2022-2023学年北京市清华附中望京学校八年级（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年北京市清华附中望京学校八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（）A．3，4，5 B．2，2，2 C．2，5，6 D．5，12，133．（3分）下列各式中，运算正确的是（）A．2+＝2 B．﹣＝ C．•＝ D．÷＝94．（3分）能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD5．（3分）下列命题正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有两个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形6．（3分）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）A．75° B．60° C．55° D．45°7．（3分）如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，∠AFC＝90°，BC＝10cm，AC＝6cm，则DF长为（）cm．A．1 B．2 C．3 D．48．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，下列四个结论错误的是（）A．△OBE≌△OCF B．△OEF始终是等腰直角三角形 C．△OEF面积的最小值是1 D．四边形OECF的面积始终是1二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）使有意义的x的取值范围是．10．（3分）若平行四边形中两个内角的度数比是1：2，则其中较小的角是°．11．（3分）在湖的两侧有A，B两个消防栓，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为16米，则A，B之间的距离应为米．12．（3分）如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点C的坐标是（1，3），点A的坐标是（5，0），则点B的坐标是．13．（3分）将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为．14．（3分）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时16nmile的速度沿北偏东30°方向航行，“海天”号以每小时12nmile的速度沿北偏西60°方向航行．一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为nmile．15．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C′，BC′与AD交于点E，若AB＝3，BC＝4，则DE的长为．16．（3分）正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；②存在无数个四边形PMQN是菱形；③存在无数个四边形PMQN是矩形；④至少存在一个四边形PMQN是正方形．所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共52分，17题10分，18-20题，每小题10分，21-22每小题10分，23题7分，24题8分)17．（10分）计算：（1）；（2）．18．（5分）先化简，再求值：，其中．19．（5分）已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AC上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．20．（5分）学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程．已知：△ABC．求作：BC边上的中线AD．作法：如图，①分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径作弧，两弧相交于P点；②作直线AP，AP与BC交于D点，所以线段AD就是所求作的中线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接PB，PC．∵PC＝AB，，∴四边形ABPC是平行四边形（）（填推理的依据）．∴DB＝DC（）（填推理的依据）．∴AD是BC边上的中线．21．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；这个三角形的面积为．22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF．（1）求证：四边形BFCE是菱形；（2）若BC＝4，EF＝2，求AD的长．23．（7分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+＝（+）2；（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．24．（8分）已知正方形ABCD，点E是直线BC上一点（不与B，C重合），∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF所在的直线于点F．（1）如图1，当点E在线段BC上时，①请补全图形，并直接写出AE，EF满足的数量关系；②用等式表示CD，CE，CF满足的数量关系，并证明．（2）当点E在直线BC上，用等式表示线段CD，CE，CF之间的数量关系（直接写出即可）．

2022-2023学年北京市清华附中望京学校八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义，即可判断．【解答】解：A、是最简二次根式，故A符合题意；B、＝2，故B不符合题意；C、＝，故C不符合题意；D、＝2，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．2．（3分）下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（）A．3，4，5 B．2，2，2 C．2，5，6 D．5，12，13【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．【解答】解：A，32+42＝25＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B，22+22＝8＝（2）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C，22+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形；D、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．3．（3分）下列各式中，运算正确的是（）A．2+＝2 B．﹣＝ C．•＝ D．÷＝9【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【解答】解：2+不能合并，故选项A错误；＝2，故选项B错误；＝，故选项C正确；＝＝3，故选项D错误；故选：C．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．4．（3分）能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD【分析】直接利用平行四边形的判定定理判定，即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、AB∥CD，AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形；故本选项错误；B、AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD为平行四边形；故本选项正确；C、∠A＝∠B，∠C＝∠D，则四边形为等腰梯形或矩形；故本选项错误；D、AB＝AD，CB＝CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形；故本选项错误．故选：B．【点评】此题考查了平行四边形的判定．注意掌握举反例的解题方法是解此题的关键．5．