2024-2025学年湖南省邵阳市高二上学期入学考试数学检测试题（含答案）

2024-2025学年湖南省邵阳市高二上学期入学考试数学检测试题第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的实部和虚部分别是（）A．1，1 B．1，i C． D．2．已知向量，，，若，则（）A． B．0 C．1 D．23．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（）A．2 B． C．3 D．4．已知向量，，则在方向上的投影数量为（）A． B． C． D．5．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减6．已知，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（）A． B． C． D．8．已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（）A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件：甲骰子点数为奇数，事件：乙骰子点数为偶数，事件：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（）A．事件与事件对立 B．事件与事件相互独立C．事件与事件相互独立 D．10．在中，角的对边分别为，，，为的外心，则（）A．若有两个解，则B．的取值范围为C．的最大值为9D．若为平面上的定点，则点的轨迹长度为★11．为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论正确的有（）A．当直线与成角时，与成角；B．当直线与成角时，与成角；C．直线与所成角的最小值为；D．直线与所成角的最大值为．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．*12．如图，在同一个平面内，向量的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为．若，则______．*13．已知直四棱柱的棱长均为2，．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为______．14．已知函数，若函数，当恰有3个零点时，求的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．15．（本小题满分13分）某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：，，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求第七组的频率；（2）用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）现从500名学生中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率．★16．（本题满分15分）如图，已知多面体均垂直于平面，，，，（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．★17．（本题满分15分）记是内角的对边分别为．已知，点在边上，．（1）证明：；（2）若，求．*18．（本题满分17分）如图，四棱锥中，为矩形，平面平面．（1）求证：；（2）若，，，问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值．19．（17分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，．作：，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定．（1）分别根据下列已知条件求；①，；②，；（2）若向量，求证：（3）记，，，且满足，，，求的最大值．高二上学期入学考试数学答案第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678ABCDABCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011BCABDBC11．由题意，是以为轴，为底面半径的圆锥的母线，由，，又圆锥底面，在底面内可以过点，作，交底面圆于点，如图所示，连结，则，连结，等腰中，，当直线与成角时，，故，又在中，，，过点作，交圆于点，连结，由圆的对称性可知，为等边三角形，，即与成角，B正确，A错误．由最小角定理可知正确；很明显，可以满足平面直线，直线与所成的最大角为，D错误．正确的说法为BC．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．313．14．13．【正确答案】．解析：如图：取的中点为的中点为的中点为，因为，直四棱柱的棱长均为2，所以为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得．四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）【解】（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：；（2）用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分为：（3）由频率分步直方图可知的频数为，的频数为，所以两组人数比值为，按照分层抽样抽取5人，则在，分别抽取3人和2人，记这组三人的编号为这组两人的编号为，故从5人随机抽取2名，共10种情况，为：，，，，，，，，，设事件“从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组”则，共6种情况．故，即从这5个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为．16．【正确答案】（1）详见解析；（2）．方法一：（常规做法）（1）由，，，，，得，所以，故．由，，，，，得，由，，得，由，得，所以，故．又因为，，平面，所以平面．（2）如图，过点作，交直线于点，连结．由平面，平面，可得，又，，所以平面，所以就是与平面所成的角．由，，得：，．所以，故．因此，直线与平面所成的角的正弦值是．方法二：（建系向量法）（1）如图，以的中点为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系．由题意知各点坐标如下：，，，，因此，，，由，得．由，得．又因为，所以平面．（2）设直线与平面所成的角为．由（1）可知，，，设平面的法向量，由，即，可取，所以．因此，直线与平面所成的角的正弦值是．17．解析：（1）由题设，，由正弦定理知：，即，，又，得证．（2）由题意知：，，，，同理，，整理得，又，，整理得，解得或，由余弦定理知：，当时，不合题意；当时，；综上，．18．解析：（1）证明：为矩形，故，又平面平面平面平面所以平面，因为平面，故．（2）解：过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，连接．故平面，平面，在直角三角形中，，，，设，则，，故四棱锥的体积为因为故当时，即时，四棱锥的体积最大．建立如图所