第03讲直线与平面的位置关系（4个知识点4种题型强化训练）原卷版

第03讲直线与平面的位置关系课程标准学习目标1.通过基本事实4和等角定理，培养直观想象的核心素养．2．借助直线与平面平行的判定与性质定理，提升逻辑推理的核心素养.3.通过学习直线与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.4.通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养.1.能认识和理解空间直线平行的传递性，了解等角定理．(重点)2．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点)3．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点)4.了解直线与平面垂直的定义．(重点)5.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(难点)5.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点)7.能利用直线与平面垂直的判定定理和性质定理进行证明．(重点)知识点01：直线与平面平行（1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（2）性质注意：用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：(1)直线a在平面α外，即a⊄α.(2)直线b在平面α内，即b⊂α.(3)两直线a，b平行，即a∥b.【即学即练1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.知识点02：直线与平面垂直1．直线与平面垂直的定义如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．2.直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．3．直线与平面垂直的性质定理如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．4．与线面垂直有关的重要结论(1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线．(2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行．(4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．【即学即练2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD.知识点03：直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA斜足斜线和平面的交点，如图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO；规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°取值范围设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°【即学即练3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．知识点04：三垂线定理平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直:【即学即练4】（2023秋•长宁区校级期中）如图，矩形的长，宽，若平面，矩形的边上至少有一个点，使得，则的范围是．题型01证明线面平行【解题策略】应用判定定理证明线面平行的步骤“找”是证题的关键，其常用方法有：（1）空间直线平行关系的传递性法；（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法；（4）成比例线段法．【例1】（2223高二上·上海浦东新·期末）如图，在正方体中，为的中点.(1)求异面直线与所成的角；(2)判断与平面的位置关系，并说明理由.【变式11】．（2324高二上·上海宝山·阶段练习）如图，已知点是平行四边形所在平面外的一点，，分别是，的中点，求证：平面.【变式12】．（2122高二上·上海浦东新·阶段练习）（1）请用符号语言叙述直线与平面平行的判定定理；（2）把（1）中的定理用反证法证明；（3）如图，在正方体中，点N在上，点M在，且，求证：平面（用（1）中所写定理证明）

【变式13】如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.题型02证明线面垂直【解题策略】证明线面垂直的方法(1)由线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直．(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.【例2】．（2324高二上·上海·课后作业）如图，四边形是矩形，，，平面，，．点为线段的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；【变式21】．（2223高二下·上海普陀·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，O是BD的中点．

(1)求证：平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的大小．【变式22】．（2324高三上·上海宝山·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，分别为棱的中点，，平面平面.求证：

(1)平面；(2)平面．【变式23】．（2324高二下·上海·期中）如图，长方体中，，与底面所成的角为．(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的大小．题型03直线与平面所成的角【解题策略】求直线与平面所成的角的步骤(1)作(找)——作(找)出直线和平面所成的角．(2)证——证明所作或找到的角就是所求的角并指出线面的平面角．(3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形)．(4)答．【例3】．（2324高二下·上海·期末）如图，在长方体中，已知，，点为棱的中点．求直线与平面所成角的正切值．【变式31】（2324高二下·上海虹口·期末）如图所示，圆柱的母线长为2，矩形是经过的截面，点为母线的中点，点为弧的中点.(1)求异面直线与所成角的大小；(2)若圆柱的侧面积为，求直线与平面所成角的正弦值的大小.【变式32】．（2024·上海松江·二模）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点.(1)设平面与直线相交于点，求证：；(2)若，，，求直线与平面所成角的大小.【变式33】．（2324高二下·上海·期中）如图，在正三棱柱中，，此三棱柱的体积为，为侧棱上点，且，、分别为、的中点.(1)求异面直线与所成角的大小；(2)求与平面所成角的大小.题型04证明线线平行的常用方法【解题策略】证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．【例4】．（2425高二·上海·假期作业）图1是由正方形组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿折起使得E与F重合，如图2．设平面平面，证明：；【变式41】（2324高二下·上海青浦·期末）如左下图1，是水平放置的矩形，，将矩形沿对角线折起，使得平面平面，如右下图2．设O是的中点，D是的中点．(1)求直线与平面所成角的大小；(2)连接，设平面与平面的交线为直线l，求证：．【变式42】．（2023高二上·上海·专题练习）如图，平面平面，，，垂足分别为，，直线平面，.求证：.【变式43】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.一．选择题1．（2023秋•嘉定区校级期中）已知直线，和平面，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023秋•普陀区校级期中）在正方体的底面内有一点，且平面，则的最小值是A． B． C．1 D．3．（2022秋•长宁区校级期中）下列四个正方体图形中，、、、、分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出平面的图形是A． B． C． D．二．填空题4．（2023秋•松江区校级月考）已知a，b为两条不同的直线，α为一个平面，且a∥α，b⊂α，则直线a与b的位置关系是．【分析】根据线面，线线关系判断即可．【解答】解：∵a∥α，b⊂α，∴a和b没有公共点，∴a，b平行或异面．故答案为：平行或异面．【点评】本题考查了线线，线面关系，是基础题．5．（2023秋•普陀区校级月考）设常数．如图，在矩形中，，，平面．若线段上存在点，使得，则的取值范围是．6．（2023秋•浦东新区期末）已知正方体，点为线段上的点，则满足平面的点的个数为．7．（2023秋•松江区校级月考）已知点，，，均在半径为2的球面上，满足，，，若平面，则．三．解答题8．（2023秋•普陀区校级期中）如图，在直三棱柱中，已知，，，为的中点．（1）求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）；（2）求证：平面．9．（2023秋•黄浦区校级月考）（1）请用符号语言叙述直线与平面平行的判定定理；（2）把（1）中的定理用反证法证明；（3）如图，在正方体中，点在上，点在，且，求证：平面（用（1）中所写定理证明）10．（2024春•嘉定区校级期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：AB∥平面A1DCB1；（2）求直线A1B与B1C所成的角的大小；（3）求证：BC1⊥平面A1DCB1．11．（2023秋•浦东新区校级月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．12．（2023秋•徐汇区校级期中）如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，、分别是、的中点．（1）证明：平面．（2）鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称．右图中是否能找到鳖臑，若能，写出一个并证明；若不能，说明理由．13．（2023秋•杨浦区校级期末）在直三棱柱中，，，，是的