9.2.4总体离散程度的估计课件高一下学期数学人教A版

第九章统计9.2用样本估计总体9.2.4总体离散程度的估计2.中位数：把一组数据按大小顺序排列,处在最中间的一个数据(或两个数据的平均数);在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等.1.众数：一组数据中重复出现次数最多的数;在频率分布直方图中，众数的估计值为最高矩形底边的中点．3.平均数：如果有n个数据那么这n个数的平均数在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.复习问题:有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：

甲7

8

7

9

5

4

9

10

7

4

乙9

5

7

8

7

6

8

6

7

7如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？777777两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数各为多少？甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7.从这个角度看，两名运动员之间没有差别.从上图看，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定．可见，他们的射击成绩是存在差异的．那么，如何度量成绩的这种差异呢？

一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差.可以发现甲的成绩波动范围比乙的大.甲命中环数的极差=10-4=6，乙命中环数的极差=9-5=4.极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少.思考：你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗?如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远．因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度．思考：如何定义“平均距离”?假设一组数据是x1,x2,…,xn，用表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即作为xi到

的“距离”.可以得到这组数据x1,x2,…,xn到的“平均距离为思考：为什么用“平均距离”刻画离散程度，用“总距离”行吗?为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即我们将其定义为这组数据的方差.有时为了计算方便，还把方差写成：由于方差的单位是原始数据单位的平方,与原始数据不一致.为了使二者单位一致,对方差开平方,取它的算术平方根,即我们称其为这组数据的标准差.思考：标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？[0,+∞)所有数据都相等总体方差、总体标准差的定义如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为

，则称

S2=

为总体方差，S=为总体标准差

．如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体方差为样本方差、样本标准差的定义如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为

，则称

s2=为样本方差，s=为样本标准差

．说明：标准差和方差刻画了数据的离散程度或波动幅度．标准差（或方差）越大，数据的离散程度越大；标准差（或方差）越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差.总体方差的计算12能获得总体中所有个体的观测值：直接计算总体的方差获得总体中所有个体的观测值困难：由s甲>s乙可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小.由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定.s甲=2，s乙≈1.095如果要从这两名选手中选择一名参加比赛,要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置.如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则可以选甲.回顾问题：两位射击运动员每次命中的环数如下：

甲7

8

7

9

5

4

9

10

7

4，

乙9

5

7

8

7

6

8

6

7

7，练习求52,49,48,55,47,48,56,53的方差及标准差．例题：在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？解：把男生样本记为，其平均数记为，方差记为；

把女生样本记为，其平均数记为，方差记为

；

把总体数据样本的平均数记为，方差记为；由,根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为我们可以计算出总样本的方差为51.4862，并据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.4862.归纳：分层随机抽样总样本方差的计算练习1.为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男员工，30名女员工，且男员工的平均体重为70kg，标准差为4，女员工的平均体重为50kg，标准差为6，则所抽取样本的方差为________.2.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：

问题：平均数反映数据的集中趋势，标准差刻画了数据离平均数的波动大小，那么将平均数和标准差综合在一起，是否能反映数据取值的信息．总体离散程度的估计极差一组数据中最大值与最小值的差.方差标准差

或分层随机抽样总体样本方差的计算估计样本中绝大部分数据的取值范围应用课堂小结1.不经过计算，你能给下列各组数的方差排序吗?（1）5，5，5，5，5，5，5，5，5；（2）4，4，4，5，5，5，6，6，6；（3）3，3，4，4，5，6，6，7，7；（4）2，2，2，2，5，8，8，8，8.练习解：方差由大到小为（4）（3）（2）（1）.课本213页2.数据x1，x2，…，xn的方差和标准差分别为，数据y1，y2，…，yn的方差和标准差为.若y1=ax1+b，y2=ax2+b，…，yn=axn+b成立，a,b为常数，证明证明：此题结论可当作公式直接运用.课本215页练习若给定一组数据x1，x2，…，xn，方差为s2.(1)ax1，ax2，…，axn的方差是________；(2)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差是________.a2s2a2s2练习2.若样本数据x1，x2，…，