第10讲直线的交点坐标与距离公式

直线的交点坐标与距离公式【考点归纳】考点一、求相交直线的交点坐标或者参数问题考点二、两点间的距离问题考点三、点到直线的距离或参数问题考点四：求点关于直线对称问题考点五：求直线关于直线对称问题考点六、两平行线间的距离考点七：直线关于点、直线对称问题考点八、距离的综合应用【知识梳理】知识点一两条直线的交点1．两直线的交点已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)．(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．两直线的位置关系方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行知识点二两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关．(2)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).知识点三点到直线的距离、两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长图示公式(或求法)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【例题详解】题型一、求相交直线的交点坐标或者参数问题1．（2324高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先求出两条直线的交点坐标，再根据垂直求出斜率，点斜式写方程即可.【详解】由题知：，解得：，交点.直线的斜率为，所求直线斜率为.所求直线为：，即.故选：B.2．（2021高二·全国·课后作业）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分和讨论，当时求出交点，根据交点位于第一象限列不等式组求解可得.【详解】当时，，此时，不满足题意；当时，解方程组得，由题知，解得，即实数a的取值范围为.故选：A3．（2021高二上·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意联立方程得，再解不等式即可得答案；【详解】联立，得，∵直线与射线恒有公共点，∴，解得.∴m的取值范围是.故选：C.题型二、两点间的距离问题4．（2223高二上·全国·阶段练习）已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据菱形对角线互相垂直可知轴，则可设，由可构造方程求得结果.【详解】四边形为菱形，轴，轴，可设，，，解得：（舍）或，.故选：A.5．（2324高二上·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．5【答案】D【分析】设，换元后所求式子为，转化为求动点与两定点距离和的最小值即可得解.【详解】设，则，所以，而可看做轴上动点与两定点的距离和，如图，

由图可知当运动到时，最小，最小值为，所以的最小值为.故选：D6．（2223高二上·湖北宜昌·期中）函数的最小值是（

）A．5 B．4 C． D．【答案】A【分析】本题将转化为点到两定点的距离和，然后利用将军饮马模型，得到距离最值即可.【详解】，则其几何意义为点到两定点的距离和，点表示为横坐标上的点，作出如图所示：根据将军饮马模型，作出点关于轴对称点，连接，交轴于点，则，此时直线的直线方程为令，则，故当时，.故选：A.题型三、点到直线的距离或参数问题7．（2324高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（

）A． B．6 C．或4 D．4或6【答案】D【分析】求出点到直线的距离和点到直线的距离，二者相等求解方程即可.【详解】点到直线的距离为，点到直线的距离为，因为点到直线的距离和点到直线的距离相等，所以，所以或.故选：D.8．（2324高二上·北京·期中）点到两条直线：，距离相等，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用点到直线的距离公式得到，结合求出，再由及计算可得.【详解】依题意，所以，即，又，所以，解得，显然，所以，当时，所以，当时，所以，综上可得.故选：B9．（2324高二上·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（

）A． B． C． D．5【答案】B【分析】求出点坐标，且直线过定点，当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，利用两点间的距离公式计算可得答案.【详解】由得，即，直线：，所以直线过定点，所以当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，且最大值为.故选：B.题型四：求点关于直线对称问题10．（2324高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点.【详解】由题意，在直线中，斜率为，垂直于直线且过点的直线方程为，即，设两直线交点为，由，解得：，∴,∴点关于直线的对称点的坐标为，即，故选：C.11．（2023高二上·全国·专题练习）点关于直线对称点Q的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出点Q，根据斜率和中点坐标得到关于a，b的方程组，求出即可．【详解】设点关于直线的对称点Q，则，解得：．所以.故选：A．12．（2324高二上·河南商丘·期中）已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】画出草图可知，点M、点N在直线l同侧，运用对称性即可求得结果.【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为，则，解得，即，所以．故选：C.题型五：求直线关于直线对称问题13．（2324高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程．【详解】设关于直线的对称点为，则，解得，即，所以反射光线所在直线方程为，即．故选：B．14．（2324高二上·广东佛山·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出关于直线的对称点，再求出与所在的直线方程即为入射光线所在直线的方程.【详解】设点关于直线的对称点为，则解得即.所以人射光线所在直线的方程为，即.故选：A15．（2324高二上·湖北武汉·期中）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】先求得入射光线所在直线与轴的交点，进而求得反射光线所在直线方程.【分析】倾斜角为的直线，斜率为，所以入射光线为，令，解得，所以入射光线与轴的交点为，反射光线的斜率为，则反射光线的方程为.故选：D题型六、两平行线间的距离16．（2324高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线与间的距离为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算即得.【详解】直线化为：，所以平行直线与间的距离为.故选：D17．（2223高二上·天津和平·期中）已知直线与直线和平行且距离相等，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设直线的方程为，然后利用两平行线间的距离公式列方程求解即可.【详解】设直线的方程为，由两条平行线间的距离公式可得：，解得：，所以直线的方程为，故选：.18．（2122高三上·河南郑州·阶段练习）已知，，则与直线平行且距离为2的直线方程为（）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】先求出直线的方程为，设所求直线的方程为，解方程求出即得解.【详解】由题意得，直线的方程为，即，设所求直线的方程为，则，解得或，∴所求直线的方程为或.故选：C.题型七：直线关于点、直线对称问题19．（2324高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（

