2023年四川省凉山州中考数学真题含解析

凉山州2023年初中毕业暨高中阶段学校招生考试

数学试卷

试卷满分150分考试时间120分钟

A卷（共100分）

第I卷选择题（共48分）

一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确

的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置.

1.下列各数中，为有理数的是（）

A.册B.3.232232223…C.1D.夜

2.如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，

则这个几何体的主视图是（）

俯视图

3.若一组数据入,为，七，…，Z的方差为2，则数据％+3,工2+3,刍+3,…，居+3的方差是（）

A.2B.5C.6D.11

4.下列计算正确的是（)

A.B.a1+2a2=3a4C.(2明3=8*D.(a-b)2=a2-b2

5.2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营.据统计12月26日至1月25日，累计发送旅客144.6

万人次.将数据144.6万用科学记数法表示的是（）

A1.446xl05B.1.446xlO6C.0.1446xl07D.1.446xlO7

6.点产（2,-3）关于原点对称的点p的坐标是（）

A.(2,3)B.(-2,-3)C.(-3,2)D.(-2,3)

7.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同,

所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，/1=45。,/2=120。，则N3+N4=（）

]

1二力左二二]

曲¥二----二-二-二1

A.165°B.1550C.105°D.90°

8.分立士土的值为0,则x的值是（）

x-1

A.0B.-1C.1D.0或1

9.如图，在ZXAB尸和△OCE中，点E、尸在8C上，BE=CF,ZB=NC,添加下列条件仍无法证

明ZXA3尸0△DCE的是（）

AD

BEFC

A.ZAFB=/DECB.AB=DCC.ZA=ZDD.AF=DE

大于148为半径画弧，两弧分别交于

10.如图，在等腰JRC中，ZA=40°,分别以点A、点8为圆心,

2

点M和点N,连接MV,直线MN与AC交于点D,连接5。，则的度数是（）

A

金

A.20°B.30°C.40°D.50°

11.如图，在CX)中，QAJ_BC,ZADB=30°,BC=2+，则OC=()

A.1B.2C.2石D.4

12.已知抛物线、=欠2+瓜+°（。/0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A.abc<0B.4。-2Z?+cvOC.3a+c=0D.anr+bm+a<0

（〃为实数）

第n卷非选择题（共52分）

二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）

13.计算（万一-.

14.已知J一切），+1是完全平方式，则切的值是.

15.如图，u48co的顶点。、4。的坐标分别是（0,0）、（3,0）、（1,2）.则顶点8的坐标是

5x+2>3（x-l）

16.不等式组413的所有整数解的和是

-x-l<7——x

122

17.如图，在RlZ\A5C纸片中，Z4CB=90°,8是48边上的中线,将ACZ）沿CO折叠，当点A落

在点A处时，恰好若BC=2,则CA'=

（2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A行驶到点8是否超速？并通过计算说明理由.（参

考数据：1.4,73«1.7）

22.如图，YA5CD中，对角线AC与3。相交于点O，Z1CAB=ZACB,过点8作座_LA8交AC于

点E.

(1)求证：ACIBDx

(2)若AB=10,AC=\6,求。后的长.

B卷（共50分）

四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）

23.已知“2—2x—1=0,贝|」3'3—1012一5X+2027的值等于.

24.如图，边长为2的等边的两个顶点48分别在两条射线0”、。呼上滑动，若OM上ON,则

OC的最大值是.

五、解答题（共4小题，共40分）

25.凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区.经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业

博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县“，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况,

购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销.在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资

中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克.共需72元人民币.

（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？

（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙

多少千克？

26.阅读理解题：

阅读材料：

如图1,四边形ABC。是矩形，ZkAEF是等腰直角三角形，记/R4E为。、NFAD为。，若

tana=：,则tan/?=；

易证AAEB^AEFC(AAS)

:・EC=2k,CF=k,

:.FD=k、AD=3k

DFk\

*.tanp=

~AD~3k~3

若a+夕=45°时，当iana='，则tan〃=L

23

同理：若a+6=45°时，当tana=-,则tan/7=g.

根据上述材料，完成下列问题：

如图2,直线y=3x—9与反比例函数y=—(x>0)图象交于点A,与工粕交于点3.将直线4B绕点

x

A顺时针旋转45°后的直线与>轴交于点£1,过点A作AM_Lx轴于点过点A作ANJL)轴于点

N,已知04=5.

