6.4用样本估计总体数字特征课件高一上学期数学北师大版

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用样本估计总体数字特征第六章统计北师大版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标课程标准1.会求样本的平均数、中位数、众数、百分位数.2.会求样本的极差、标准差与方差.3.通过应用相关知识解决实际统计问题,培养数据分析的核心素养.基础落实·必备知识一遍过知识点1

样本的数字特征1.众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数刻画了一组数据的集中趋势.(1)众数一组数据中,出现次数最多的数据就是众数.若有两个或几个数据出现的次数相等且都最多,则这些数都是这组数据的众数;若一组数据中,每个数据出现的次数都一样,则这组数据没有众数.(2)中位数一般地,将一组数据按从小到大的顺序排列后,“中间”的那个数据为这组数据的中位数.当数据有奇数个时,位于最中间位置的数就是中位数;当数据有偶数个时,位于最中间的两个数的平均数就是中位数.(3)平均数一组数据的平均值,数据x1,x2,…,xn的平均数为

=

.

名师点睛众数、中位数、平均数的比较名称优点缺点众数(1)体现了样本数据的最大集中点;(2)容易计算(1)它只能表达样本数据中很少的一部分信息;(2)无法客观地反映总体的特征中位数(1)不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响;(2)容易计算,便于利用中间数据的信息对极端值不敏感平均数反映出更多的关于样本数据全体的信息任何一个数据的改变都会引起平均数的改变,数据波动越大,对平均数的影响也越大2.极差、方差、标准差极差、方差、标准差刻画了一组数据的

.

(1)极差:数据中

和

的差.

(2)方差:设一组数据为x1,x2,x3,…,xn,其平均数为,则方差s2=

,其单位是原始观测数据单位的

,方差刻画的是数据偏离平均数的离散程度.

离散程度

最大值最小值平方

(3)标准差①定义:它是方差的算术平方根,s==

,其单位与原始数据的单位

.

②计算方法:先求出方差s2,再求方差的算术平方根,即得标准差s=.相同

名师点睛计算方差、标准差的步骤计算样本数据x1,x2,…,xn的标准差的算法如下:第一步:算出样本数据的平均数

;第二步:算出每个样本数据与样本平均数的差xi-(i=1,2,…,n);第三步:算出第二步中xi-(i=1,2,…,n)的平方;第四步:算出第三步中n个平方数的平均数,即为样本方差;第五步:算出第四步中平均数的算术平方根,即为样本标准差.思考辨析1.一组数据的众数可以有几个?中位数是否也具有相同的结论?提示

一组数据的众数可能有一个,也可能有多个,中位数只有唯一一个.提示

和a的几何意义如图所示.显然,标准差越大,则a越大,数据的离散程度越大,数据较分散;标准差越小,则a越小,数据的离散程度越小,数据较集中在平均数

的周围.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)频率分布直方图中,平均数左右两边的面积相等.(

)(2)如果一组数中每个数都减去同一个非零常数,则这组数的平均数改变,方差不变.(

)(3)标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散.(

)×√×2.[人教A版教材例题]某学校要定制高一年级的校服,学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.据统计,高一年级女生需要不同规格校服的频数如表所示.校服规格155160165170175合计频数39641679026386如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格,那么在中位数、平均数和众数中,哪个量比较合适?解

为了更直观地观察数据的特征,我们用条形图来表示表中的数据(图略).可以发现,选择校服规格为“165”的女生的频数最高,所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适.知识点2

分层随机抽样的均值与方差1.分层随机抽样的平均数(1)定义:一般地,将样本a1,a2,…,am和样本b1,b2,…,bn合并成一个新样本,则这个新样本的平均数为

w1,w2∈[0,1]自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)样本数据分为两层,其中一层的平均数为96,另一层的平均数为98,则样本数据的平均数为

