湍流耗散过程的动力学建模

20/24湍流耗散过程的动力学建模第一部分湍流动力学方程的推导 2第二部分湍流耗散率方程的建立 5第三部分能量级联与耗散过程的关联 7第四部分大涡模拟中的耗散建模 9第五部分直接数值模拟中的耗散处理 12第六部分湍流流动中耗散率的分布规律 15第七部分耗散率对湍流结构的影响 17第八部分耗散过程的尺度分析与普适性 20

第一部分湍流动力学方程的推导关键词关键要点【湍流连续方程的推导】

1.基于控制体积法，推导出湍流连续方程，描述流体的质量守恒。

2.引入平均速度和脉动速度，将瞬时速度分解为平均量和脉动量。

3.对控制体积内瞬时连续方程进行雷诺分解并取平均，得到湍流连续方程。

【湍流动量方程的推导】

湍流动力学方程的推导

1.动力学守恒定律

湍流动力学方程以动量守恒定律为基础，表示为：

```

ρ(∂uᵢ/∂t+uᵢ∂uᵢ/∂xᵢ)=-∂p/∂xᵢ+∂/∂xᵢ(μ+μₜ∂uᵢ/∂xᵢ)

```

其中：

*ρ：流体密度

*uᵢ：流体速度矢量的第i分量

*t：时间

*xᵢ：空间坐标的第i分量

*p：压力

*μ：流体动力黏度

*μₜ：湍流黏度

2.雷诺分解

为了求解湍流动力学方程，需要对流体速度进行分解。雷诺分解将流体速度分解为平均速度和脉动速度：

```

uᵢ=<u>ᵢ+u'ᵢ

```

其中：

*<u>ᵢ：流体速度的平均值

*u'ᵢ：流体速度的脉动值

3.连续性方程

流体的连续性方程表示为：

```

∂ρ/∂t+∂(ρuᵢ)/∂xᵢ=0

```

将雷诺分解后的速度代入连续性方程，得到：

```

∂ρ/∂t+∂(ρ<u>ᵢ)/∂xᵢ+∂(ρu'ᵢ)/∂xᵢ=0

```

由于密度脉动的时间平均值近似为零，因此连续性方程变为：

```

∂(ρ<u>ᵢ)/∂xᵢ=0

```

4.动量方程

将雷诺分解后的速度代入动量守恒定律，得到：

```

ρ(∂<u>ᵢ/∂t+<u>ᵢ∂<u>ᵢ/∂xᵢ+u'ᵢ∂<u>ᵢ/∂xᵢ)=-∂p/∂xᵢ+∂/∂xᵢ(μ+μₜ∂<u>ᵢ/∂xᵢ)

```

```

+ρ(∂u'ᵢ/∂t+<u>ᵢ∂u'ᵢ/∂xᵢ+u'ᵢ∂u'ᵢ/∂xᵢ)=∂/∂xᵢ(μ+μₜ∂u'ᵢ/∂xᵢ)

```

第1个方程称为平均动量方程，描述流体的平均运动。第2个方程称为脉动动量方程，描述流体的湍动。

5.湍流黏度的建模

湍流黏度表示湍流引起的附加黏性。常用的湍流黏度模型包括：

*湍流动力学模型：求解湍动能(k)和湍流耗散率(ε)的偏微分方程组，以计算湍流黏度。

*代数模型：利用流速梯度和长度标度等信息，直接计算湍流黏度。

*混合长度模型：假设湍流黏度与混合长度(l)和速度梯度成正比。

湍流耗散率(ε)方程

湍流耗散率方程表示为：

```

ρ(∂ε/∂t+<u>ᵢ∂ε/∂xᵢ)=C₁εk/μ-C₂ρε²/k+∂/∂xᵢ[(μ+μₜ/σε)∂ε/∂xᵢ]