(2)直接写出tanZBAMAanZNAE的值；

(3)求直线AE的解析式.

27.如图，CO是OO的直径，弦A8J_CD,垂足为点尸，点尸是CD延长线上一点，DELAP，垂足

为点E，NEAD=ZFAD.

<1)求证：AE是I。的切线；

(2)若PA=4,PD=2,求OO的半径和Of的长.

28.如图，已知抛物线与％轴交于4。,0)和8(-5,0)两点，与丁轴交于点C.直线y=-3工+3过抛物线

顶点P.

（2）若直线％=加（-5＜加＜0）与抛物线交于点E，与直线3。交于点尸.

①当ER取得最大值时，求〃？的值和石厂的最大值;

②当△加C是等腰三角形时，求点E的坐标.

凉山州2023年初中毕业暨高中阶段学校招生考试

数学试卷

试卷满分150分考试时间120分钟

A卷（共100分）

第I卷选择题（共48分）

一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确

的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置.

1.下列各数中，为有理数的是（）

A.册B.3.232232223…C.1D.夜

【答窠】A

【解析】

【分析】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得.

【详解】解：A、我=2,是有理数，则此项符合题意；

B、3232232223…是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意；

C、三是无理数，则此项不符合题意；

D、正是无理数，则此项不符合题意；

故选:A.

【点睛】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键.

2.如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，

则这个几何体的主视图是（）

俯视图

【答案】B

【解析】

【分析】根据俯视图可确定主视图的列数和小正方形的个数，即可解答.

【详解】解：由俯视图可得主视图有2列组成，左边一列由2个小正方形组成，右边一列由1个小正方形

组成.

故选：B.

【点睛】本题考杳了由三视图判断几何体的知识，由几何体的俯视图可确定该几何体的主视图和左视图，

要熟练掌握.

3.若一组数据%,%，七，…，血的方差为2，则数据芭+3,工2+3,刍+3,…,乙+3的方差是（）

A.2B.5C.6D.11

【答案】A

【解析】

【分析】根据方差的定义进行求解，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加3,所以波动不

会变，方差不变.

【详解】解：当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这人数，设原平均数为亍，现在

的平均数为元+3,

原来的方差s；=-x）2+（/—亍y+…+（X„-X）2］=2,

现在的方差S；=:［（M+3—无一3y+（w+3—元一3『+...+（七+3-元一3）2,

=—［（-^1一元产+（%2一元）？+…+（X”—亍）’］，

=2.

故选：A.

【点睛】本题考查了方差的定义.当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方

差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个

数，方差变为这个数的平方倍.

4.下列计算正确的是（）

A.a2a4=a8B.a2+2a2=3a4C.［2a2b^）=Sa6b3D.（a-b）2=a2-b2

【答案】C

【解析】

【分析】利用同底数恭的乘法法则，合并同类项法则，鼎的乘方法则，积的卖方法则和完全平方公式分别

计算，即可得出正确答案.

【详解】解：A.。2./=。6,故该选项错误，不合题意；

B.苏+2储=3〃2,故该选项错误，不合题意；

C.。/6丫=8*从，故该选项正确，符合题意；

D.（°一加2=a2一2"+/,故该选项错误,不合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查同底数基的乘法、合并同类项、基的乘方，积的乘方和完全平方公式等知识点，熟练掌

握各项运算法则是解题的关键.

5.2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营.据统计12月26日至1月25日，累计发送旅客144.6

万人次.将数据144.6万用科学记数法表示的是（）

A.1.446xl05B.1.446xl06C.0.1446x10?D.1.446xlO7

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表现形式为a*10"的形式，其中1＜忖＜10,〃为整数，确定〃的值时，要看把

原数变成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，

〃是正数，当原数绝对值小于1时〃是负数；由此进行求解即可得到答案.

【详解】解：144.6万=1.446x1（）6,

故选B.

【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义.

6.点P（2,—3）关于原点对称的点p的坐标是（）

A.（2,3）B.（-2,-3）C.（-3,2）D.（-2,3）

【答案】D

【解析】

【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案.

【详解】解：点尸（2,—3）关于原点对称的点p，的坐标是（一2,3）,

故选D.