=97.(

)(2)把一个样本分成两层,由每层数据的平均数和方差能求整个样本数据的平均数和方差.(

)××2.[人教A版教材习题]某学校有高中学生500人,其中男生320人,女生180人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息,采用分层随机抽样的方法抽取样本,并观测样本的指标值(单位:cm),计算得男生样本的均值为173.5,方差为17,女生样本的均值为163.83,方差为30.03.(1)根据以上信息,能够计算出总样本的均值和方差吗?为什么?(2)如果已知男、女生样本量按比例分配,你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗?(3)如果已知男、女生的样本量都是25,你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗?它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗?为什么?解

(1)不能.因为缺少男生样本量和女生样本量.它们分别作为总体平均数和方差的估计不合适,因为男、女生的身高差异较大,不能等量抽取样本.知识点3

百分位数

取值连续不断,不能一一列举

1.一般地,当总体是连续变量时,给定一个百分数p∈(0,1),总体的p分位数有这样的特点:总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.2.计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下:第一步,按照从小到大排列原始数据;第二步,计算i=np;第三步,若i不是整数,大于i的最小整数为j,则p分位数为第j项数据;若i是整数,则p分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.思考辨析1.“某数学测试成绩的70%分位数是85分”这句话是什么意思?

2.某班级人数为50,班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”,这里的“90%”是百分位数吗?提示

有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分.提示

不是.是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)50%分位数就是中位数.(

)(2)百分位数只能是总体数据中的数.(

)(3)若一组样本数据各不相等,则其75%分位数大于25%分位数.(

)(4)若一组样本数据的10%分位数是23,则在这组数据中有10%的数据大于23.(

)(5)若一组样本数据的24%分位数是24,则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.(

)√×√×√2.[人教B版教材例题]给定甲、乙两组数如下所示,计算其75%分位数.序号12345678910甲组1222233355乙组0000112345序号11121314151617181920甲组668891010121313乙组6677101414141415重难探究·能力素养速提升探究点一平均数、众数、中位数的求法【例1—1】

某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球40个,命中个数如下所示:甲:20,22,27,8,12,13,37,25,24,26乙:14,9,13,18,19,20,23,21,21,11则下面结论中正确的是

(填序号).

①甲的极差是29;②乙的众数是21;③甲的平均数为21.4;④甲的中位数是24.①②③解析

把两组数据按从小到大的顺序排列,得甲:8,12,13,20,22,24,25,26,27,37乙:9,11,13,14,18,19,20,21,21,23故甲的最大值为37,最小值为8,则极差为29,所以①正确;乙中出现最多的数据是21,所以②正确;甲的平均数为【例1-2】

在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示.成绩/m1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.(结果精确到0.01)解

在17个数据中,1.75出现了4次,出现的次数最多,即这组数据的众数是1.75.题目中表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的,其中第9个数据1.70是最中间的一个数据,即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是所以这17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75,1.70,1.69.规律方法

求中位数、众数、平均数的注意事项求中位数的关键是将数据排序,一般按照从小到大的顺序排列.中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数没有影响.中位数可能在所给数据中,也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述数据的集中趋势确定众数的关键是统计各数据出现的频数,频数最大的数据就是众数.当一组数据中有不少数据多次重复出现时,众数往往更能反映数据的集中趋势平均数与每一个样本数据都有关,受个别极端数据(比其他数据大很多或小很多的数据)的影响较大,因此若在数据中存在少量极端数据,平均数对总体估计的可靠性较差,这时往往用众数或中位数去估计总体.有时也采用剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计总体变式训练1(1)16位参加百米赛跑半决赛同学的成绩各不相同,按成绩取前8位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后,要判断能否进入决赛,则其他15位同学成绩的下列数据中,能使他得出结论的是(

)A.平均数

B.极差

C.中位数

D.方差C解析

判断能否进入决赛,只要判断是不是前8名,所以只要知道其他15名同学的成绩中是不是有8名高于他,也就是把其他15名同学的成绩排列后看第8名的成绩即可,小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛,低于这个成绩就不能进入决赛,这个第8名的成绩就是这15名同学成绩的中位数.(2)已知一组数据按从小到大排列为-1,0,4,x,6,15,且这组数据的中位数是5,那么该组数据的众数是

,平均数是

.

