沿半径为/?的圆周运动.质点所经过的弧长与时间的关系为

S=初+卜2其中6、c是大于零的常量，求从y0开始到切向加速度与法向加

速度大小相等时所经历的时间.

解：v=dS/dt=b-^-ct

at=dv/dt=c

an=0+ctf/R

根据题意：8尸为

即c=0+cr)2/R

解得"匹_2

vcc

6.如图所示质点户在水平面内沿一半径为/?=2m的圆轨道转动转

动的角速度与时间t的函数关系为8=kt2(/为常量).已知f=2s

时，质点夕的速度值为32m/s.试求/=1s时，质点"的速度与加速度的大小.

解：根据已知条件确定常量力

k=a)/r=v/(/?r2)=4rad/52

co=Ar,v=Ra>=4R广

f=ls时，i^=4/?Z2=8m/s

at=du/dt=8Rt=\&rtIs'

22

an=v/R=32}n/s

a=(a：+a；2=35.8m/s2

7.(1)对于在/?/?平面内，以原点。为圆心作匀速圆周运动的

质点，试用半径/；角速度和单位矢量二，表示其子时刻的位置矢量.已知

在40时，/?=(),/?=/;角速度如图所示；

(2)由⑴导出速度力与加速度。的矢量表示式;

(3)试证加速度指向圆心.

解：(1)r-xi+3；j-rcoscoti+rsineyrj

⑵5d=T

-rcosincoti+rcocoscotj

一dD「2•:

a=——=-rco2coscoti-rcosinft?rj

dr

(3)a--ar(rcosd;/i+rsincotj)=-arr

这说明G与尸方向相反,即。指向圆心

8.一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60Am/h的速度由东向西刮来，如

果飞机的航速（在静止空气中的速率）为180Am/h,试问驾驶员应取什么航向?

飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明.

」北

解：设下标/I指飞机，尸指空气，马旨地面，由题平取之

勿£=60Am/h正西方向西仁卡―7

幺尸180Am/h方向未知

以£大小未知，正北方向

由相对速度关系有：vAE^vAF+vFl

%、%、几£构成直角三角形，

e=tgT(w%)=i9.4°

（飞机应取向北偏东19.4。的航向）.

四研讨题

1.在下列各图中质点M作曲线运动，指出哪些运

动是不可能的？

参考解答：

（1）、（3）、（4）是不可能的.

Q）曲线运动有法向加速度，加速度不可能为零；

（3）曲线运动法向加速度要指向曲率圆心；

（4）曲线运动法向加速度不可能为零.

2.设质点的运动方程为x=x（f）,y=y⑺在计算质点的速度和加速度时：

第一种方法是，先求出“乒百，然后根据心警及。=富而求得结果；

第二种方法是，先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

你认为两种方法中哪种方法正确？

参考解答:

第二种方法是正确的。因为速度和加速度都是矢量，根据定义,

_drdx-rdyr

v=—=--ld----J

drdtdt

22

_dvd/dx-dy入dxTdy-；

a=--—(—i+—j)l

drdrdrdr~叱TTdX^—J

d2xd2y

所以22

第一种方法是错误的，问题的关键在于位移、速度、加速度的矢量性

力=卫=9（厂./°）=坐产+「《（尹为/"方向的单位矢量），

dtdtdtdt

_dud2r.0cdrdr0d2r°

dtdtdtdrd广

问题的关键：F=?

dr

在第二种方法中，$=0,如果在第一种方法的讨论中，°==（）,那么

drdr

5="=9（/./。）=匕/+厂火==上汽则八立也成立！

drdrdrdrdtdt

注意：若*=o,则严必须是大小与方向均不随时间改变的常矢

量。根据质点的运动方程为x=x（r）,y=y（r）,质点作平面曲线运动，/'

如图所示，尹大小不变，但方向改变！

所以半H0,即第一种方法是错误的！

只有在直线运动中，/=：（显然：是大小与方向均不随时间改变的常矢量）

字=普=0,速度的大小才等于匕.对加速度的大小ax女也可以用同样方法

dtdrdrdr-

加以讨论.

第2章质点力学的运动定律守恒定律

一、选择题

1(C),2(E),3(D),4(C),5(C),6(B),7(C),8(C),9(B),10(C),11(B),12(A),

13(D)

二、填空题

(l).(O2=12rad/s,A=0.027J

⑵.290J

⑶3J

(4).18N-s

⑸争吁+2叮(SI)

(6).16Ns,176J

(7).16Ns,176J

k

(8)./VUA7,

0M+nmVM

(9).63.2N

(10).(2m,6m);(-4m,2m)fn(6m,8m);2m和6m.