```

其中：

*C₁、C₂：模型常数

*σε：湍流耗散率的湍流普朗特数

湍流耗散率方程描述了湍流耗散率的产生、衰减和输运。第二部分湍流耗散率方程的建立关键词关键要点【湍流耗散率方程的建立】：

1.湍流耗散率的输运方程：建立适用于不可压缩湍流的湍流耗散率方程，该方程描述了湍流耗散率在流场中的输运过程，包括对流、扩散、产生和耗散项。

2.动量方程的代入：将动量方程代入湍流耗散率方程中，可得到湍流耗散率方程的具体形式，其中包含了速度梯度、应变率和湍流粘性的影响。

3.近壁修正：对于近壁区域，湍流耗散率方程需要进行近壁修正，以考虑壁面边界条件对湍流耗散率的影响。修正方法通常基于壁面函数或低雷诺数模型。

【湍流粘性的建模】：

湍流耗散率方程的建立

湍流耗散率方程是湍流动力学建模中一个关键方程，它描述了湍流能量耗散率（ε）的演变。耗散率方程的建立主要涉及以下步骤：

1.湍流动能方程

湍流动能（k）方程为：

```

Dk/Dt=P-ε+∇⋅(μeff∇k)

```

其中：

-Dk/Dt表示k的物质导数；

-P为湍动能产生率；

-ε为湍动能耗散率；

-μeff为有效黏度，μeff=μ+μt，其中μ为分子黏度，μt为湍流黏度。

2.耗散率方程的湍流能谱表达式

湍动能耗散率ε的湍流能谱表达式为：

```

ε=2ν⟨u'i,j⋅u'i,j⟩

```

其中：

-ν为分子运动黏度；

-u'i,j为速度脉动张量的第i,j分量；

-⟨⟩表示湍流平均。

3.耗散率方程的封闭

将湍流能谱表达式代入湍流动能方程，得到耗散率方程：

```

Dε/Dt=Cp(Pε/k-ε^2/k)+∇⋅(μeff∇ε)

```

其中：

-Cp为模型常数，通常取0.09；

-Pε为耗散率产生率，一般取为：

```

Pε=Cε1(P-Cε2ε)

```

其中，Cε1和Cε2为模型常数，分别取1.44和1.92。

4.模型方程的边界条件

对于壁面边界条件，耗散率方程的边界条件为：

```

ε=2ν⟨u'i,j⋅u'i,j⟩=2ν(∂u/∂n)^2

```

其中，u为壁面上的平均速度，n为法向距离。

5.模型方程的应用

耗散率方程可用于预测湍流流动中的湍动能耗散率，进而计算湍流黏度和湍流雷诺数等湍流参数。它广泛应用于湍流模型，如k-ε模型、k-ω模型等。第三部分能量级联与耗散过程的关联关键词关键要点【能量级联与耗散过程的关联】：

