第20讲两点间的距离公式（两大题型归纳分层练）（原卷版）

第20讲两点间的距离公式【人教A版选修一】目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01两点之间的距离公式 2题型02坐标法的应用 4分层练习 8夯实基础 8能力提升 14创新拓展 20两点之间的距离公式1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).注意点：(1)此公式与两点的先后顺序无关．(2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(1＋k2)·|x2－x1|，或|P1P2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.题型01两点之间的距离公式【解题策略】计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解【典例分析】【例1】已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状．【变式演练】【变式1】（2324高二上·全国·课后作业）已知A，B两点都在直线上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为.【变式2】（2223高二上·全国·单元测试）已知点，，则．【变式3】（2324高二上·山西太原·期末）已知的三个顶点分别为，，.(1)求边所在直线的方程；(2)判断的形状.题型02坐标法的应用【解题策略】(1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”．(2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤①建立坐标系，用坐标表示有关的量．②进行有关代数运算．③把代数运算的结果“翻译”成几何结论【典例分析】课本例4用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．【例2】（2223高二·全国·课后作业）如图所示，正方形ABCD中，在BC上任取一点P（点P不与B、C重合），过点P作AP的垂线PQ交角C的外角平分线于点Q．用坐标法证明：．【变式演练】【变式1】求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．【变式2】已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.【变式3】已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程．【夯实基础】一、单选题1．（2324高二上·山东德州·阶段练习）已知点坐标为，点坐标为，以线段为直径的圆的半径是（

）A． B． C．4 D．32．（2324高二上·江苏徐州·阶段练习）已知三点，且，则的值为（

）A． B． C． D．3．（2324高二上·江苏淮安·阶段练习）两点间的距离为（

）A． B． C． D．4．（2324高二上·山东德州·阶段练习）若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离d的最小值是（

）A． B． C． D．二、多选题5．（2324高二上·全国·课后作业）（多选）已知点，且，则a的值为（

）A．1 B． C．5 D．6．（2223高一下·江苏南通·期末）对于两点，，定义一种“距离”：，则（

）A．若点C是线段AB的中点，则B．在中，若，则C．在中，D．在正方形ABCD中，有三、填空题7．（2324高二上·全国·课后作业）已知点、、，且，则.8．（2223高一下·重庆沙坪坝·期末）已知点，，点在轴上，则的取值范围是.四、解答题9．（2324高二上·全国·课后作业）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【能力提升】一、单选题1．（2223高二上·广西防城港·期末）已知点，则为（

）A．5 B． C． D．42．（2223高二上·江苏连云港·期中）已知三点，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．3．（2223高二上·新疆巴音郭楞·期中）已知点A、B是直线与坐标轴的交点，则（

）A． B． C．1 D．24．（2223高二·全国·课后作业）已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），则四边形ABCD是（

）A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形二、多选题5．（2122高二上·江苏无锡·期中）已知直线：，：，，以下结论正确的是（

）A．不论为何值时，与都互相垂直B．当变化时，与分别经过定点和C．不论为何值时，与都关于直线对称D．设为坐标原点，如果与交于点，则的最大值是6．（2223高二上·安徽滁州·期中）已知在以为直角顶点的等腰三角形中，顶点、都在直线上，下列判断中正确的是（

）A．点的坐标是或B．三角形的面积等于C．斜边的中点坐标是D．点关于直线的对称点是三、填空题7．（2324高二上·全国·课后作业）若，则.8．（2223高二·江苏·假期作业）设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是，则A与B坐标分别为，．9．（2223高二·江苏·假期作业）直线和直线分别过定点和，则|．四、解答题10．（2122高二·全国·课后作业）已知，证明是等边三角形．【创新拓展】一、单选题1．（2223高二上·天津河西·期中）已知点，，为轴上一点，且，则点的坐标为（

）A． B． C． D．2．（2021高二上·山东青岛·期中）圆心在直线上，并且经过点和的圆的半径为（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题3．（2223高二上·天津滨海新·期中）点是直线：上的一动点，则到两点，的距离之和最小值为．三、解答题4.如图所示，