5 章末综合检测(三)

章末综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线eq\f(x2,10)－eq\f(y2,2)＝1的焦距为()A．3eq\r(2) B．4eq\r(2)C．3eq\r(3) D．4eq\r(3)解析：选D.由双曲线的标准方程可知，a2＝10，b2＝2，则c2＝a2＋b2＝12，所以2c＝4eq\r(3)，故选D.2．抛物线y2＝2x上的一点A(2，y0)(y0＞0)到其焦点的距离是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(5,2)C．3 D．eq\f(1,8)解析：选B.方法一：因为点A(2，y0)(y0＞0)在抛物线y2＝2x上，所以y0＝2.又因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，所以点A(2，2)到抛物线焦点的距离d＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))\s\up12(2)＋（2－0）2)＝eq\f(5,2)，故选B.方法二：因为点A(2，y0)(y0＞0)在抛物线y2＝2x上，所以由焦半径公式知，点A到抛物线焦点的距离d＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).故选B.3．已知F1(－5，0)，F2(5，0)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹分别为()A．双曲线和一条直线B．双曲线的一支和一条直线C．双曲线和一条射线D．双曲线的一支和一条射线解析：选D.因为|F1F2|＝10，|PF1|－|PF2|＝2a，所以当a＝3时，2a＝6＜|F1F2|，为双曲线的一支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，为一条射线．4．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C．eq\f(x2,2)＋y2＝1 D．eq\f(x2,4)＋y2＝1解析：选A.因为|BF2|＝|F1F2|＝2，所以a＝2c＝2，所以a＝2，c＝1，所以b＝eq\r(3).所以椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.5．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，双曲线C2的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，C1与C2的离心率之积为eq\f(\r(3),2)，则C2的渐近线方程为()A．x±eq\r(2)y＝0 B．eq\r(2)x±y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝0解析：选A.设椭圆和双曲线的半焦距为c1，c2，则e1·e2＝eq\f(c1,a)·eq\f(c2,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)·eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\f(\r(a4－b4),a2)＝eq\f(\r(3),2)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以双曲线C2的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(2),2)x，即x±eq\r(2)y＝0.6．已知等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p＞0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是()A．8p2 B．4p2C．2p2 D．p2解析：选B.因为抛物线y2＝2px(p＞0)的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，且OA⊥OB，所以由对称性，知直线AB与x轴垂直，从而直线OA和直线OB与x轴的夹角均为45°.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x,y2＝2px))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2p,y＝2p))，不妨设点A在x轴上方，则易得A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p)，所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝eq\f(1,2)×4p×2p＝4p2.7．已知双曲线eq\f(x2,2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(eq\r(3)，y0)在双曲线上，则PF1·PF2＝()A．－12 B．－2C．0 D．4解析：选C.由渐近线方程为y＝x，知双曲线是等轴双曲线，所以双曲线方程是x2－y2＝2.于是两焦点分别是F1(－2，0)和F2(2，0)且P(eq\r(3)，1)或P(eq\r(3)，－1).不妨取点P(eq\r(3)，1)，则PF1＝(－2－eq\r(3)，－1)，PF2＝(2－eq\r(3)，－1).所以PF1·PF2＝(－2－eq\r(3)，－1)·(2－eq\r(3)，－1)＝－(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))＋1＝0.8．如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB，CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点．已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为()A．2 B．eq\r(3)C．eq\r(6) D．eq\f(\r(10),2)解析：选D.如图(1)，过点E作EH⊥AB于点H.因为E是母线PB的中点，所以OH＝EH＝1，所以OE＝eq\r(2).如图(2)，在平面CDE中，以E为原点，EO所在直线为x轴建立平面直角坐标系，将C(eq\r(2)，2)，代入y2＝2px，解得p＝eq\r(2)，所以焦点坐标是Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))，即F为OE的中点．