1.湍流能量在尺度空间上呈级联现象，大尺度能量不断分解为小尺度能量。

2.在大尺度上，非线性相互作用将能量从大涡旋传递到小涡旋。

3.在小尺度上，粘性耗散作用变得显著，能量以热的形式耗散。

【耗散尺度与湍流特征】：

能量级联与耗散过程的关联

湍流是具有高度非线性、非平衡和间歇性的流体运动，其动力学行为深受能量级联过程的影响。湍流中能量级联是指湍流能量从大尺度向小尺度传递的过程。

能量级联的机制

在湍流中，能量主要通过以下机制进行级联：

*惯性级联：大尺度涡旋破碎成小尺度涡旋，能量从大尺度向小尺度传递。

*粘性级联：随着涡旋尺度减小，粘性效应变得重要，导致小尺度涡旋的耗散。

能量级联与耗散过程的关系

能量级联过程与耗散过程密切相关。湍流能谱描述了湍流能量在不同尺度上的分布。在惯性区内，能量谱服从五分之三定律，表示能量以不断增加的速率向小尺度传递。

然而，在粘性耗散区，粘性效应导致能量谱偏离五分之三定律，能量开始被耗散。耗散过程将湍流能量转化为热能，从而使湍流运动衰减。

湍流能耗率

湍流能耗率（ε）是湍流能量耗散速率的量度。它可以通过以下公式计算：

ε=ν<ω^2>

其中：

*ν是流体的动力粘度

*<ω^2>是流速脉动平方平均值

湍流能耗率与能量级联密切相关。在惯性区内，ε主要与湍流积分尺度（L）和能量耗散率（ε）有关：

ε~U^3/L

其中U是湍流特征速度。

在粘性耗散区，ε与流动尺度（η）和速度梯度（du/dy）有关：

ε~ν(du/dy)^3

湍流耗散过程的动力学建模

湍流耗散过程的动力学建模旨在描述能量级联与耗散过程之间的关系。常用的模型包括：

*大涡模拟(LES)：该模型通过求解控制方程来模拟大尺度涡旋，而对小尺度涡旋进行建模耗散。

*雷诺平均纳维-斯托克斯方程(RANS)：该模型通过对控制方程进行时间平均来求解平均流场，并通过湍流模型对湍流脉动效应进行建模。

*分离涡模拟(DES)：该模型将LES和RANS模型耦合起来，在靠近壁面的区域使用LES，而在远离壁面的区域使用RANS。

这些模型可以通过提供对耗散过程的见解和预测湍流流动的耗散特性来帮助我们更好地理解湍流的动力学行为。第四部分大涡模拟中的耗散建模大涡模拟中的耗散建模

在湍流大涡模拟（LES）中，耗散建模对于准确预测湍流耗散至关重要，而这个耗散决定了湍流动能向小尺度能量的转移。耗散建模的目的是在不显式求解方程组中没有解析的所有尺度（即亚网格尺度）的情况下，估计亚网格尺度耗散。

涡粘性模型

最简单的耗散模型是涡粘性模型，它假设亚网格湍流可以用涡粘性应力张量来表征：

```

```

其中：

*ν_t是涡粘性系数

涡粘性系数ν_t可以通过各种方法（例如，斯帕尔丁模型、威尔科克斯模型）来计算。

标量细化模型

标量细化模型（SSM）在涡粘性模型的基础上加入了一个标量场，如涡动能或耗散率，以改进耗散估计。SSM假设亚网格湍流可以通过涡动能k和耗散率ε来表征。

最常用的SSM是k-ε模型，它求解以下传输方程：

```

∂k/∂t+∇·(u_ik)=P_k-ε+∇·(ν_t∇k)

∂ε/∂t+∇·(u_iε)=C_1P_kε/k-C_2ε^2/k+∇·(ν_t∇ε)

```

其中：

*P_k是湍流动能产生率

*C_1和C_2是模型常数

动态耗散模型

动态耗散模型（DDM）试图通过直接计算亚网格尺度耗散来改进耗散估计。DDM求解以下方程：

```

```

其中：

*q是亚网格尺度耗散率

*C_D和C_E是模型常数

DDM需要一个耗散尺度方程来估计耗散率q。一些常用的耗散尺度方程包括：

*回旋应变尺度方程

*剪切层厚度方程

*耗散尺度方程

混合模型

混合模型结合了不同耗散模型的优点。例如，涡粘性-动态耗散（VVM-DDM）模型采用涡粘性模型来估计大尺度耗散，而动态耗散模型则用于估计小尺度耗散。

混合尺度耗散模型

混合尺度耗散（MSD）模型利用尺度分离的概念来改进耗散估计。MSD模型假设湍流可以分为过滤尺度和亚过滤尺度。过滤尺度上的耗散由涡粘性模型来估计，而亚过滤尺度上的耗散则由动态耗散模型来估计。

基于网格的耗散模型

基于网格的耗散（GBM）模型利用网格拓扑结构来改进耗散估计。GBM模型认为，湍流耗散主要发生在网格细胞的界面上。因此，GBM模型通过计算网格界面上的应变率来估计亚网格尺度耗散。

自适应耗散模型

自适应耗散模型（ADM）根据特定的流动情况自动调整耗散模型的参数。ADM模型使用监控函数来检测湍流耗散的特征，然后相应地调整模型参数。

耗散建模的选择

耗散建模的最佳选择取决于所研究的特定湍流问题。对于低雷诺数湍流，涡粘性模型通常就足够了。对于中等雷诺数湍流，SSM可以提供更好的准确性。对于高雷诺数湍流，DDM或混合模型通常是首选。第五部分直接数值模拟中的耗散处理关键词关键要点【直接数值模拟中的LES耗散】,

1.亚格网格尺度湍流模型(LES)采用大涡模拟方法对湍流进行建模，其核心思想是通过求解大尺度运动方程来获取湍流的平均特性，而将小尺度运动的耗散效果通过亚格网格尺度模型来考虑。

2.LES模型中，耗散过程主要由亚格网格尺度湍流黏度来刻画，它刻画了小尺度湍流对大尺度运动的阻尼作用。亚格网格尺度湍流黏度的选取是LES模型的关键，不同的亚格网格尺度湍流黏度模型会影响最终的模拟结果。