三、计算题

L已知一质量为777的质点在/?轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，

引力大小与质点离原点的距离片的平方成反比，即是比例常数.设

质点在R=A时的速度为零，求质点在R=A/A处的速度的大小.

解：根据牛顿第二定律

「kdvdvdxdv

j=——-=m——=m---------=mv——

xdrdxdtdx

.vA/4

,.dxk

'vdv=-K——-vdv=-1dx

mx°A

12kA°13；

2mAAmA

2.质量为6的子弹以速度4水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大

小与速度成正比，比例系数为K,忽略子弹的重力，求：

Q)子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；

(2)子弹进入沙土的最大深度.

解：Q)子弹进入沙土后受力为-Kv,由牛顿定律

dv

-Kv=m—

■.v=v^-K"m

(2)求最大深度

解法一：〃=孚

dr

dx=qe-w〃"dr

00

K,/m

：.x=(m/K)v0(\-e-)

3.如图，用传送带/输送煤粉，料斗口在/上方高h

=0.5m处，煤粉自料斗口自由落在A上.设料斗口连续卸煤的流量为qm=

y

40Ag/s，/以“2.0m/s的水平速度匀速向右移动.求装煤的出程

a

力的作用力的大小和方向.（不计相对传送带静止的煤粉质重）3

解：煤粉自料斗口下落，接触传送带前具有竖直向下的速度3_x

设煤粉与力相互作用的tAm=q*

设/对煤粉的平均作用力为了，由动量定理写分量式:

/=Amu-0

/vAr=O-(-Ami2o)

将Am=%”4代入得£=qmv,fy=q,,V。

•"="：+斤=149N

了与/?轴正向夹角为=arctg(/V同=57.4。

由牛顿第三定律煤粉对/的作用力F=ai49N,方向与图中『相反.

4.有一水平运动的皮带将砂子从一处运到另一处，砂子经一竖直的静止漏斗落到

皮带上，皮带以恒定的速率1/水平地运动.忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端

的其它影响，试问：

Q)若每秒有质量为的砂子落到皮带上，要维持皮带以恒定速率

/运动，需要多大的功率？

⑵若0n=20Ag/s,=1.5m/s,水平牵引力多大？所需功率多大？

解：Q)设t时刻落到皮带上的砂子质量为M,速率为匕"dt时刻，皮带上的

砂子质量为M+6M,速率也是匕根据动量定理，皮带作用在砂子上的力尸的

冲量为：

Fdt^(M+dM)v-(Mv+dM-V

.F=vdM/dt=v-qm

由第三定律，此力等于砂子对皮带的作用力P,即P=F.由于皮带匀速

运动，动力源对皮带的牵引力F"=F.

因而,F"=F、FW，同向，动力源所供给的功率为：

2

P=F-v=v-vdM/dt=vqm

⑵当好=dM/df=20Ag/s,i/=1.5m/s时，水平牵引力

F"=i/gm=30N

所需功率P=0qm=A5W

|<—l—a-

5.一链条总长为/,质量为m,放在桌面上，并使其部分下不

垂，下垂一段的长度为a.设链条与桌面之间的滑动摩擦系731

数为〃.令链条由静止开始运动，则Z

⑴到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功当7R潮两琬不

,Qe

(2)链条刚离开桌面时的速率是多少？不义

解：Q)建立如图坐标.

某一时刻桌面上全链条长为尺则摩擦力大小为

f=/.imyg

摩擦力的功叼=[“fdy=〃ygydy

=厘2孔侬…2

21户"21

(2)以链条为对象,应用质点的动能定理£M/=^mv2-^mvl

其中£小必+Wf,30

%=你近=「惚疝=〃侬＞力)

LLI21

由上问知W/=一幺吗过

6.小球2,自地球的北极点以速度为在质量为M、

半径为R的地球表面水平切向向右飞出，如图所

示，地^参考系中轴OO'与%平行，小球/的运动轨道与轴’相交于距O

为3/?的C点.不考虑空气阻力，求小球2在。点的速度D与％之间的夹角.