【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题的关键是记住“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都

互为相反数”.

7.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同,

所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，Nl=45°,N2=120。，则N3+N4=()

A.165°B.155°C.105°D.90°

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.

【详解】解：如图所示，AB//CD,光线在空气中也平行，

.Zl=45°,Z2=120°,

.•.N3=45。，Z4=180°-120°=60°.

/.N3+Z4=45°+60°=105°.

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.

2

8.分式的值为0,则x的值是()

x-1

A.OB.-IC.1D.0或1

【答案】A

【解析】

【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可.

1

【详解】解：•・•分式x二—^X的值为0,

x-l

x^-x=O

，

x-lwO

解得R=O,

故选A.

【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0,分母不为。是解题的关

键.

9.如图，在AAB尸和△DCE中，点E、尸在8C上，BE=CF,ZB=NC,添加下列条件仍无法证

明且△DCE的是（）

A.ZAFB=/DECB.AB=DCC.ZA=ZDD.AF=DE

【答案】D

【解析】

【分析】根据3E=C/，可得BF=CE,再根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解.

【详解】解：•・・3E=b,

:・BF=CE,

VZB=ZC,

A、添加NAFB=NDEC,可利用角边角证明△ABF名△DCE,故本选项不符合题意；

B、添加A3=DC,可利用边角边证明△Abf'0ZkDCE,故本选项不符合题意；

C、添加NA=/。，可利用角角边证明AAB9父△DCE,故本选项不符合题意；

D、添加A/=£>£：,无法证明ZXAB/丝△OCE,故本选项不符合题意；

故选：D

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

10.如图，在等腰以3C中，ZA=40°,分别以点A、点8为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于

2

点M和点N,连接MN,直线MN与47交于点。，连接则/OBC的度数是（）

A

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】B

【解析】

【分析】先根据等边对等角求出NA3C=70。，由作图方法可知，MN是线段A8的垂直平分线，则

AD=BD，可得NA3£）=NA=40。，由此即可得到NO8C=ZABC—NA8O=30°.

【详解】解：:在等腰“5C中，ZA=40°,AB=AC，

：.ZABC=ZACB==70°,

2

由作图方法可知，MN是线段A4的垂直平分线，

:・AD=BD，

：.ZABD=ZA=40°f

・•・/DBC=ZABC-ZABD=30°,

故选B.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，三角形内角和定理等

等，灵活运用所学知识是解题的关键.

11.如图，在QO中，OA1BC,NADB=30。，BC=2&，则OC=（）

A.1B.2C.2石D.4

【答案】B

【解析】

【分析】连接。8,由圆周角定理得NAO3=60。，由QAJ_3c得，ZCOE=ZBOE=60°,

CE=BE=5在Rt^OCE中，由0。二一多，计算即可得到答案.

sin60°

【详解】解：连接。8,如图所示，

ZADB=30°,

Z40B=2ZAZ)B=2x30°=60°,

OA1BC,

:.NCOE=/BOE=60。,CE=BE==BC==义26=6

22

在RtaOCE中，ZCOE=60°,CE=B

•,"=磊春2

2

故选：B.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解宜角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂

径定理，添加适当的辅助线.

12.已知抛物线丁=奴2+灰+«。工0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

B.4tz-22?+c<0C.3a+c=0D.am2+btn+a<0

（机为实数）

【答案】C

【解析】

【分析】根据开口方向，与y轴交于负半轴和对称轴为直线x=l可得々＞0,c＜0,匕=一2。＜0,由此

即可判断A；根据对称性可得当工二-2时，y>0,当x=-l时，y=0,由此即可判断B、C；根据抛物

线开口向上，对称轴为直线x=l,可得抛物线的最小值为一a+c,由此即可判断D.

【详解】解：•.•抛物线开口向上，与），轴交于负半轴，

•♦4>0,CV0,

•・•抛物线对称轴为直线1=1,

:.---=1,

2a

:.b--2a<0，

：・abc>3故A中结论错误，不符合题意；

・・•当x=4时，y>0,抛物线对称轴为直线x=l,

.••当K=-2时，y>0,

・・・4々-力+c>0,故B中结论错误，不符合题意；

•・•当工=3时，y=0,抛物线对称轴为直线x=l,

.,•当x=-l时，y=0,

:.a-b+c=0,

又,：b=-2a,

・・・3a+c=0,故C中结论正确，符合题意；

•・•抛物线对称轴为直线x=l,且抛物线开口向上，

，抛物线的最小值为。+力+c=a-2a+c=-a+c,

:.anr+bin4-c>-a+c»

anr+bm+0.故D中结论错误，不符合题意：

故选C.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟练掌握二次函数的相

关知识是解题的关键.