3.目前常用的亚格网格尺度湍流黏度模型包括斯马哥林斯基模型、WALE模型和动态Smagorinsky模型等。这些模型的具体形式不同，但其基本思想都是通过计算亚格网格尺度湍流能量或应变率来确定亚格网格尺度湍流黏度。

【直接数值模拟中的SUSY耗散】,直接数值模拟中的耗散处理

直接数值模拟（DNS）求解纳维-斯托克斯方程，通过显式时间推进求解演化过程，能够直接揭示湍流流动中的细节。然而，DNS计算成本高昂，并且受限于计算资源，无法模拟无限雷诺数的湍流。

耗散处理的必要性

随着雷诺数的增加，小尺度涡旋的耗散机制增强，DNS计算的网格尺寸必须减小以捕捉这些小尺度涡旋。然而，网格尺寸的减小导致计算成本急剧增加，使得高雷诺数湍流的DNS变得不切实际。

亚网格尺度模型（SGS）

为了解决这一问题，SGS模型被引入DNS中，将小尺度涡旋的影响传递到大尺度涡旋上。SGS模型通过对低于网格解析尺度的运动场进行建模，避免了对小尺度涡旋的显式求解，从而降低了计算成本。

耗散处理方法

SGS模型中耗散处理的方法有多种，主要可分为两类：

1.显式耗散处理

显式耗散处理方法直接给定SGS张量的表达式，以显式的方式计算湍流耗散。常用的显式耗散处理方法有：

-亚网格粘性方法（Smagorinsky模型）：采用经验公式计算亚网格粘性系数，并将其与网格滤波后的速度梯度相乘得到SGS张量。

-涡旋粘度模型（涡旋粘度法）：直接假设SGS张量与滤波后的速度梯度成正比，并引入一个经验系数（涡旋粘度）来表征湍流耗散。

2.隐式耗散处理

隐式耗散处理方法通过修改数值离散格式来实现湍流耗散，不需要显式地计算SGS张量。常用的隐式耗散处理方法有：

-尺度分离方法（LES）：通过引入空间滤波器将流场分解为求解尺度和亚网格尺度，然后采用显式的时间积分方法求解求解尺度的运动场，而亚网格尺度的运动场通过滤波操作隐式地包含在计算中。

-大型涡模拟（LES）：与尺度分离方法类似，但采用隐式的时间积分方法求解求解尺度的运动场，通过滤波操作将亚网格尺度的影响传递到大尺度涡旋上。

耗散处理的选择

耗散处理方法的选择取决于模拟的具体问题和网格分辨率。一般来说：

-显式耗散处理方法适用于较粗网格的模拟，可以提供较好的耗散控制。

-隐式耗散处理方法适用于较细网格的模拟，可以减少网格粘性的影响，但需要仔细调整数值离散格式以保证稳定性和准确性。

总结

耗散处理是直接数值模拟湍流流动的关键技术，通过引入SGS模型来模拟小尺度涡旋的影响，降低了计算成本，使高雷诺数湍流的模拟成为可能。不同的耗散处理方法适用于不同的网格分辨率和模拟问题，需要根据具体情况进行选择。第六部分湍流流动中耗散率的分布规律关键词关键要点【湍流耗散率分布规律】