解：由机械能守恒：

；—GMm/R=加炉-GMm/(3R)①

根据小球绕。角动量守恒：

Rmu()=3Rmvsin3②

①、②式联立可解出.“外

Af———

sin0=V{)=D

79Vo-UGM/RV________

7.质量为mA的粒子力受到另一重粒子B的万有引力作B

用，8保持在原点不动.起初，当/离8很远（々8）时，力具有速度5。,方向沿

图中所示直线Aa,8与这直线的垂直距离为。.粒子/由于粒子8的作用而偏

离原来的路线，沿着图中所示的轨道运动.已知这轨道与8之间的最短距离为d,

求8的质量nr）B.

解：/对夕所在点的角动量守恒.设粒子A到达距6最短距离为d时的速度为

DmAv0—mAvd,v-Dv0/d

48系统机械能守恒（力在很远处时，引力势能为零）

1）19

太叫必=4加』-GmAmB/d

解得“2—诉=2GmB/d

，加8=（。2-/）说/（2Gd）

8.一个具有单位质量的质点在随时间t变化的力F=（3/2-4Z）F+（12/-6方（SI）作

用下运动.设该质点在上0时位于原点，且速度为零.求42秒时，该质点受

到对原点的力矩和该质点对原点的角动量.

解：以下各式均为SI式6=1F^ma,

户=（3产一4a：+（l>—6）7,2=（3/一4。：+（12一6）7

a=dv/dt,占0时，％=°

Vtt

.Jdi>=Jad/=j[（3r-4z）7+（12/-6）J]d^

000

力=«3—2产）：+（6/一6/）7

v=dr/dt，上0时，%=0

pdf=（*-■|/》+⑵3—3产）J

当上2s时>=—47/3+4],p=12j,F=4r+18j

=FxF=（-1r+4；）x（47+18；）=-40^

_4一一__

角动量1=¥x〃加=（—§i+4J）xl2/=-16%

四研讨题

L汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力能使汽车前

进吗？使汽车前进的力是什么力？

参考解答：

汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力都是汽车

系统的内力，内力只会改变内部各质点的运动状态，不会改变系统的总动量，所

以不能使汽车前进。使汽车前进的力只能是外力，这个外力就是地面给汽车的摩

擦力。粗略分析如下：当汽车发动机内气体对活塞的推力带动传动部件使主动轮

（一般为汽车的后轮）绕轮轴转动时，使主动轮与地面的接触部分相对地面有向

后滑动的趋势，从而使地面对汽车施以向前的摩擦力，使汽车整体向前加速运动。

由于汽车前进使从动轮（汽车的前轮）相对地面有向前的运动趋势，因此从动轮

受到地面施以的方向向后的摩擦力，该摩擦力对从动轮轴的力矩使从动轮滚动起

来。所以汽车的运动最终靠的是地面施加的摩擦力。

2.冲量的方向是否与冲力的方向相同？

参考解答：

冲量是力对时间的积累，由动量定理：7=J:户dr=g-R=AP

所以，冲量的方向和动量增量A户的方向相同，不一定与冲力户的方向相同。

3.一物体可否只具有机械能而无动量？一物体可否只有动量而无机械能？试举

例说明。

参考解答：

机械能是系统作机械运动的动能和势能的总和.动能与物体相对参考系的运

动速度有关，势能则属于保守力系统，一物体具有的势能，是相对势能零点而言

的。若取保守力系统，物体相对参考系静止，那么物体的动能为零，物体的动量

也为零。该系统的机械能就是物体相对系统势能零点所具有的势能.所以，一物

体可以有机械能而无动量。例如：一质量为力的物体（例如一气球）静止在相

对于地面为力的高处，此时对于物体和地球系统，具有的机械能为重力势能，

其值为mgk由于此时物体静止，故其动量为零。

在保守力系统中，若一物体运动至某一位置时所具有的动能值，恰等于该位

置相对势能零点所具有的负的势能值，则该物体的机械能为零，而因物体具有动

能，因而动量不为零。所以，一物体也可以有动量而无机械能。例如：物体自离

地面高为力处自由下落，取物体和地球为系统，并取下落处为重力势能零点.初

始时刻系统的机械能昂=0,下落至地面时，物体具有速度的大小为匕动能为

m内2,动量的大小为mv,系统的机械能为m囚2-mgh=Eo=O.

4.在经典力学范围内，若某物体系对某一惯性系满足机械能守恒条件，则在相对

于上述惯性系作匀速直线运动的其它参照系中，该物体系是否一定也满足机械能

守恒条件？请举例说明.

参考解答：

不一定满足守恒条件.