）A． B． C． D．（1，0）【答案】C【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上.【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上，∴，解得，即一定在直线上.故选：C.20．（2324高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案.【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，则，解得，∵点在直线上，即，∴，化简得，即为所求直线方程.故选：B.21．（2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解.【详解】联立，得，取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，直线的斜率，所以直线的方程为，整理为：.故选：A题型八、距离的综合应用22．（2324高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求：(1)点关于直线的对称点的坐标；(2)直线关于直线对称的直线方程；(3)直线关于点对称的直线方程．【答案】【小题1】【小题2】【小题3】【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解.（2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程.（3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可.【详解】（1）设点关于直线的对称点的坐标为，则有题意可得，解得，故点关于直线的对称点的坐标为．（2）由可得，直线与直线的交点为，再在直线上取一点，设点关于直线的对称点为，则由解得，即．由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为，则直线方程为，化简为．（3）在直线上任意取出两个点，求出这两个点关于点对称点分别为由题意可得，是所求直线上的两个点，则直线斜率为3，则所求直线方程为，即．23．（2223高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线：，.(1)证明直线过定点，并求出点的坐标；(2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程；(3)若直线不经过第四象限，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析，点的坐标为(2)或(3)【分析】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点；（2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可；（3）分①，②，③，且三种情况进行讨论分析解决.【详解】（1）证明：整理直线的方程，得，所以直线过直线与的交点，联立方程组，解得，所以直线过定点，点的坐标为.（2）当截距为0时，直线的方程为，即，当截距不为0时，设直线的方程为，则，解得，直线的方程为，即，故直线的方程为或.（3）当时，直线的方程为，符合题意；当时，直线的方程为，不符合题意；当，且时，，所以解得或，综上所述，当直线不经过第四象限时，的取值范围是：.24．（2122高一下·江西宜春·阶段练习）已知直线及点和点，为上一动点．(1)求的最小值并求出此时点的坐标；(2)在（1）的条件下，直线经过点且与轴正半轴､轴正半轴分别交于､两点，当直线与两坐标轴围成的三角形面积取得最小值时，求直线的方程．【答案】(1)最小值为，(2)【分析】（1）设关于直线的对称点，利用即可求解；（2）设直线的方程为，求出在坐标轴上的截距，表示出三角形的面积，利用均值不等式求解.【详解】（1）设关于直线的对称点，则且，解得，即，，此时，，，即，与联立，解得；（2）由题可知直线的斜率存在且为负，设直线的方程为，令，则，令，则，所以三角形面积因为，当且仅当时，等号成立，所以，当且仅当时，等号成立，，此时直线的方程为，化简得.【专项训练】一、单选题25．（2324高一下·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直线的方程，利用点到直线距离公式求解.【详解】根据题意，，所以直线的方程为，即，点到直线的距离为.故选：C.26．（2024·全国·模拟预测）平行直线与之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先通过平行求出，再利用平行线的距离公式求解.【详解】因为，所以，，解得，所以，故两平行直线间的距离．故选：C．27．（2324高二上·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（

）A．或4 B．4 C．或6 D．或16【答案】D【分析】利用平行线间的距离公式求解即可.【详解】由题意可知，直线与直线平行，所以，因为直线与直线间的距离为2，所以，解得或.故选：D.28．（2324高三上·广东·期末）直线关于直线对称的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出图象，找出一个对称点和直线与直线的交点，即可求出对称直线的方程.【详解】由题意，在直线中，作出图象如下图所示，由图可知，点关于直线对称的点为,直线与直线的交点为,∴关于直线对称的直线方程为：，即，∴关于直线对称的直线方程是：.故选：B.29．（2324高二上·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】因为直线与直线平行，所以的最小值为直线与直线距离，求解即可.【详解】由直线可得，所以直线与直线平行，所以的最小值为直线与直线距离，所以.故选：C.30．（2324高二上·广东·阶段练习）已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】联立两直线求出交点坐标，根据的方向向量求出直线的斜率即可求出的方程.【详解】联立，解得，即直线：，：的交点为，又直线的一个方向向量，所以直线的斜率为，故直线的方程为，即，故选：B．31．（2324高二上·河南·阶段练习）在中，已知，若直线为的平分线，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据点关于线的对称求解关于直线的对称点，即可根据两点求解的方程,即可求解直线方程.【详解】过作关于直线的对称点，则在直线上，设，根据且的中点在直线上，得，解得，所以，又，所以直线方程为，故方程为，故选：D

32．（2324高二上·湖南益阳·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程.【详解】若是关于的对称点，则，设饮马点为，如下图示，

