第16讲重难点拓展不等式恒成立能成立问题（三大题型归纳分层练）（原卷版）

第16讲重难点拓展：不等式恒成立、能成立问题目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01在R上的恒成立问题 2题型02在给定区间上恒成立的问题 4题型03简单的能成立问题 6分层练习 8夯实基础 8能力提升 14创新拓展 20题型01在R上的恒成立问题【解题策略】转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0；))ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ≤0；))ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))注意：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0.【典例分析】【例1】(1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围；(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．【变式演练】【变式1】若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2>0的解集为∅，则实数k的取值范围是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)≤k<0)))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)≤k<0))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)≤k≤0)))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)≤k≤0))))【变式2】（2324高一上·安徽亳州·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为.【变式3】（2324高一下·四川成都·开学考试）已知函数．(1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式．题型02在给定区间上恒成立的问题【解题策略】在给定区间上的恒成立问题(1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0；当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.(2)通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题【典例分析】【例2】当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围为________．【变式演练】【变式1】（2324高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为【变式2】设函数y＝mx2－mx－1,1≤x≤3，若y<－m＋5恒成立，则实数m的取值范围为________．【变式3】若对任意的－3≤x≤－1都有ax2－x－3<0成立，则实数a的取值范围是______．题型03简单的能成立问题【解题策略】能成立问题的解题思路(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决；(2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围【典例分析】【例3】若存在x∈R，使得eq\f(4x＋m,x2－2x＋3)≥2成立，求实数m的取值范围．【变式演练】【变式1】若关于x的不等式ax2＋x＋1>0在x∈[1,2]上有解，则实数a的取值范围为________．【变式2】（2324高一上·广东惠州·阶段练习）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为．【变式3】（2023高一·全国·单元测试）若存在实数，使得不等式成立，求x的取值范围．【夯实基础】一、单选题1．（2223高一上·甘肃金昌·期中）关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．2．（2324高一上·黑龙江牡丹江·期中）若不等式对恒成立，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．23．（2223高一上·湖北荆州·阶段练习）若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2324高一上·重庆·期末）函数的定义域为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题5．（2324高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．6．（2324高一上·湖北·期末）设，不等式恒成立的充分不必要条件可以是（

）A． B． C． D．三、填空题7．（2324高一上·山东滨州·期末）一元二次不等式对于一切实数都成立，实数的取值范围为.8．（2324高一上·河北承德·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为.9．（2324高一上·山东淄博·阶段练习）不等式对任意恒成立，则m的取值范围为．四、解答题10．（2324高一上·云南德宏·期末）已知．(1)若恒成立，求实数的取值范围；(2)求不等式的解集．11．（2324高一上·安徽芜湖·期末）设函数，关于的一元二次不等式的解集为．(1)求不等式的解集；(2)若，求实数的取值范围．【能力提升】一、单选题1．（2324高一上·安徽安庆·期末）“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．2．（2324高一上·河南·期中）“，”为假命题的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．3．（2324高一上·四川内江·期中）“”是“，”成立的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2122高一上·江苏徐州·阶段练习）若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题5．（2324高一上·四川广安·期末）“，”为真命题的充分条件可以是（

）A． B． C． D．6．（2324高一下·河北石家庄·开学考试）若命题“，”是假命题，则k的值可能为（

）A．0 B．1 C．2 D．3三、填空题7．（2324高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是．8．（2324高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数对任意实数都有成立，则实数的取值范围是.9．（2324高一上·江苏无锡·阶段练习）若是假命题，则实数的取值范围为．四、解答题10．已知对∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围．11．已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围．12．（2324高一下·江西上饶·开学考试）已知不等式.(1)若不等式的解集是或，求的值；(2)若不等式的解集是，求的取值范围.【创新拓展】一、单选题1．（2223高一上·江西宜春·阶段练习）已知二次函数，若，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题2．（2021高一下·四川绵阳·期中）若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是3．（2122高一上·辽宁沈阳·期中）不等式对于满足的所有的值都成立，则的取值范围为