例如在水平面上以速度为匀速直线行驶的车厢顶上悬

挂一小球.以车厢为参考系，小球摆动过程中绳子张力对小

球不作功则小球+地系统机械能守恒若以地面为参考系，

小球相对于车厢的摆动速度为力，则小球对地速度

v'=vn+v,少与绳张力f不垂直，故小球摆动过程中绳张力对小球要作功，这

时小球+地系统不满足机械能守恒条件.但在上述两个参考系（惯性系）中，动

能定理和功能原理仍是成立的.

5.在车窗都关好的行驶的汽车内，漂浮着一个氢气球，当汽车向左转弯时，氢气

球在车内将向左运动还是向右运动？

参考解答：

在空气中释放一氢气球，它将受浮力的作用上升。这浮力的根源是大气在重

力场中的压强上小下大，因而对氢气上下表面的压力不同，上小下大，而使浮力

与重力的方向相反。

在题述汽车向左转弯时，它具有指向车厢左

侧的法向加速度。因而汽车是一非惯性系。在汽

车内观察，即以汽车为参考系，其中空气将受到

指向右侧的惯性离心力。汽车内的空气就好象处

在一水平向右的“重力场"中一样。根据斤=6〃「，这"重力场"左弱右强。和

在地球表面空气中氢气球受浮力要向上运动类似，在汽车内空气中的氢气球将受

到水平向左（与水平"重力”方向相反）的"浮力"的作用而向左运动。（忽略

由于氢气球质量很小而引起的在车内看到的很小的向右的运动）

第2章刚体定轴转动

一、选择题

1(B),2(B),3(A),4(D),5(C),6(C),7(C),8(C),9(D),10(C)

二、填空题

Q).i/»15.2m/s,772=500rev/min

(2).62.51.67s

⑶."切(2〃

(4).5.0N-m

(5).4.0rad/s

(6).0.25Agm2

⑻〃能g/参考解：/V7=jdA/=[1//gmr=g卬wgl

IhJ+mR2

(10)g=J3gsin8/7

三、计算题

1.有一半径为/?的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为，,

若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度以）开始旋转，它将在旋转几

圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量J=；血?2,其中。为圆形平板的质量）

解：在〃处的宽度为d/•的环带面积上摩擦力矩为

dM=LL——-•2兀厂•mr

nR2

总摩擦力矩M=£（iM^-pmgR

故平板角加速度=M/J

设停止前转数为n,则转角9=2兀〃

由比=248=4兀•/J（J

可得〃=T17=3/?就/16冗"g

4TIM

2.如图所示,一个质量为0的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳Q

子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动.假设定滑轮质量为M

半径为/?,其转动惯量为《MRz,滑轮轴光滑.试求该物体由静止开始下落的过

程中，下落速度与时间的关系.

解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程

对物体：mg-T-ma@

对滑轮：TR=J②

运动学关系：a=③

将①、②、③式联立得

a-mg/{m+

1.K)=0,

.,.i/=at-mgt/(m+

3.为求一半径R=50cm的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动

惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端悬一质量rrn=8Ag的重锤.让重锤从高2m

处由静止落下，测得下落时间fi=16s.再用另一质量/772=4Ag的重锢故同样

测量，测得下落时间力=25s.假定摩擦力矩是一个常量，求飞轮的转动惯量.

解：根据牛顿运动定律和转动定律，对飞轮和重物列方程，得

TR-Mf=Ja/R@

mg-T-ma@

h=1ar(5)

则将m、4代入上述方程组，得

ai=2h/t^=0.0156m/s2

71=mi（g-5i）=78.3N

7=（71/?-MffR/ax@

将狈、力代入①、②、③方程组，得

52=2/7/=6.4x103m/s

72=m2（g-㈤=39.2A/

J=（我/?-MWai⑤

由④、⑤两式，得

7=/?（71-无）/（&-氏）=1.06x103Ag.m2

4.一转动惯量为1的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为o.设它所受阻力矩

与转动角速度成正比，即/（A为正的常数），求圆盘的角速度从。变

为:。。时所需的时间.

解：根据转动定律：

d/dt=-A

dcok,

/.——=——dr

CDJ

伊。/21rtk

两边积分：一dco=--dt

JgcoJ()J

得In2二协

（/n2）/Z

5.某人站在水平转台的中央，与转台一起以恒定的转速m转动，他的两手各拿

一个质量为6的磋码，祛码彼此相距〃（每一祛码离转轴当此人将祛码拉近

到距离为分时（每一怯码离转轴为;⑸,整个系统转速变为m.求在此过程中人

所作的功.（假定人在收臂过程中自身对轴的转动惯量的变化可以忽略）

解：Q）将转台、怯码、人看作一个系统，过程中人作的功必等于系统动能之增

量：W-5=g（Jo+gm/；）4兀-glJo+g）dibzl兀

这里的儿是没有怯码时系统的转动惯量.

