概率论与数理统计课件4.1随机变量的数学期望

§4.1数学期望引例某企业生产某种产品，质检员每天对产品进行检查，以下是五月份产品的检验结果，求这个月的平均次品数。概率论与数理统计平均次品数0件次品出现的天数总的天数（0件次品）发生的频率（0件次品）发生的概率近似于概率论与数理统计加权平均，数学期望的概念源于此。设表示每天出现的次品数概率论与数理统计离散型随机变量的数学期望设X为离散型随机变量，其分布律为：若无穷级数数学期望，记作E(X),即绝对收敛,则称其为X的例已知随机变量X的分布律如下。求E(X).X2349p1/85/81/81/8解概率论与数理统计例

已知随机变量。求E(X).解概率论与数理统计

概率论与数理统计到站时刻

8:108:308:509:109:309:50

概率

1/63/62/6一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.例

按规定,某车站每天8:00~9:00和9:00~10:00

都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立。其规律为：概率论与数理统计X1030507090

到站时刻

8:108:308:509:109:309:50

概率

1/63/62/6解：设旅客的候车时间为X（以分计），其分布律为概率论与数理统计

例一种常见的赌博游戏,其规则为:投掷一颗均匀的骰子，赌客猜精确的骰子点数,凡猜中者以1比5得到奖金,否则其押金归庄家所有,问此规则对庄家还是赌客更有利?解：不妨设一赌徒押了10元,X为赌徒最终输赢数，显然结果对庄家更有利！赌徒最终平均输赢为即分布律为概率论与数理统计连续型随机变量的数学期望（或均值），记为E(X)。即的值为随机变量X的数学期望定义:设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分绝对收敛,则称积分例设X～U(a,b),求E(X)。解

X的概率密度为：

X的数学期望为：

概率论与数理统计例

设随机变量X服从参数为λ的指数分布,求E(X).解

X的概率密度为所以,E(X)=概率论与数理统计例

X~N(,2),求E(X)

.奇函数解

概率论与数理统计例设随机变X

的概率密度为求E(X

).解概率论与数理统计随机变量函数的数学期望设已知随机变量X的分布,如何计算X的某个函数g(X)的期望？一种方法是，求出g(X)的分布，然后按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布,一般是比较复杂的.(1)当X为离散型时,它的分布律为P(X=xk)=pk,定理:

设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)概率论与数理统计(2)当X为连续型时,它的密度函数为f(x),若概率论与数理统计例

设随机变量的分布律为

求

解

概率论与数理统计概率论与数理统计例

设随机变量X的概率密度函数求：（1）常数；（2）解（1）由概率密度函数的性质有概率论与数理统计（2）概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计X

13P

3/41/4X103/83/8031/8001/8Y0123解:例（X,Y）的分布列为

概率论与数理统计Y

0123P

1/83/83/81/8概率论与数理统计例

设随机变量(X,Y)的概率密度为：

概率论与数理统计概率论与数理统计X=1X=1概率论与数理统计数学期望的性质及应用推广：（1）设C是常数，则

.（2）设为一随机变量，C为常数，则有

（3）设为两个随机变量，则有相互独立时推广：概率论与数理统计（4）若为两个相互独立的随机变量，则有现就连续型证下面两条：

设二维随机变量(X,Y)的概率密度、边缘概率密度分别为

由随机变量函数的期望得:概率论与数理统计概率论与数理统计

由相互独立得:解例且X,Y,Z相互独立,求随机变量W

2X+3Y

4Z

1

的数学期望.设随机变量X~N

0,1

,Y~U

0,1,

Z~B

5,0.5

,概率论与数理统计=

np.因为:

P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以:

E(X)=E(Xi)==p例

求二项分布的数学期望.解设概率论与数理统计则:

X=X1+X2+…+Xn，其中例

假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量(单位:吨),它服[2000，4000]均匀分布，设每售出这种商品一吨可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而积于仓库，则每吨需浪费保养费1万元，求应组织多少货源，才能使国家的收益最大.概率论与数理统计解随机变量的概密度函数为概率论与数理统计