1.湍流流动中耗散率的分布具有高度不均一性，局部区域可能存在极高耗散率斑块。

2.高耗散率区域通常位于湍流剪切层和涡旋的核心，与局部流场几何和涡旋动力学密切相关。

3.耗散率分布受流动雷诺数、边界条件和几何因素等因素的影响，在不同流动环境下表现出不同的特征。

【湍流耗散率与平均流之间的关系】

湍流流动中耗散率的分布规律

湍流流动中的耗散率分布遵循以下规律：

1.局部耗散率与湍流能量耗散率分布

局部耗散率ε(x,t)与湍流能量耗散率ε有关，湍流能量耗散率表示湍流能转换为内能的速率。在湍流场中，ε(x,t)的分布具有以下特点：

*间歇性分布：ε(x,t)表现为间歇性分布，这意味着它在湍流场中高度集中在特定的区域，称为“耗散涡”。

*多尺度分布：ε(x,t)在空间和时间上都具有多尺度分布。它包含从科尔莫戈洛夫尺度到积分尺度的所有尺度。

*自相似分布：在惯性区范围内，ε(x,t)在统计上表现出自相似性，这意味着它的概率分布函数在不同的尺度上具有相同的形状。

2.ε(x,t)的平均分布

在耗散涡以外的区域，ε(x,t)的平均分布可以近似为：

```

ε̄(x)=Cε²³/ℓ

```

其中：

*ε̄(x)是ε(x,t)在空间位置x处的平均值

*C是常数，约为0.2

*ε是湍流能耗散率

*ℓ是湍流积分尺度

该方程表明，ε(x,t)的平均值与湍流能耗散率和积分尺度成正比。

3.ε(x,t)的概率分布

ε(x,t)的概率分布可以近似为对数正态分布：

```

P(ε)=(1/σ√(2π))exp[-(1/2)((ln(ε)-μ)/σ)²]

```

其中：

*P(ε)是概率密度函数

*μ是对数平均耗散率

*σ是对数耗散率方差

对数正态分布表明ε(x,t)在统计上偏向于较高的值。

4.ε(x,t)与其他湍流量之间的关系

ε(x,t)与其他湍流量之间的关系可以由湍流运动方程导出。这些关系包括：

*与动能普适关系：ε(x,t)与动能密度k成正比，即ε(x,t)≈Cμk³/²，其中Cμ是常数。

*与涡旋伸缩率关系：ε(x,t)与涡旋伸缩率S相关，即ε(x,t)≈CεS²，其中Cε是常数。

*与剪切应变率关系：在剪切湍流中，ε(x,t)与剪切应变率S₁₂成正比，即ε(x,t)≈CεS₁₂²，其中Cε是常数。

5.耗散涡与湍流结构

ε(x,t)的高值区域，称为耗散涡，是湍流结构的重要组成部分。耗散涡是湍流能量耗散的中心，它们通常与涡旋的破裂和重组有关。

耗散涡具有以下特点：

*小尺度：耗散涡的尺寸通常远小于湍流积分尺度。

*高耗散率：耗散涡内的ε(x,t)远大于其周围区域。

*间歇性：耗散涡在空间和时间上是间歇性的，它们通常随机分布在湍流场中。

研究耗散涡对于理解湍流能量耗散和湍流结构至关重要。

总结

湍流流动中耗散率的分布具有间歇性、多尺度性和自相似性。它与湍流能耗散率、积分尺度、动能普适关系和耗散涡有关。理解耗散率的分布对于研究湍流过程和湍流模型的发展至关重要。第七部分耗散率对湍流结构的影响关键词关键要点湍流结构能量级联

1.湍流能量从大涡流向小涡流传递，这个过程称为能量级联。

2.能量级联的速率由耗散率决定，耗散率越大，能量级联越快。

3.能量级联使湍流中的小涡流更加活跃，大涡流更加平缓。

耗散尺度与积分尺度

耗散率对湍流结构的影响

耗散率（ε）是湍流能耗率的度量，它对湍流结构具有显著影响。本文探讨耗散率与湍流结构之间相互作用的各种机制：

1.涡破裂和耗散级联

湍流中的能量通过涡旋破裂从大尺度向小尺度传递，最终在最小的尺度上以粘性耗散的形式耗散。耗散率ε控制着涡旋破裂的速率和级联过程。较高的ε值会导致涡旋更快地破裂，从而限制其生长和存活时间。

2.局部等向性

在耗散率较高的区域，湍流倾向于变得更加局部等向性，这意味着湍流动能的分布在各个方向上更为均匀。这是因为高ε值加速了涡旋的破裂和再取向，从而减少了各向异性的流动模式。

3.涡尺度分布

耗散率影响湍流涡的尺度分布。在高ε值的情况下，大尺度涡被快速分解，导致小尺度涡的相对比例增加。相反，在低ε值下，大尺度涡更稳定，小尺度涡的比例较低。

4.能谱特征

耗散率决定了湍流能谱的形状。在高ε值下，能谱在较高的波数（即更小的尺度）下衰减得更快，导致所谓的“惯性区间”缩小。另一方面，在低ε值下，惯性区间更宽，表明大尺度涡的能量含量更高。