（2）过程中无外力矩作用，系统的动量矩守恒：

卜+—ml；）/71/）+-ml}）/72/~|~i

=/

厂2（%-鬲AvzL^/

⑶将为代入小式，得切/宣汉2222^/

6.一质量均匀分布的圆盘，质量为M,半径为/?,放在i

一粗糙水平面上（圆盘与水平面之间的摩擦系数为〃），圆

盘可绕通过其中心。的竖直固定光滑轴转动.开始时，圆盘静止，一质量为m

的子弹以水平速度4垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求

Q）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度.

（2）经过多少时间后，圆盘停止转动.

（圆盘绕通过。的竖直轴的转动惯量为2,忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩）

解：（1）以子弹和圆盘为系统，在子弹击中圆盘过程中，对轴。的角动量守恒.

m枕R={-MR1+m哈

八叫

CD=y--------------r-

\-M+m\R

(2)淡2表示庖恁单位面积的质量，可求出圆盘所受水平面的摩擦力矩的大小

%Mf=£r/2ga-2wdr=ogf^-(2/3)

设经过f时间圆盘停止转动，则按角动量定理有

-Mft=0-=-(^-MR2+mf^}=-mvbR

△/_mv()Rmv0R3mv0

-Mf~Q/3)〃MgR-2pMg

7.—匀质细棒长为2L,质量为m,以与棒长方向相垂直的速

度％在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点。发生完全非弹性碰

撞.碰撞点位于棒中心的T则:L处，如图所示,求棒在碰撞后的瞬时绕。点转

动的角速度.(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为，出之，

式中的)和/分别为棒的质量和长度.)

解：碰撞前瞬时，杆对。点的角动量为

r3L/2pL/221

]02为xdx-Jopvoxdx=pvoL-=-mv0L

式中为杆的线密度.碰撞后瞬时，杆对。点的角动量为

,113(3斤1(\7八

3|_4\2J4UJJ12

因碰撞前后角动量守恒，所以

21

1mLco/12=—mv()L

・•・=6uo/(7L)

8.长为/的匀质细杆，可绕过杆的一端。点的水平光滑固定

轴转动，开始时静止于竖直位置,紧挨。点悬一单摆，轻质

摆线的长度也是/，摆球质量为m.若单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且

摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后摆球正好静止.求：

(1)细杆的质量.

(2)细杆摆起的最大角度.

解：(1)设摆球与细杆碰撞时速度为K),碰后细杆角速度为，系统角动量守恒

得：=77714)/

由于是弹性碰撞，所以单摆的动能变为细杆的转动动能

=^Jco2

代入_/=,由上述两式可得M=3/77

(2)由机械能守恒式

=mgl=g除/(1-8S。)

并利用⑴中所求得的关系可得6=arccos|

四研讨题

L计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质

心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的

结论。

参考解答：

不能.

因为刚体的转动惯量Z/m,.与各质量元和它们对转轴的距离有关.如一匀

质圆盘对过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为1成2,若按质量全部集中于质心

计算，则对同一轴的转动惯量为零.

2.刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无

关。对于非刚体也是这样吗？为什么？

参考解答：

根据动能定理可知，质点系的动能增量不仅决定于外力做的功，还决定于内力做

的功。

由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量元的相对

位移为零，所以每一对内力做功之和都为零。故刚体定轴转动时，动能的增量就

只决定于外力的功而与内力的作用无关了。

非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内力做功之

和都为零，故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功。

3.乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回？

参考解答：

分析：乒乓球(设乒乓球为均质球壳)的运动可分解为球随质心的平动和绕通过

质心的轴的转动.乒乓球在台面上滚动时，受到

的水平方向的力只有摩擦力.若乒乓球平动的初p

始速度人的方向如图，则摩擦力々的方向一定向———

后.摩擦力的作用有二，对质心的运动来说，它使质心平动的速度吐逐渐减小;

对绕质心的转动来说，它将使转动的角速度。逐渐变小.

当质心平动的速度Vc=O而角速度小0时，乒乓球将返回.因此，要使乒乓

球能自动返回，初始速度14和初始角速度物的大小应满足一定的关系.