连接PF，所以在Rt△PFE中，EF＝eq\f(\r(2),2)，EP＝eq\r(2)，根据勾股定理得PF＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋（\r(2)）2)＝eq\f(\r(10),2).二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是()A．开口向上，准线方程为y＝－eq\f(1,16)B．开口向上，焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))C．开口向右，焦点为(1，0)D．开口向右，准线方程为y＝－1解析：选AB.抛物线可化为x2＝eq\f(1,4)y，故开口向上，焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))，准线方程为y＝－eq\f(1,16).10．下列双曲线中，以y＝±2x为渐近线的双曲线的标准方程为()A．x2－eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1C．y2－eq\f(x2,4)＝1 D．eq\f(y2,16)－eq\f(x2,4)＝1解析：选ABD.x2－eq\f(y2,4)＝1的渐近线方程为y＝±2x；eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1的渐近线方程为y＝±2x；y2－eq\f(x2,4)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x；eq\f(y2,16)－eq\f(x2,4)＝1的渐近线方程为y＝±2x.故选ABD.11．已知双曲线C：eq\f(x2,t)－eq\f(y2,9－t)＝1的离心率e＝eq\r(3)，则()A．t＝3或－9B．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\r(2)xC．双曲线C的实轴长等于2eq\r(3)D．双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于eq\r(3)解析：选BC.对于A，由方程eq\f(x2,t)－eq\f(y2,9－t)＝1表示的曲线为双曲线，可得t(9－t)＞0，解得0＜t＜9，故双曲线C的焦点在x轴上，c2＝t＋(9－t)＝9，故e2＝eq\f(9,t)＝3，解得t＝3，故A错误；对于B，由t＝3，可得双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1，故双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(6),\r(3))x，即y＝±eq\r(2)x，故B正确；对于C，易知双曲线C的实轴长为2eq\r(3)，故C正确；对于D，双曲线C的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长，为eq\r(6)，故D错误．故选BC.12．已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1内一点M(1，2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是()A．椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)B．椭圆C的长轴长为2eq\r(2)C．直线l的方程为x＋y－3＝0D．|AB|＝eq\f(4\r(3),3)解析：选CD.由椭圆方程可得a2＝8，b2＝4，则c＝eq\r(a2－b2)＝2，所以椭圆的焦点坐标为(0，－2)，(0，2)，故A错误；椭圆的长轴长为2a＝4eq\r(2)，故B错误；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(xeq\o\al(2,1),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),8)＝1，eq\f(xeq\o\al(2,2),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,2),8)＝1，两式作差可得eq\f(（x1＋x2）（x1－x2）,4)＝－eq\f(（y1＋y2）（y1－y2）,8)，得到eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(2（x1＋x2）,y1＋y2)，又M(1，2)为线段AB的中点，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(2×2,4)＝－1，即l的斜率为－1，则直线l的方程为y－2＝－1×(x－1)，即x＋y－3＝0，故C正确；联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,\f(x2,4)＋\f(y2,8)＝1，))可得3x2－6x＋1＝0.因为Δ＞0，所以x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(1,3)，所以|AB|＝eq\r(1＋（－1）2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(2)×eq\r(4－\f(4,3))＝eq\f(4\r(3),3)，故D正确．故选CD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．13．若抛物线经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，(2，2)，则该抛物线的标准方程为________．解析：由抛物线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，(2，2)可得抛物线的开口向上，设抛物线的方程为x2＝my，将(2，2)点代入可得22＝2m，可得m＝2，所以抛物线的方程为x2＝2y，显然eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))也在该抛物线上，符合题意．答案：x2＝2y14．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线x＝eq\f(1,4)y2的焦点重合．若双曲线的离心率等于eq\r(5)，则该双曲线的标准方程为________．解析：抛物线x＝eq\f(1,4)y2的方程化成标准形式为y2＝4x，焦点坐标为(1，0)，则得a2＋b2＝1.又e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，易求得a2＝eq\f(1,5)，b2＝eq\f(4,5)，所以该双曲线的标准方程为eq\f(x2,\f(1,5))－eq\f(y2,\f(4,5))＝1.