（3分）下列命题正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有两个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误，不符合题意；B、有三个角是直角的四边形是矩形，故错误，不符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，不符合题意；D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，符合题意．故选D．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．6．（3分）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）A．75° B．60° C．55° D．45°【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．7．（3分）如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，∠AFC＝90°，BC＝10cm，AC＝6cm，则DF长为（）cm．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出FE，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵点D，点E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝5（cm），在Rt△AFC中，点E是AC的中点，∴FE＝AC＝3（cm），∴DF＝DE﹣EF＝2（cm），故选：B．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．8．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，下列四个结论错误的是（）A．△OBE≌△OCF B．△OEF始终是等腰直角三角形 C．△OEF面积的最小值是1 D．四边形OECF的面积始终是1【分析】由正方形性质可得BO＝CO，∠OBE＝∠OCF，由此可以推出三角形△BEO≌△CFO，进一步得出△EOF为等腰直角三角形，所以当OE最小时，△EOF面积最小．四边形OECF的面积不变，此题即可获解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BO＝CO，∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCF＝45°，又∵BE＝CF，∴△OBE≌△OCF（SAS），故A正确；∵△OBE≌△OCF，∴∠BOE＝∠COF，OE＝OF，∵∠BOE+∠EOC＝∠BOC＝90°，∴∠COF+∠EOC＝90°，∴∠EOF＝90°，∴△OEF为等腰直角三角形，∴B正确；∵△OEF为等腰直角三角形，∴S△EFO＝，当OE最小时，S△EFO最小，∵当OE⊥BC时，OE最小，最小值为1，∴S△EFO的最小值为，故C错误；∵△OBE≌△OCF，∴S△OBE+S△OEC＝S△COF+S△OEC，∴S四边形OECF＝S△BOC＝，故D正确；故选C．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，是一道综合题，关键是熟悉正方形的性质．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）使有意义的x的取值范围是x≥2．【分析】当被开方数x﹣2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．【解答】解：根据二次根式的意义，得x﹣2≥0，解得x≥2．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．10．（3分）若平行四边形中两个内角的度数比是1：2，则其中较小的角是60°．【分析】根据平行四边形的性质得出AB∥CD，推出∠B+∠C＝180°，根据∠B：∠C＝1：2，求出∠C即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠B：∠C＝1：2，∴∠B＝×180°＝60°，故答案为：60．【点评】本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．11．（3分）在湖的两侧有A，B两个消防栓，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为16米，则A，B之间的距离应为32米．【分析】可得DE是△ABC的中位线，然后根据三角形的中位线定理，可得DE∥AB，且AB＝2DE，再根据DE的长度为16米，即可求出A、B两地之间的距离．【解答】解：∵D、E分别是CA，CB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，且AB＝2DE，∵DE＝16米，∴AB＝32米．故答案为：32．【点评】此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．12．（3分）如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点C的坐标是（1，3），点A的坐标是（5，0），则点B的坐标是（6，3）．【分析】利用平行四边形的性质即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝BC，OA∥BC，∵A（5，0），∴OA＝BC＝5，∵C（1，3），∴B（6，3），故答案为（6，3）．【点评】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．（3分）将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为13．【分析】先设出图1中直角三角形的直角边，然后根据图2和图3列出关于直角边的方程组，即可求出图2中阴影部分的边长，然后求出面积．【解答】解：由题意知图2中阴影部分为正方形，设图1中直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，则由图2得：a+b＝5，①由图3得：b﹣a＝1，②联立①②得：，∴阴影部分的边长为，∴，故答案为13．【点评】本题主要考查勾股定理的应用，关键是要能求出图中阴影部分的边长，既用直角三角形的直角边求出斜边，要牢记勾股定理的公式a2+b2＝c2．14．（3分）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时16nmile的速度沿北偏东30°方向航行，“海天”号以每小时12nmile的速度沿北偏西60°方向航行．一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为20nmile．【分析】根据题意，可得∠RPQ＝60°+30°＝90°，利用路程＝速度×时间，分别算出PQ，PR的长度，在直角△PRQ中，利用勾股定理计算出RQ．【解答】解：由题意可得，∠RPQ＝60°+30°＝90°，PQ＝16×1＝16，PR＝12×1＝12，∴RQ＝＝20nmile，故答案为：20．【点评】本题考查了勾股定理的应用和方位角，利用方位角知识，准确判断出∠RPQ＝90°是解决本题的关键．15．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C′，BC′与AD交于点E，若AB＝3，BC＝4，则DE的长为．【分析】先根据等角对等边，得出DE＝BE，再设DE＝BE＝x，在直角三角形ABE中，根据勾股定理列出关于x的方程，求得x的值即可．【解答】解：由折叠得，∠CBD＝∠EBD，由AD∥BC得，∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB，∴DE＝BE，设DE＝BE＝x，则AE＝4﹣x，在直角三角形ABE中，AE2+AB2＝BE2，即（4﹣x）2+32＝x2，解得x＝，∴DE的长为．故答案为：【点评】本题以折叠问题为背景，主要考查了轴对称的性质以及勾股定理．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的对应边和对应角相等．解题时，我们常设所求的线段长为x，然后用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．16．