第二学期高二年级数学周考答案（选填简案）

20232024学年第二学期高二年级数学周考考试范围：解析几何、统计案例、概率（满分150分，用时120分钟）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．题号1234567891011答案CDBBABBDBDACDAC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．13.14．四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）平面直角坐标系中，动点到的距离比到直线：的距离小2.(1)求动点的轨迹方程；(2)若过点且倾斜角为60°的直线与动点的轨迹交于，两点，求线段的长度.（1）由题意动点到的距离比到直线：的距离小2，即动点到的距离与点到直线：的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，所以，则，所以动点M的轨迹方程是.………………5分（2）由已知可得直线的方程是即，设，由得，，所以，则，故.………………13分16．（15分）为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．(1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率；(2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率．【详解】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，则，，所以第二题抽到的是概念叙述题的概率.………………6分（2）设事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题，事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是计算题，事件表示同学甲从甲箱中取出1个概念叙述题1个计算题，事件表示B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题，此时乙箱中有4道概念叙述题，3道计算题，故有，此时乙箱中有2道概念叙述题，5道计算题，故有，，此时乙箱中有3道概念叙述题，4道计算题，故有.………………15分17．（15分）己知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．(1)求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；(2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．【详解】（1）由题意可得，解得，因此，双曲线的方程为设，则，渐近线为，P到两条渐近线的距离之积.………………7分（2）由已知，得，设或，在双曲线上，所以，因此或，对称轴为，由于或，所以当时，取得最小值为.………………15分18．（17分）随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.小赵同学对某品牌新能源汽车近5年的广告费投入（单位：亿元）进行了统计，数据见下表：年份代号12345广告费投入4.85.66.27.68.8并随机调查了200名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见下表认可不认可50岁以下市民703050岁以上市民6040(1)求广告费投入与年份代号之间的线性回归方程，并求在样本点处的残差；(2)依据小概率值的独立性检验，分析市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度是否有关.(3)若以这200名市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度情况估计整体情况，则从全市市民中随机选取20人，记选到认可该品牌新能源汽车且50岁以上的市民人数为，求的数学期望与方差.附：①回归直线中，，；②，.0.10.010.0012.7066.63510.828【详解】（1），，则，则，故；………………5分当时，，所以残差.………………7分（2）零假设为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度无关.根据列联表中的数据，经计算得到.根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度无关.………………12分（3）若以这200名市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度情况估计整体情况，则从全市市民中随机选取1人，记选到认可该品牌新能源汽车且50岁以上的市民的概率为，若从全市市民中随机选取20人，记选到认可该品牌新能源汽车且50岁以上的市民人数为，则，所以数学期望与方差分别为.………………17分19．（17分）已知椭圆的长轴长为，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆上点处的切线方程是，过直线上一点引C的两条切线，切点分别是，①求证：直线恒过定点；②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.【详解】（1）由题意可知：，所以，所以，所以椭圆的方程为；………………4分（2）①设，由题设可知：，又因为经过点，所以，所以均在直线上，即，由，解得，所以直线过定点；………………10分②由①中，易知直线斜率不为0；设实数存在，因为，所以，