第n卷非选择题（共52分）

二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）

13.计算（4一3.14）°+J（近一,=.

【答案】a

【解析】

【分析】根据零指数累、二次根式的性质进行计算即可.

【详解】(^-3.14)°+^(72-1)2

=l+x/2-l

=y/2.

故答案为：夜.

【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质等知识，掌握任何一人不为零的数的零次基都是1

是解题的关键.

14.已知J一阳y+1是完全平方式，则/的值是.

【答窠】±2

【解析】

【分析】根据(。±8丫=储±2"+加，计算求解即可.

【详解】解：・・・丁一〃少+i是完全平方式，

—m=±2,

解得m=±2,

故答案为：±2.

【点睛】本题考查了完全平方公式.解题的关键在于熟练掌握：(〃土力『二/±加+/.

15.如图，oABCO的顶点O、AC的坐标分别是(0,0)、(3,0)、(1,2).则顶点B的坐标是.

【答案】(4,2)

【解析】

【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点3的纵坐标与点C的纵坐标相等，且

BC=OA=3>,即可得到结果.

【详解】解：在uABCO中，0(0,0),4(3,0),

BC=OA=3>

・・・BC//AO,

，点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，

5（4,2）,

故答案为：（4,2）.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的性质，此题充分利用了“平行四边形的对边相

等且平行”的性质.

5x+2>3（x-l）

16.不等式组｛13的所有整数解的和是.

-x-l<7——x

122

【答案】7

【解析】

【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解，最后求和即可.

,5x+2>3（x-l）①

【详解】解：h3…，

122

由①得：5x—3x>—3—2,

***2x>—5，

解得：x>—；

2

由②得：x-2<14-3x,

整理得：4x«16,

解得：x<4,

・•・不等式组的解集为：-2<X«4,

2

，不等式组的整数解为：一2，-1,0,1,2,3,4；

・・・-2+（-1）+0+1+2+3+4=7,

故答窠为：7

【点睛】本题考查的是求解一元一次不等式组的整数解，熟悉解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题

的关键.

17.如图，在RtAABC纸片中，ZACB=90°,CO是A5边上的中线，将eACD沿CD折叠，当点A落

在点A'处时，恰好若BC=2,则CA'二.

A9

【答案】2石

【解析】

【分析】由Rt4ABC,ZACB=90°,CO是48边上中线，可知CD=AD，则NACD=NA,由翻

折的性质可知，ZACD=ZA'CD>A'C=AC,则NACD=NA'CD=NA,如图，记AC与A8的交

点为E，ZCE4=90°,由NCE4+4CD+NA'Cr>+NA=180。，可得44=30。，根据

A'C=AC=-^—,计算求解即可.

tanNA

【详解】解：•••氐△ABC,ZACB=90°,CO是AB边上的中线，

:.CD=AD，

・..ZACD=ZA,

由翻折的性质可知，ZACD=ZA'CD»A'C=AC，

:.ZACD="CD=ZA，

如图，记AC与A8的交点为E,

・•・ZCE4=90°，

•・•ZCEA+AACD+ZACD+ZA=180°,

AZ4=30°,

・•・AfC=AC=^^—=2>/3,

tanNA

故答案为：2G.

【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等边对等角，三角形内角和定

理，正切.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

/1\2O23

18.先化简，再求值：（2x+y）2—（2x+y）（2x—y）—2y（x+y）,其中,y=22022.

、2,

【答案】2xyt1

【解析】

【分析】根据（。±力）2=/±2"+62,（a+b）（〃—=单项式乘以多项式法则进行展开，再加

减运算，代值计算即可.

【详解】解：原式=4丁+4肛+丁一（疗一丁）一2肛一2y2

=4x2+4xy+y2-4x2+y2-2xy-2y2

=2xy.

（xA2023,

当x=,y=22022时,

/1\2023

原式=2x-X22022

=1.