（3分）正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；②存在无数个四边形PMQN是菱形；③存在无数个四边形PMQN是矩形；④至少存在一个四边形PMQN是正方形．所有正确结论的序号是①②④．【分析】根据正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理即可得到结论．【解答】解：如图，作线段MN的垂直平分线交AD于P，交AB于Q．∵PQ垂直平分线段MN，∴PM＝PN，QM＝QN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠PAN＝∠QAN＝45°，∴∠APQ＝∠AQP＝45°，∴AP＝AQ，∴AC垂直平分线段PQ，∴MP＝MQ，∴四边形PMQN是菱形，在MN运动过程中，这样的菱形有无数个，当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形，∴至少存在一个四边形PMQN是正方形，∵当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形（即是矩形），且MN＝2，∴不可能存在无数个矩形，∴①②④正确，故答案为①②④．【点评】本题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，熟练掌握各定理是解题的关键．三、解答题（本题共52分，17题10分，18-20题，每小题10分，21-22每小题10分，23题7分，24题8分)17．（10分）计算：（1）；（2）．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．【解答】解：（1）；＝2﹣2+﹣1＝3﹣3；（2）＝3﹣+4＝3﹣4+4＝3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．（5分）先化简，再求值：，其中．【分析】先对分式进行化简，然后代值求解即可．【解答】解：原式＝＝＝，∵，∴原式＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值及分母有理化，熟练掌握分式的化简是解题的关键．19．（5分）已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AC上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠BAE＝∠DCF，根据全等三角形的性质得到BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，证得BE∥DF，即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠BEC＝∠DFA，∴BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．20．（5分）学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程．已知：△ABC．求作：BC边上的中线AD．作法：如图，①分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径作弧，两弧相交于P点；②作直线AP，AP与BC交于D点，所以线段AD就是所求作的中线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接PB，PC．∵PC＝AB，AC＝PB，∴四边形ABPC是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．∴DB＝DC（平行四边形的对角线互相平分）（填推理的依据）．∴AD是BC边上的中线．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用平行四边形的判定和性质解决问题即可．【解答】解：（1）如图，图形如图所示：（2）连接PB，PC．∵PC＝AB，AC＝PB，∴四边形ABPC是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．∴DB＝DC（平行四边形的对角线互相平分）．故答案为：AB＝PB，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．【点评】本题考查作图﹣基本作图平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；这个三角形的面积为2．【分析】（1）根据正方形的面积为10可得正方形边长为，画一个边长为正方形即可；（2）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可．【解答】解：（1）面积为10的正方形的边长为，∵＝，∴如图1所示的四边形即为所求；（2）∵＝，＝，∴如图2所示的三角形即为所求这个三角形的面积＝×2×2＝2；故答案为：2．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，运用勾股定理得出有关线段长是解决问题的关键．22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF．（1）求证：四边形BFCE是菱形；（2）若BC＝4，EF＝2，求AD的长．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形BFCE是平行四边形，根据直角三角形的性质得到BE＝CE，于是得到四边形BFCE是菱形；（2）连接AD，根据菱形的性质得到BD＝BC＝2，DE＝EF＝1，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵D是边BC的中点，∴BD＝CD，∵DF＝ED，∴四边形BFCE是平行四边形，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC的中点，∴BE＝CE，∴四边形BFCE是菱形；（2）解：连接AD，∵四边形BFCE是菱形，BC＝4，EF＝2，∴BD＝BC＝2，DE＝EF＝1，∴BE＝＝，∴AC＝2BE＝2，∴AB＝＝＝2，∴AD＝＝2．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的中位数的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．23．（7分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：7+4＝（2+1）2；（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2＝m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；（2）先取m＝2，n＝1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；（3）利用a＝m2+3n2，2mn＝6和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，∴a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4，∴7+4＝（2+）2，（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，∵a、m、n均为正整数，∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，∴a的值为12或28．故答案为m2+3n2，2mn；7，4，2，1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．24．（8分）已知正方形ABCD，点E是直线BC上一点（不与B，C重合），∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF所在的直线于点F．（1）如图1，当点E在线段BC上时，①请补全图形，并直接写出AE，EF满足的数量关系AE＝EF；②用等式表示CD，CE，CF满足的数量关系，并证明．（2）当点E在直线BC上，用等式表示线段CD，CE，CF之间的数量关系（直接写出即可）．【分析】（1）①根据题意补全图形，在AB上截取BM＝BE，连接ME，根据ASA证△AME≌△ECF即可得出结论；②根据△BEM是等腰直角三角形，得出BM＝CF，根据△A