5.湍流强度和长度尺度

耗散率与湍流强度（平均动能）和长度尺度（积分尺度）密切相关。高ε值对应于较低的湍流强度和较小的长度尺度，因为能量迅速耗散。相反，低ε值与较高的湍流强度和较大的长度尺度相关。

数据和证据

这些相互作用的机制得到了广泛的实验和数值研究的支持：

*实验观察表明，提高耗散率会导致涡旋破裂加剧，局部等向性增加，涡尺度分布向小尺度转移。

*直接数值模拟（DNS）证实了耗散率对能谱形状和湍流统计量的影响。

*大涡模拟（LES）模型将湍流分解为可解析的大涡和未解析的小涡，并表明耗散率控制着大涡的动态和与小涡的相互作用。

应用

了解耗散率与湍流结构之间的关系对于广泛的应用至关重要，包括：

*湍流建模：耗散率是湍流输运方程组中的一个关键参数，影响着对湍流特征的预测。

*湍流控制：通过外部方法控制耗散率，可以改变湍流结构并优化流动性能。

*环境建模：湍流结构在天气预报、气候模拟和大气的物质输运中起着至关重要的作用。

*工业应用：理解耗散率对湍流结构的影响在湍流混合、热交换和流体机械装置的设计中至关重要。

总而言之，耗散率是湍流结构的一个关键因素，它影响着涡旋破裂、局部等向性、涡尺度分布、能谱特征、湍流强度和长度尺度。了解这些相互作用对于湍流建模、控制和在广泛应用中的预测至关重要。第八部分耗散过程的尺度分析与普适性关键词关键要点耗散过程的尺度分析与普适性

主题名称：湍流级联过程

1.湍流级联过程描述了湍流能量从大尺度向小尺度的转移，最终耗散为热能。

2.级联过程遵循能量守恒定律，大尺度能量经过一系列非线性相互作用传递到小尺度，并逐渐耗散。

3.级联过程的特征在于速度场能量的幂律分布，即能量谱密度与波数之间的关系遵循幂律。

主题名称：尺度相似性和自相似性

耗散过程的尺度分析与普适性

湍流耗散过程中的普适性描述了不同雷诺数和尺度下的湍流耗散速率的相似行为。尺度分析提供了理解这一普适性的框架，揭示了耗散过程与湍流特性的基本关系。

尺度分析

尺度分析基于白金汉π定理，该定理指出在一个具有n个变量和m个基本维度的物理系统中，可以形成n-m个无量纲的π参数。对于湍流耗散过程，基本变量包括耗散速率ε、湍动能k和湍流长度尺度L。因此，可以形成两个无量纲π参数：

*雷诺数：Re=k²/νL

*耗散数：D=ε/L²ν

其中，ν是流体动力粘度。

普适性

基于尺度分析，湍流耗散过程中的普适性可以表示为以下关系：

```

ε=C(ν/k)²/L²

```

其中，C是一个普适常数。这个关系表明，耗散速率与流体粘度的平方成反比，与湍动能的平方成正比，与湍流长度尺度的平方成反比。

耗散范围

在湍流耗散谱中，存在一个称为耗散范围的区域，其中耗散速率ε与湍流长度尺度L成线性关系。这对应于科尔莫戈罗夫理论中的惯性耗散范围：

```

ε∼L³

```

Kolmogorov常数

普适常数C可以通过与耗散范围相关的科尔莫戈罗夫常数K联系起来：

```

C=KRe⁻³/⁴

```

其中，Re是基于Kolmogorov长度尺度的雷诺数：

```

Reλ=k¹²/νLλ

```

其中，Lλ是Kolmogorov长度尺度，定义为：

```

Lλ=(ν³/ε)¹/⁴

```

实验验证

耗散过程的普适性得到了大量实验验证。例如，实验证明，湍流耗散速率与湍动能的平方成正比，与湍流长度尺度的平方成反比。此外，科尔莫戈罗夫常数K已通过实验确定为大约1.5。

物理解释

耗散过程的普适性可以用物理学解释。湍流耗散是由小尺度涡旋的相互作用引起的。这些涡旋的尺度和强度与湍流的整体特性有关。因此，耗散速率与湍动能和湍流长度尺度表现出普适性的关系。

耗散过程的尺度分析和普适性提供了对湍流