7.4.1二项分布课件高二下学期数学人教A版选择性

二项分布第七章随机变量及其分布人教A版

数学

选择性必修第三册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

学习单元4

二项分布与超几何分布在函数的学习中,通过学习幂函数、指数函数、对数函数等基本函数,不仅加深了对一般函数概念的理解,而且奠定了建立适当的函数模型解决不同类型实际问题的数学基础.类似地,二项分布和超几何分布是两类重要的概率模型,通过对它们的研究,可以帮助进一步了解随机变量在描述随机现象中的作用,对随机思想在解决实际问题中的作用也有更深入的理解.本学习单元的主要内容有n重伯努利试验、二项分布及其数字特征、超几何分布及其均值以及两种分布的简单应用.具体内容结构如下图所示:本学习单元的难点在于能从实际问题中抽象出模型的特征,识别二项分布和超几何分布,明确二项分布与超几何分布的联系与区别,并进行简单应用.学习过程中要充分体验从特殊到一般的探究过程,提升数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养.学习目标1.通过实例了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征.(数学抽象、数学运算)2.能用二项分布解决简单的实际问题.(数学建模)基础落实·必备知识一遍过知识点

二项分布1.伯努利试验:我们把只包含

可能结果的试验叫做伯努利试验.

2.n重伯努利试验:我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.n重伯努利试验具有如下共同特征:(1)同一个伯努利试验重复做n次;

各次试验成功的概率相同(2)各次试验的结果相互独立.两个

3.二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=

,k=0,1,2,…,n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).4.二项分布的均值与方差(1)两点分布:如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)二项分布:如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).

当n=1时,即为两点分布微思考1.在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互有影响吗?

2.二项分布与两点分布有何联系?提示

在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互之间无影响.因为每次试验是在相同条件下独立进行的,所以第i+1次试验的结果不受前i次结果的影响(其中i=1,2,…,n-1).提示

在二项分布中,当n=1时,随机变量服从两点分布.重难探究·能力素养速提升问题1什么是伯努利试验?问题2什么是n重伯努利试验?有何特征?如何判断?问题3在伯努利试验中,我们关注某个事件A是否发生,而在n重伯努利试验中,我们会关注什么?更深入分析,事件A发生的次数是一个随机变量,那我们会关注什么?探究点一n重伯努利试验概率的求法问题4如何求n重伯努利试验的概率?【例1】

甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是,假设每次射击是否击中目标相互独立,甲、乙相互之间没有影响.(结果需用分数作答)(1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;(2)若两人各射击2次,求甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.规律方法

n重伯努利试验概率求法的三个步骤(1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是不是n重伯努利试验.(2)分拆:将复杂事件表示成若干个互斥事件的并.(3)计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算.探究点二求两点分布与二项分布的均值问题5伯努利试验的概率分布有何特征?n重伯努利试验的概率分布有何特征?这些概率分布有何性质?【例2】

某运动员投篮命中率为p=0.6.(1)求投篮1次时命中次数X的均值;(2)求重复5次投篮时,命中次数Y的均值.解

(1)投篮1次,命中次数X的分布列如下表.X01P0.40.6则E(X)=0.6.(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,即Y~B(5,0.6),则E(Y)=5×0.6=3.规律方法

常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率,则(1)两点分布E(X)=p;(2)二项分布E(X)=np.熟练应用上述公式可大大减少运算量,提高解题速度.探究点三二项分布的应用问题6n重伯努利试验的概率分布有何性质?如何利用其来解决问题?【例3】

高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知,某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为,该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验.(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子),求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率.(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子),如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验,否则将继续进行下次试验,直到种子发芽成功为止,但试验的次数最多不超过5次.求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的分布列.解

(1)至少有3次发芽成功,即有3次、4次、5次发芽成功.设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X,规律方法

1.二项分布的简单应用是求n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率.2.利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率,其实质是求随机变量在某一取值范围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件求概率.本节要点归纳1.知识清单:(1)n重伯努利试验的概念及特征;(2)二项分布的概念及表示;(3)二项分布的均值、方差;(4)二项分布的性质.2.方法归纳:公式法,数学建模.3.常见误区:对于随机变量是否服从二项分布容易判断错误.学以致用·随堂检测促达标123456789101112A级必备知识基础练1.(多选题)若随机变量X服从二项分布B(4,),则下列结论正确的有(

)A.P(X=1)=P(X=3)B.P(X=2)=3P(X=1)C.P(X=4)=2P(X=0)D.P(X=3)=4P(X=1)BD13123456789101112131234567891011122.已知X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则n与p的值分别为(

)A.100和0.08 B.20和0.4C.10和0.2 D.10和0.8D131234567891011123.某同学上学路上要经过3个路口,在每个路口遇到红灯的概率都是,且在各路口是否遇到红灯是相互独立的,记X为遇到红灯的次数,若Y=3X+5,则Y的标准差为(

)A131234567891011124.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道:“春江潮水连海平,海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系,这是一种自然现象.根据历史数据,已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为,则该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮的概率为(

)A13解析

该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮,123456789101112131234567891011125.甲、乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局比赛都结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3∶1的比分获胜的概率为(

)A解析

当甲以3∶1的比分获胜时,说明甲、乙两人在前三场比赛中,甲只赢了两局,乙赢了一局,第四局甲赢,所以甲以3∶1的比分获胜的概率为13123456789101112BCD1312345678910111213123456789101112131234567891011127.在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为,则在1次试验中事件A发生的概率为

.

131234567891011128.小明参加社区组织的射击比赛活动,已知小明射击一次,击中区域甲的概率是,击中区域乙的概率是,击中区域丙的概率是,区域甲、乙、丙均没有重复的部分.这次射击比赛获奖规则是:若击中区域甲则获一等奖;若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖,有一半的机会获得三等奖;若击中区域丙则获得三等奖;若击中上述三个区域以外的区域则不获奖.获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号.(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率;(2)小明在比赛中射击4次,每次射击的结果相互独立,设获三等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.131234567891011121312345678910111213123456789101112B级关键能力提升练9.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是(

)A.[0.4,1) B.(0,0.4] C.(0,0.6] D.[0.6,1)A∴4(1-p)≤6p.∵0<p<1,∴0.4≤p<1.1312345678910111210.(多选题)若随机变量X~B(5,),则P(X=k)最大时,k的值可以为(

)A.1 B.2 C.3 D.4AB1312345678910111211.某同学共投篮12次,每次投篮命中的概率为0.8,假设每次投篮相互独立,记他投篮命中的次数为随机变量X,则D(2X)=

,该同学投篮最有可能命中

次.

7.6810解析

由二项分布的定义可知,X~B(12,0.8),故D(2X)=22D(X)=4×12×0.8×(1-0.8)=7.68.设该同学投篮最有可能命中m次,131234567891011121312345678910111212.用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布,两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏,“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”.双方出示的手势相同时,不分胜负.现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的.(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率;

(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏,其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X,求X的分布列.13123456789101112解

(1)用x1,x2分别表示玩家甲、乙双方在1次游戏中出示的手势,则可用(x1,x2)表示玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的可能结果,则样本空间Ω={(石头,石头),(石头,剪刀),(石头,布),(剪刀,石头),(剪刀,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),(布,剪刀),(布,布)},共有9个样本点.玩家甲胜玩家乙的样本点分别是(石头,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),共有