解题：由质心运动定理：-5=〃，①

「dr

因耳.=〃"g彳导Vc=VcQ-JLlg(1)

由对通过质心的轴(垂直于屏面)的转动定律"=IP

-RF=(2)成2)上^得口=(o一巨〃g/(2)

3dz2R

由(1),(2)两式可得。匕二%，令以=0；<y>0

2R

可得条

这说明当人力和的的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回.

第3章狭义相对论

一、选择题

1(B),2(C),3(C),4(C),5(B),6(D),7(C),8(D),9(D),10(C)

二、填空题

⑴V

(2).433xl0-8s

(3)A/匕(AX/仁41-(i?/c)2

(4).c

(5)。99c

(6).0.99c

(7).8.89xl0-8s

(8).海

(9)〃=V§c/2,u=辰i2

(10).9xlO16J,1.5xlO17J

三、计算题

1.在/惯性系中观测到相距/?=9x108m的两地点相隔上5s发生两事件，而

在相对于力系沿/?方向以匀速度运动的A1系中发现此两事件恰好发生在同一

地点.试求在力’系中此两事件的时间间隔.

解：设两系的相对速度为匕根据洛仑兹变换，对于两事件，有

AX'+v\tr

71-(v/c)2

由题意：数=0

可得R=vt

△t=i-----,

由上两式自■得Af'=Afjl-⑴/c)2=((Ar)2-(AX/C)2)I/2=4S

2.在A惯性系中，相距/?=5xl06m的两个地方发生两事件，时间间隔

^10-2s;而在相对于A系沿正/?方向匀速运动的/'系中观测到这两事件却

是同时发生的•试计算在A'系中发生这两事件的地点间的距离R'是多少？

解：设两系的相对速度为人根据洛仑兹变换，对于两事件，有

AX'+

AL《口弘

%)2

由题意：△，=0

可得Al=(V/C2)AX

及“=Axjl-(f

由上两式可得AX'=[(d)2—(C2A"C)2,2=[-—c2ALy2=4xl06m

3.一艘宇宙飞船的船身固有长度为£o=9Om,相对于地面以N=0.8《C为真空中

光速)的匀速度在地面观测站的上空飞过.

(1)观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？

(2)宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？

解：⑴观测站测得飞船船身的长度为

L=L()-(u/c)?=54m

ri=Z/^2.25xlO-7s

(2)宇航员测得飞船船身的长度为Zo,则

6=Zo/^=3.75xlO-7s

4.一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和0.8c速度相向运动，在地面上观察，

5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？

解：两者相撞的时间间隔△上5s是运动着的对象一飞船和慧星一发生碰撞的时

间间隔，因此是运动时.在飞船上观察的碰撞时间间隔是以速度々0.6c运

动的系统的本征时，根据时间膨胀公式4=/~、，可得时间间隔为

Jl-(v/c)2

Af=一(y/c)2=4(s).

5.在惯性系中，有两个静止质量都是顶的粒子力和B,它们以相同的速率i4目

向运动，碰撞后合成为一个粒子，求这个粒子的静止质量M).

解：设粒子A的速度为以，粒子B的速度为%，合成粒子的运动速度为V.由

动量守恒得

movA,M0V

-u；Ic1-u；Ic171-V2/c2

因以（=%=4,且%=-i）B,所以£=o.

即合成粒子是静止的.由能量守恒得

22

mocmoc

c71-v2/c271-v2/C1

解出M)

71-v2/c2

6.两个质点力和8，静止质量均为mo.质点A静止，质点8的动能为6mod.设

48两质点相撞并结合成为一个复合质点.求复合质点的静止质量.

解：设复合质点静止质量为Mo,运动时质量为M,由能量守恒定律可得

22

Me=moc+m(?

其中万厘为相撞前质点8的能量.

222

me=moc+6moc=7m0c)

故M=8m0

设质点8的动量为PB,复合质点的动量为p.由动量守恒定律

P=PB

利用动量与能量关系，对于质点8可得

PyC2+欣c4=m2c4=4,而C/

对于复合质点可得P2c2+河衬=M2c4=6的松4

由此可求得=6%-48m；=16m；

M)=痴0

四研讨题

L相对论的时间和空间概念与牛顿力学的有何不同？有何联系？

参考解答：

牛顿力学时空观的基本观点是，长度和时间的测量与运动（或说与参考系）无关;

而相对论时空观的基本观点是，长度和时间的测量不仅与运动有关，还与物质分

布有关。

牛顿力学时空概念是相对论时空观在低速（即运动速度远远小于光速）时的

近似。

牛顿力学时空观的基本原理是力学相对性原理，由力学基本原理得到的两个

惯性系的运动量间的关系是伽利略变换

x'=x-vt,yr=y,z'=z,tr=t.