【点睛】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式及法

则是解题的关键.

19.解方程：』7=一2.

X+1x--1

【答案】4=2

【解析】

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到”的值，经检验即可得到分式方程的

解.

x2

【详解】解：--=^—-

x+1x-1

方程两边同乘（X+1）（X—1）,

得工（工—1）=2,

整理得，/-2=0,

:.(x+l)(x-2)=0,

解得：X)=-1,X2=2,

检验：当工二一1时，(x+l)(x-l)=O,欠=-1是增根，

当x=2时，(x+l)(x-1)=3wO,

二•原方程的解为x=2.

【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键.

20.2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、

会理古城、螺髻九十九里、邛海沪山风景区(以下分别用A、8、C、。表示)的游客人数进行了抽样调查，

并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图.

请根据以上信息回答：

(1)本次参加抽样调查的游客有多少人？

(2)将两幅不完整的统计图补充完整；

(3)若某游客随机选择A、3、C、。四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰

好选择A的概率.

【答案】(1)600人

(2)见解析(3)-

4

【解析】

【分析】(1)用选择B景区的人数除以其人数占比即可求出参与调查的游客人数；

(2)先求出选则C景区的人数和选择A景区的人数占比，再求出选择C景区的人数占比，最后补全统计图

即可；

(3)先画出树状图得到所有等可能性的结果数，然后找到他第一个景区恰好选择A的结果数，最后依据概

率计算公式求解即可.

【小问1详解】

解：60・10%=600人，

:,本次参加抽样调查的游客有600人；

【小问2详解】

解：由题意得，选择C景区的人数为600—180-60—240=120人，选择A景区的人数占比为

—xl00%=30%,

600

，选择C景区的人数占比为二x100%=20%

600

【小问3详解】

第一个

第二个

由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中他第一个景区恰好选择A的结果数有3种,

31

，他第一个景区恰好选择A的概率为-=

124

【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统

计图和画出树状图是解题的关键.

21.超速容易造成交通事故.高速公路管理部门在某隧道内的C、E两处安装了测速仪，该段隧道的截面示

意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A、D、B、尸在同一直线上.点C、点七到A8的距离分

别为CD、EF,且CO=ER=7m,CE=895m,在C处测得A点的俯角为30。，在E处测得8点的俯角

为45。，小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s.

45》'汨

ADBF

（1）求A8两点之间的距离（结果精确到1m）；

（2）若该隧道限速80千米〃J、时，判断小型汽车从点A行驶到点8是否超速？并通过计算说明理由.（参

考数据：V2«1.4,73«1.7）

【答案】（1）900m

（2）小型汽车从点A行驶到点8没有超速.

【解析】

【分析】（I）证明四边形短CM为矩形，可得歹=895m,结合NCW=30。，ZEBF=45°,

CD=EF=7m,可得4。=一^；=76，BF=EF=7,再利用线段的和差关系可得答案；

tan30°

（2）先计算小型汽车的速度，再统一单位后进行比较即可.

【小问1详解】

解：・・,点C、点E到的距离分别为C。、EF,

ACD1AB,EF±AB,而CE〃AB,

AZZ)CE=90o,

・•・四边形OCER为矩形,

/.C£=DF=895m,

由题意可得：NC4D=30。，NEBF=45。，CD=EF=7m,

CD

:.AD==7百,BF=EF=1.

tan30°

・•・=AF-BF=AD+DF-BF=7V3+895-7=900(m)

【小问2详解】

•・•小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s.

/.汽车速度为=20（m/s）,

•・•该隧道限速80千米/小时，

80x1000

80km/h=«22(m/s),

3600

V20<22,

・•・小型汽车从点A行驶到点3没有超速.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解俯角的含义，熟练的运用锐角三角函数解题是关键.

22.如图，在YA3CD中，对角线AC与30相交于点。，ZC4B=ZACB,过点8作_L48交AC于

点、E.

DC

E

//

A匕------券

(1)求证：AC工BO；

(2)若A8=10,AC=16,求OE的长.

9

【答案】(1)见详解(2)—

2

【解析】

【分析】(1)可证AB=C8,从而可证四边形A3CD是菱形，即可得证;

(2)可求08=6,再证AEBOS.BAO,可得毁=吆,即可求解.