答案：eq\f(x2,\f(1,5))－eq\f(y2,\f(4,5))＝115．已知双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上一点P使∠PF2F1＝60°，则F2P·F2F1的值为________．解析：易知|F2F1|＝2c＝4.在△PF1F2中，设|PF2|＝x，则|PF1|＝x＋2或|PF1|＝x－2.当|PF1|＝x＋2时，由余弦定理，得(x＋2)2＝x2＋42－2×4x×eq\f(1,2)，解得x＝eq\f(3,2)，所以F2P·F2F1＝eq\f(3,2)×4×eq\f(1,2)＝3.当|PF1|＝x－2时，由余弦定理，得(x－2)2＝x2＋42－2×4x×eq\f(1,2)，无解．故F2P·F2F1＝3.答案：316．过点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))的直线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F是抛物线的焦点．若A为线段EB的中点且|AF|＝3，则p＝________．解析：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由焦半径公式，|AF|＝x1＋eq\f(p,2).又|AF|＝3，所以x1＝3－eq\f(p,2)，由中点坐标公式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(x2－\f(p,2),2)，,y1＝\f(y2＋0,2)，))所以x2＝6－eq\f(p,2)，y2＝2y1，所以yeq\o\al(2,2)＝4yeq\o\al(2,1)，2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(p,2)))＝4yeq\o\al(2,1)＝4×2px1＝4×2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))，结合p>0，解得p＝4.答案：4四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知双曲线的渐近线方程是y＝±eq\f(2,3)x，焦距为2eq\r(26)，求双曲线的标准方程．解：若双曲线的焦点在x轴上，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(2,3)，,c2＝a2＋b2＝26，))解得a2＝18，b2＝8，所以所求双曲线的方程为eq\f(x2,18)－eq\f(y2,8)＝1.若双曲线的焦点在y轴上，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＝\f(2,3)，,c2＝a2＋b2＝26，))解得a2＝8，b2＝18，所以所求双曲线的方程为eq\f(y2,8)－eq\f(x2,18)＝1.综上，所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,18)－eq\f(y2,8)＝1或eq\f(y2,8)－eq\f(x2,18)＝1.18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，x轴为其对称轴，经过焦点且倾斜角为eq\f(π,4)的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．解：当抛物线的焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，则过焦点且倾斜角为eq\f(π,4)的直线l的方程为y＝x－eq\f(p,2).设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，B1(图略)，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(p,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋x2＋p＝6，所以x1＋x2＝6－p.①由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px))消去y，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))eq\s\up12(2)＝2px，即x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0.因为Δ＞0，所以x1＋x2＝3p.将其代入①式，得3p＝6－p，所以p＝eq\f(3,2).所以所求抛物线的标准方程是y2＝3x.同理，当抛物线的焦点在x轴负半轴上时，可求得抛物线的标准方程是y2＝－3x.综上，抛物线的标准方程为y2＝3x或y2＝－3x.19．(本小题满分12分)已知椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，求直线AB的方程．解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,4)＝1(a＞2)，其离心率为eq\f(\r(3),2)，故eq\f(\r(a2－4),a)＝eq\f(\r(3),2)，解得a＝4，故所求椭圆C2的方程为eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1.(2)若将A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入eq\f(x2,4)＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以xeq\o\al(2,A)＝eq\f(4,1＋4k2).将y＝kx代入eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以xeq\o\al(2,B)＝eq\f(16,4＋k2).又由eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，得xeq\o\al(2,B)＝4xeq\o\al(2,A)，即eq\f(16,4＋k2)＝eq\f(16,1＋4k2)，解得k＝±1.故直线AB的方程为x－y＝0或x＋y＝0.20．(本小题满分12分)在①|PF|＝x0＋1，②y0＝2x0＝2，③当PF⊥x轴时，|PF|＝2这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．问题：已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P(x0，y0)在抛物线C上，且________．