狭义相对论时空观的基本原理是相对论的相对性原理和光速不变原理，而相

应运动量之间的变换是洛仑兹变换

即p<<c时，洛仑兹变换式就会过渡

到伽利略变换式。

2.同时的相对性是什么意思？为什么会有这种相对性？如果光速是无限大,是否

还会有同时性的相对性?

参考解答:

同时性的相对性的意思是：在某一惯性系中两地同时发生的两个事件，在相

对于此惯性系匀速运动的另一惯性系中观测，并不是同时发生的。

CAV

这个结论与光速不变原理紧密相联。

设相对运动的惯性系是S（xOy）和swoy）,坐标系和相

对运动如图所示，坐标原点0和0'重合时设为t=，'=0。'

由洛仑兹变换，两事件的时空坐标关系为

如果在S系中两事件同时发生，即加=0，那么在S，系中两事件的时间间隔

VA

2-

\t'=c=

与两事件在s系中发生的空间内隔心有关。

当AxwO时，Ar^0o即两事

件在及系中不同时发生。

如果光速是无限大，也就是研究的对象均属于低速情况，那必然是牛顿力学

的情况。即洛仑兹变换中的

<=0,4=°-

CC

则加=加,就不再有同时的相对性。

3.在某一参考系中同一地点、同一时刻发生的两个事件，在任何其他参考系中观

察观测都将是同时发生的，对吗？这里的参考系均指惯性系。

参考解答：

对的。

如果S系和9系是相对于运动的两个惯性系。设在S，系中同一地点、同一时

刻发生了两个事件,即Ax'-x'2-x[-0,Af

将上述已知条件代入下面的洛仑兹坐标变换式中

A/+y(%2~X\)

加=，2-八=j2

则可得&=z2。\说明在S系中也是同时发生的。

这就是说，在同一地点，同一时刻发生的两个事件，在任何其他参考系中观察观

测也必然是同时发生。

4.静长/o的火车以匀速M亍驶时,甲是地面上的观测者，相对于地面静止；乙是

火车上的观测者,相对于火车静止.甲观测到的长度方百<£0,即火车

的动长小于静长，这就是甲所观测到的长度收缩.试从另一个角度来看长度收缩

问题,即被测量者如何看待别人的测量并讨论产生不同看法的原因.

参考解答：

当火车以匀速M亍驶时，甲是地面上的观测者,相对于

I------►0

地面静止，•乙是火车上的观测者，相对于火车静止.以地面加〃〃，£〃〃〃？小k-

为S系,沿火车速度方向取牌血以火车为S，系，沿火车速度—L—

图1甲测量运动中的火车长度

方向取用轴.甲是这样测量运动中的火车长度的：在S系

的同一时刻（t2=ti），在地面划下火车前端A的位置#2和后端B的位置7?1（如图1所

示），然后测量/?2和吊之间的距离/,这就是甲测出的运动中的火车长度，即

L=X?—%]---------（1）

对乙来说,火车是静止的，火车前端A的位置/?3和后端B的位置之间的距离就是

火车的静长/0,即LQ=X2'-X[-----（2）

且L=4Ji-多-----⑶

因i/<c故由式⑶得出kb即火车的动长小于静长，这就是甲所观测到的长度收

缩。

乙是如何看待上述甲的测量呢?乙观测到,甲在杉时刻在地面上划下火车前端A的

位置/?2,在代时刻在地面上划下火车后端B的位置总,由洛伦兹变换

,1「一

t=I=t----

\li-V2/c2LC~_

有4-才=/,；（，2-ZI）--T（X2-X1）

Vl-v2/c2Lc,J

-t\=--/⑶

Vl-v2/c2-=c<o------

这个结果表明：13在先，抬在后.也就是说，在乙看来,甲并不是同时划下火车前后

端的位置的,而是先（也时刻）划下火车前端A的位置&,后（△时刻戊！]下火车后端B

的位置A如图2所示所以,乙认为，甲少测了一段长度，这段长度为

\L=v(t\-t'2)------(4)

将式⑶代入式(4)得

V2U

AL=—£0------⑸

c"