由图知：，当且仅当共线时等号成立，所以.故选：C二、多选题33．（2324高二上·山东潍坊·期末）已知直线，点，则（

）A．过点A与l平行的直线的方程为B．点A关于对称的点的坐标为C．点A到直线l的距离为D．过点A与l垂直的直线的方程为【答案】ACD【分析】由平行垂直求出直线方程判断AD，写出对称点坐标判断B，由得点到直线距离判断C．【详解】与直线平行的直线方程可设为，代入点坐标得，即，即平行线方程为，A正确；关于的对称点坐标为，B错；到直线的距离为，C正确；与直线垂直的直线方程可设为，代入点坐标得，，直线方程即为，D正确．故选：ACD．34．（2324高二上·广东深圳·期中）已知直线：，下列说法正确的是（

）A．直线过定点B．当时，关于轴的对称直线为C．点到直线的最大距离为D．直线一定经过第四象限【答案】ABC【分析】化简直线方程，联立方程组，可判定A正确；由直线，结合对称性和直线方程，可判定B正确；结合直线时，点到直线的距离最大，可判定C正确；根据直线不一定经过第四象限，可判定D错误.【详解】对于A，由直线，可得，联立方程组，解得，所以直线过定点，所以A正确；对于B，当时，直线，在直线上取两点，则点关于轴对称的点，点关于轴对称的点，所以关于轴对称直线为，即，所以B正确；对于C，由A项知直线过定点，则当直线时，点到直线的距离最大，最大距离为，所以C正确；对于D，直线不一定经过第四象限，比如：当时，直线：不经过第四象限，所以D错误.

故选：ABC.35．（2324高一上·云南昆明·期中）已知直线：，：，且，则（

）A． B．C．与直线垂直 D．与与间的距离为【答案】ACD【分析】根据两直线平行的系数要求，求出的值，然后根据垂直要求判断直线是否垂直，根据平行线间距离公式求其距离.【详解】当时，则，解得或．若，则：，：，，重合，故不符合题意；若，则：，：，，所以与间的距离为．由，得与直线垂直．故选：ACD.36．（2223高二上·山东青岛·期中）已知直线：，：，则下列选项正确的为（

）A．直线过定点 B．当时，或C．当时，和相交 D．当时，两直线，之间的距离为1【答案】AB【分析】直线方程整理为关于的方程，由恒等式知识可求得定点坐标，判断A，由垂直的条件求得参数范围，判断B，由两直线平行的条件求得的值可得相交的条件，判断C，由两直线平行，然后求得值，代入后得两平行线的方程，由距离公式计算．【详解】直线方程整理为，由，解得，因此直线过定点，A正确；，则，解得或，B正确；由得或，所以且时，和相交，C错；时，两直线方程分别为，，两直线平行，它们的距离为，时，两直线方程分别为和，即和，两直线平行，距离为，D错．故选：AB．三、填空题37．（2324高二上·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为．【答案】或【分析】代入两点间距离公式，即可求解.【详解】，化简为，解得：或.故答案为：或38．（2324高二上·北京石景山·期末）直线与直线之间的距离为.【答案】【分析】代入平行线间的距离公式，即可求解.【详解】直线，则与之间的距离.故答案为：39．（2324高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值．【答案】【分析】联立方程组解得交点坐标，列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可.【详解】由解得，所以的交点坐标为，过定点，若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行，当经过点时，，解得；当与平行时，，解得；当与平行时，，解得.故的值为.故答案为：（只需写出其中一个即可）.40．（2324高二上·江西新余·开学考试）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点，则BC所在的直线方程为．【答案】【分析】分别求点关于轴和直线的对称点，再根据几何关系求得直线的方程.【详解】点关于轴的对称点为，设点关于的对称点为，则，解得：，即,由对称性可知，点在直线上，所以，直线的方程为，即.

故答案为：41．（2223高二上·江苏苏州·期中）已知点在直线上，点，则取得最小值时点坐标为．【答案】【分析】作图分析，结合对称性将转化为，则点与在同一直线时，最小，求得此时点坐标即可.【详解】解：如图，设关于直线的对称点为，因为所以，解得，则所以，结合图形则当三点共线时，此时取得最小值，即在点位置时，则，直线为于是，解得，即，故取得最小值时点坐标为.故答案为：.四、解答题42．（2324高二上·江苏无锡·期中）已知直线，点.(1)已知直线与平行，求的值；(2)求点关于直线的对称点的坐标.【答案】(1)3(2)【分析】（1）根据两直线平行的斜率关系列式运算得解；（2）设出对称点的坐标，利用中点在直线上，以及直线垂直，列出方程，即可求得结果.【详解】（1）由直线平行直线，可得，解得或，当时，直线符合题意，当时，直线与直线重合，不合题意，所以的值为3.（2）设对称点的坐标为，则中点的坐标为，所以可得，解得，所以的坐标为.43．（2324高二上·山东青岛·阶段练习）已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.(1)求直线的方程：(2)求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用点斜式求得直线的方程.（2）先求得两点的坐标，结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形的面积.【详解】（1）边上的高所在直线方程为，直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为.（2）边上的