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l：x－y－2＝0与抛物线C交于A，B两点，求△ABF的面积．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：方案一：选择条件①.(1)因为|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，又|PF|＝x0＋1，所以x0＋eq\f(p,2)＝x0＋1，解得p＝2.故抛物线C的标准方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)可知F(1，0).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0,y2＝4x))，消去x整理得y2－4y－8＝0，因为Δ＞0，则y1＋y2＝4，y1y2＝－8，|y1－y2|＝eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq\r(16＋32)＝4eq\r(3)，故|AB|＝eq\r(1＋\f(1,kAB))·|y1－y2|＝eq\r(2)×4eq\r(3)＝4eq\r(6).因为点F到直线l的距离d＝eq\f(|1－2|,\r(1＋1))＝eq\f(\r(2),2)，所以△ABF的面积为eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×4eq\r(6)×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(3).方案二：选择条件②.(1)因为y0＝2x0＝2，所以y0＝2，x0＝1，又点P(x0，y0)在抛物线C上，所以yeq\o\al(2,0)＝2px0，即2p＝4，解得p＝2，故抛物线C的标准方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)可知F(1，0).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0,y2＝4x))，消去x整理得y2－4y－8＝0，因为Δ＞0，则y1＋y2＝4，y1y2＝－8，|y1－y2|＝eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq\r(16＋32)＝4eq\r(3)，故|AB|＝eq\r(1＋\f(1,kAB))·|y1－y2|＝eq\r(2)×4eq\r(3)＝4eq\r(6).因为点F到直线l的距离d＝eq\f(|1－2|,\r(1＋1))＝eq\f(\r(2),2)，所以△ABF的面积为eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×4eq\r(6)×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(3).方案三：选择条件③.(1)当PF⊥x轴时，|PF|＝eq\f(p,2)＋eq\f(p,2)＝p＝2，所以p＝2.故抛物线C的标准方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)可知F(1，0).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0,y2＝4x))，消去x，整理得y2－4y－8＝0，因为Δ＞0，则y1＋y2＝4，y1y2＝－8，|y1－y2|＝eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq\r(16＋32)＝4eq\r(3)，故|AB|＝eq\r(1＋\f(1,kAB))·|y1－y2|＝eq\r(2)×4eq\r(3)＝4eq\r(6).因为点F到直线l的距离d＝eq\f(|1－2|,\r(1＋1))＝eq\f(\r(2),2)，所以△ABF的面积为eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×4eq\r(6)×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(3).21．(本小题满分12分)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq\f(\r(6),3)，它的一个顶点在抛物线x2＝4eq\r(2)y的准线上．(1)求椭圆C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆C上两点，已知m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,a)，\f(y1,b)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a)，\f(y2,b)))，且m·n＝0.求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的取值范围．解：(1)因为抛物线x2＝4eq\r(2)y的准线为直线y＝－eq\r(2)，所以b＝eq\r(2).因为e＝eq\f(\r(6),3)，所以eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(2,3)，所以a＝eq\r(6).所以椭圆C的方程为eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由m·n＝0，得x1x2＝－3y1y2.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)所在的直线为l.当l的斜率不存在时，A(x1，y1)，B(x1，－y1)，所以xeq\o\al(2,1)＝3yeq\o\al(2,1).又因为eq\f(xeq\o\al(2,1),6)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),2)＝1，所以yeq\o\al(2,1)＝1.所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝xeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,1)＝2yeq\o\al(2,1)＝2.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,x2＋3y2＝6))消去y并整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－6＝0，所以Δ＝36k2m2－12(3k2＋1)(m2－2)＝12(6k2－m2＋2)＞0，则x1＋x2＝eq\f(－6km,3k2＋1)，x1x2＝eq\f(3m2－6,3k2＋1).由x1x2＝－3y1y2＝－3(kx1＋m