因此,乙认为,甲所测量的不是火车的长度，而①先划下火车前端A的位置均

②后划下火车后端B的位置占

图2乙观测到的甲的测量

是比

火车短△/的某一长度：

£*=4—AL-----(6)

将式⑸代入式⑹得

乙还观测到,地面上沿火车进行方向的尺缩短了，缩短的因子为庐西"于是乙

推知,甲所观测到的火车长度应为

这正是甲测得的.由以上的分析可见，在S系看来，甲的观测是正确的，火车

的长度收缩是真实的.在S'系看来，火车的长度是/o,并没有收缩，而是甲的观测方

法有问题(先测前端，后测后端)，甲少测了一段长度加上甲的尺缩短了,两种因

素合在一起，使甲得出火车长度收缩的结论.

第4章振动

一、选择题

1(C),2(B),3(B),4(C),5(C),6(D),7(B),8(D),9(B),10(C)

二、填空题

(1).、-分、

(2).2TIYI2m/k、2Tlybn/2k

(3).x=0.04cos(7ir+；兀)

(4).0.04cos(4w-；兀)

(5).x=2x102cos(5//2-^7t)

(6).0.05m,-0.205兀(或-36.9。)

(7)3/4,2虫2/g

(8).291Hz或309Hz

(9).lxl0-2m,

i3

(10).0.06cosnt,0.03cos(Kr--71)0.03cos(itt+—n)

三、计算题

1.在一轻弹簧下端悬挂砍=100g祛码时，弹簧伸长8cm.现在这根弹簧下端

悬挂m=250g的物体，构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动4cm,并给

以向上的21cm/s的初速度(令这时片0).选/?轴向下，求振动方程的数值式.

解：A=mog/=。鼠用N/m=12.25N/m

co=yjk/m=.1225s-i_7s-i

V0.25_________

A=Jr；+诉/①2=J42+(Zl)2cm=5cm

tg^--v0/(xoa>)--(-21)/(4x7)=3/4,=0.64rad

x=0.05cos(7z+0.64)(SI)

2.一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12cm,在距平衡位置6cm处速率是

24cm/s.如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板

一起运动(振动频率不变)，当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板

上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数为多少？

解：若从正最大位移处开始振动，则振动方程为

x-Acos(<wt),X--Atwsin69t

在W=6cm处，W=24cm/s

.•.6=12|cosI,24=|-12sin|,

解以上二式得口=4//rad/s

x=-Aco2coscot,

木板在最大位移处国最大，为国=A苏①

若m2稍稍大于mg,则m开始在木板上滑动，取

"mg=tnAa>2②

〃=Aco2/gx0.0653(3)

3.在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长6=L2cm而平衡.再经拉动

后，该小球在竖直方向作振幅为/=2cm的振动，试证此振动为简谐振动；选小

球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式.

解：设小球的质量为m,则弹簧的劲度系数

mg/l。•

选平衡位置为原点，向下为正方向.小球在/?处时，根据

2

mg-k(l0+x)=mdx/dr

将女=〃zg〃o代入整理后得

d2x/dr+gx〃o=0

,此振动为简谐振动，其角频率为.

<y="g〃o=28.58=9.1兀

设振动表达式为x=Acos(cot+狗

由题意：上0时，/?o=/l-2x10-2m,K)=0,

解得=0

=2xl(T2cos(9.1”)

4.一质量/77=0.25Ag的物体，在弹簧的力作用下沿/？轴运动，平衡位置在原点.

弹簧的劲度系数/=25N-m」.

Q)求振动的周期「和角频率.

(2)如果振幅/=15cm,t=0时物体位于/?=7.5cm处，且物体沿/?轴反向运动,

求初速4及初相.

(3)写出振动的数值表达式.

解：(1)>==10s”

T=2n/a>=0.63s

(2)/=15cm,在上0时，&=7.5cm,K)<0

由A=Jx；+”/力)2

得t>0=—co-ijA~—XQ=-1.3m/s

O=tgT(一%/0Xo)=；7I或

,.Ab>0,；.(/>=—it

3

(3)x=15xlO2cos(10/+g兀)(SI)

5.质量/77=5.OOAg的物体挂在弹簧上，让它在竖直方向作自由振动.在无阻尼

情况下，其振动周期78=0.2，放在阻力与物体的运动速率成正比的某介质中,

它的振动周期T=0..求当速度为1.0cm/s时物体在该阻尼介质中所受的阻

力.

解：7=2//荷-外,夕2=(/2_穹)2

101

=8.66s-i

=2=86.6Ags1

F