BOA0

【小问1详解】

证明：・・・NC4B=NACB,

AB=CB，

••四边形A8CQ是平行四边形，

，四边形A8CD是菱形，

:.AC.LBD.

【小问2详解】

解：.四边形ABCO是平行四边形，

:.OA=-AC=S,

2

VACABD,BELAB,

:.ZAOB=ZBOE=ZABE=90。,

..OB=yjAB2-OB2

=V102-82=6»

•:/EBO+/BEO=90°,

ZAB。+NEBO=90。，

;./BEO=ZABO,

「EBOSJBAO,

.EOBO

…丽—布’

，——EO=—6

68

9

解得：0E=—.

2

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握

相关的判定方法及性质是解题的关键.

B卷（共50分）

四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）

23.已知一一2%-1=0，则3/-10/一5工+2027的值等于.

【答案】2023

【解析】

【分析】把一一2*-1=0化为：/=2、+1代入降次，再把d-2x=l代入求值即可.

【详解】解：由一一2*-1=0得：f=2x+l，f-2x=l,

3X3-10X2+5X+2027

=3x（2x+1）-10/+54+2027

=6/+3x-10/+5x+2027

=-Ax2+8x+2027

=-4（x2-2x\+2027

=-4x1+2027

=2023,

故答案为：2023.

【点睛】本题考查的是代数式的求值，找到整体进行降次是解题的关键.

24.如图，边长为2的等边“5C的两个顶点A3分别在两条射线。加、CW上滑动，若OM工ON,则

OC的最大值是.

B

M

【答案】T+6林6+T

【解析】

【分析】如图所示，取A3的中点D,连接ODCD,先根据等边三角形的性质和勾股定理求出CD=+，

再根据直角三角形的性质得到00=,48=1,再由OCWOD+CD可得当O、C、。三点共线时，。。

2

有最大值，最大值为1+Q.

【详解】解：如图所示，取A8的中点D,连接8,CD,

•・•JRC是边长为2的等边三角形，

:・CDLAB,BC=AB=2,

:.BD=AD=\,

・••CD=yjB^-BD1=6，

•：OM工ON,即ZAQ8=90。，

・•・OD=-AB=\,

2

•・•OC<OD+CD,

・••当。、C\。三点共线时，OC有最大值，最大值为1+6，

故答案为：1+JG.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角

形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线确定当O、C、。三点共线时，OC有最大值是解题的关

键.

五、解答题（共4小题，共40分）

25.凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区.经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业

博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况,

购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销.在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资

中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克,共需72元人民币.

（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？

（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙

多少千克？

【答案】（1）雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元.

（2）最多能购买雷波脐橙40千克.

【解析】

【分析】（1）设雷波脐橙和资中血橙每干克分别为X兀，y兀，购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共

需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币，再建立方程组即可；

（2）设最多能购买雷波脐橙加千克，根据顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，再建立不等

式即可.

【小问1详解】

解：设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为x元，＞元，则

3/+2y=78①

[2x+3y=72②’

@+（?W；5x+5y=150,则x+y=30③

把③代入①得：x=18,

把③代人②得：y=12,

x=18

・•・方程组解为：c，

y=12

答：雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元.

【小问2详解】

设最多能购买雷波脐橙加千克，则

18/H4-12（100-/M）＜1440,

：•6m<240,

解得：/n<40,

答：最多能购买雷波脐橙40千克.

【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系是解本题的关键.

26.阅读理解题：

阅读材料：

如图1,四边形A3CO是矩形，ZXAE尸是等腰直角三角形，记N8AE为。、/FAD为0,若

tana=—,则tan/7=-.

23

易证z\4EB^Z\EFC（AAS）

・•・EC=2k,CF=k,

・•・FD=k,AD=3k

DF_k_1

:.tanft=

AD-3^-3

若a+4=45°时，当tana=g,贝ijtan/.

同理：若a+夕=45°时，当tana=；,则tan〃=g.

根据上述材料，完成下列问题：

如图2,直线y=3x—9与反比例函数y=—(x>0)的图象交于点A,与工粕交于点B.将直线4B绕点

x

A顺时针旋转45。后的直线与)，轴交于点E，过点A作轴于点过点A作ANJ,)，轴于点

N,已知04=5.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)直接写出tanZBAMAanANAE的值；

(3)求直线AE的解析式.