65探究点二方差和标准差的计算及应用【例2】

甲、乙两台机床同时加工直径为100cm的零件,为检验质量,各从中抽取6件测量,数据为:甲:99,100,98,100,100,103;乙:99,100,102,99,100,100.(1)分别计算两组数据的平均数及方差;(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同,又

,所以乙机床加工零件的质量更稳定.规律方法

标准差(方差)的两个作用(1)标准差(方差)越大,数据的离散程度越大;标准差(方差)越小,数据的离散程度越小.(2)在实际应用中,常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下,比较方差或标准差以确定稳定性.变式训练2已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,标准差是,则xy=

.

96解析

由题意得9+10+11+x+y=50,所以x+y=20.又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10,得x2+y2-20(x+y)=-192,(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,xy=96.故填96.探究点三求百分位数【例3—1】

某市3月1日至3月10日的最低气温(单位:℃)折线统计图如图所示,由图可知这10天最低气温的80%分位数是(

)A.-2 B.0

C.1

D.2D解析

由折线图可知,这10天的最低气温按照从小到大的排列为-3,-2,-1,-1,0,0,1,2,2,2.因为共有10个数据,所以10×80%=8,是整数,则这10天最低气温的80%分位数是★【例3—2】

为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,你能估计一下60株树木的50%分位数和75%分位数吗?解

在[80,90)的频数为60×0.15=9,在[90,100)的频数为60×0.25=15,在[100,110)的频数为60×0.3=18,在[110,120)的频数为60×0.2=12,在[120,130]的频数为60×0.1=6.从以上数据可知50%分位数落在区间[100,110)上,综上可知,50%分位数和75%分位数分别估计为103.3,112.5.规律方法

计算一组n个数据的p分位数的步骤第1步,按从小到大排列原始数据.第2步,计算i=n×p.第3步,若i不是整数,大于i的最小整数为j,则p分位数为第j项数据;若i是整数,则p分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.变式训练3(1)已知100个数据的75%分位数是9.3,则下列说法正确的是(

)A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据C.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第74个数据的平均数C解析

因为100×75%=75,为整数,所以第75个数据和第76个数据的平均数为75%分位数,是9.3,故选C.★(2)从某珍珠公司生产的产品中,任意抽取12颗珍珠,得到它们的质量(单位:g)如下:7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.①分别求出这组数据的25%,50%,95%分位数;②请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量;③若用25%,50%,95%分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品,依照这个样本的数据,给出该公司珍珠等级的划分标准.解

①将所有数据从小到大排列,得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9.因为共有12个数据,所以12×25%=3,12×50%=6,12×95%=11.4,②因为共有12个数据,所以12×15%=1.8,则15%分位数是7.9

g,即产品质量较小的前15%的产品有2个,它们的质量分别为7.8

g,7.9

g.③由①可知样本数据的25%分位数是8.15

g,50%分位数为8.5

g,95%分位数是9.9

g,所以质量小于或等于8.15

g的珍珠为次品,质量大于8.15

g且小于或等于8.5

g的珍珠为合格品,质量大于8.5

g且小于或等于9.9

g的珍珠为优等品,质量大于9.9

g的珍珠为特优品.本节要点归纳1.知识清单:(1)众数、中位数、平均数、极差、方差和标准差的意义与计算;(2)样本数据数字特征的应用;(3)分层随机抽样的均值与方差;(4)百分位数.2.方法归纳:数据分析、统计.3.常见误区:未对数据排序导致求中位数错误;方差与标准差计算错误;求百分位数时,未排序导致错误.学以致用·随堂检测促达标123451.(多选题)下列说法中,正确的是(

)A.数据2,4,6,8的中位数是4,6B.数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4C.一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据D.8个数据的平均数为5,另3个数据的平均数为7,则这11个数据的平均数是BCD解析

数据2,4,6,8的中位数为

=5,显然A是错误的,B,C,D都是正确的.123452.已知一组数据:125,121,123,125,12