12

【答窠】(1)y=—(x>0)

x

(2)tanZ.BAM=—,tanZ.NAE=—

32

(3)y=-x+l

【解析】

【分析】（1）首先求出点8（3,0）,然后设4（。,3。-9）,在■△AOW中，利用勾股定理求出。=4,得

到4（4,3）,然后代入丁='（％>0）求解即可；

X

（2）首先根据A（4,3）,3（3,0）得到欣）=4,80=3,求出“3=1,AM=3,然后利用正切值的

概念求出tanNA4M=@9=J,然后证明出四边形NOMA是矩形，得到N84W+"4七=45。，然

AM3

后由tanZBAM=!即可求出tan^NAE=-；

32

（3）首先根据矩形的性质得到AN=QM=4,NO=AM=3,然后利用ianNNAE=!求出

NE=2,进而得到E（0,l）,然后设直线AE的解析式为"权+人，利用待定系数法将E（0,1）和

A（4,3）代入求解即可.

小问1详解】

将y=0代入y=3x-9得，1=3,

・•・8(3,0),

•・•直线y=3x-9与反比例函数y=%(x>0)的图象交于点A,

x

・•・设A(a,3a-9),

VAA/lx,OA=5,

:.在RtZ^AOM中，OM2+AM2=AO1>

・•・/+(34-9)2=52,

7

-**解得％=

4,a2=-f

•.•点A的横坐标要大于点B的横坐标，

=(应舍去，

a2

•»a=4,

・•・4(4,3),

・••将A(4,3)代入y='(x>0),解得力=12：

X

・•・反比例函数解析式为》=2。>0)；

x

【小问2详解】

•・・A(4,3),6(3,0),

.•・MO=4,30=3,

A=bAM=3,

,:AM.Lx,

BM1

:.tanZ.BAM=------=-,

AM3

ANZNOM=90°,

，四边形NOAM是矩形，

AZA64M=9O°,

•・•将直线AB绕点A顺时针旋转45。后的直线与》轴交于点E，

・•.N朋七=45。，

:.NBAM+NiV4E=45。，

,/tanZBAM--,

3

tanZ.NAE=—；

2

【小问3详解】

•；四边形NOMA是矩形，

：，AN=OM=4,NO=AM=3,

•：AN±y,tanNNA£=一,

2

NE1NE1

..----=-即nn=一,

AN2f42

，解得NE=2,

：・OE=ON—NE=\,

・•・设直线AE的解析式为y=&+b,

・•・将E（0,l）和A（4,3）代入得，J必+6=3

b=l

，解得Li,

k=—

2

A直线AE的解析式为y=1x+l.

【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形,勾股定理等知

识，解题的关键是正确理解材料的内容.

27.如图，CO是。。的直径，弦A5_LCD,垂足为点尸，点P是C。延长线上一点，DE±AP,垂足

为点E，ZEAD=ZFAD.

(1)求证：AE是00的切线；

(2)若~4=4,包＞=2,求0。的半径和DE的长.

【答案】（1）证明见解析

（2）OO的半径为3,OE的长为?

【解析】

【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得ZE4O+NOD4=90。，再根据等腰三角形的性质可得

ZOAD=ZODA,从而可得NQ4石=90。，然后根据圆的切线的判定即可得证；

（2）设OO的半径为，则。4=QD=r,OP=r+2,在RtZ\QAP中，利用勾股定理求解即可得；根

据相似三角形的判定可得©尸DEPOA,根据相似三角形的性质即可得.

【小问1详解】

证明：如图，连接04,

弦ABJLC。，

.\ZMZ)4-ZOZM=90O,

vZE4D=ZMD»

.•.ZE4D4-ZOnA=90°,

•,•OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

:.ZEAD+ZOAD=90°,即NQ4E=90。，

:,AE.LOA,

又•••QA是0O的半径，

「.AE是OO的切线.

【小问2详解】

解：如图，连接。4,

设的半径为小则。A=Q£）=r,

QPD=2,

:.0P=r+2,

在RtaQAP中，OA2IPA2=OP2>即户+42=(〃+2)2,

解得r=3,

...OA=3,O尸=5,

AE1OA.DE.LAP,

:.