4.1两个计数原理课件高二上学期数学选择性

第4章计数原理4.1两个计数原理湘教版

数学

选择性必修第一册课标要求1.通过实例,理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义;2.能根据具体问题的特征,选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标基础落实·必备知识一遍过知识点1分类加法计数原理如果完成一件事有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,…,在第n类办法中有mn种不同的方法,每种方法都能独立完成这件事,那么完成这件事共有N=

种不同的方法.

m1+m2+…+mn名师点睛1.分类加法计数原理中的“完成一件事有n类办法”是指完成这件事的所有方法可以分为n类,每一类中没有相同的方法,且完成这件事的任何一种方法都在某一类中.2.分类加法计数原理与集合类比:S=S1∪S2∪…∪Sn且Si∩Sj=⌀(i≠j,i,j=1,2,…,n),如图.集合S共有(m1+m2+…+mn)个元素完成事件S共有(m1+m2+…+mn)种方法

过关自诊某校高一年级共8个班,高二年级共6个班,从中选一个班级承担学校星期一早晨的升旗任务,安排方法共有多少种?提示由分类加法计数原理,得承担升旗这一任务分两类,安排方法共有8+6=14种.知识点2分步乘法计数原理如果完成一件事需要分成n个步骤,第一步有m1种不同的方法,第二步有m2种不同的方法,…,第n步有mn种不同的方法,每个步骤都完成才算做完这件事,那么完成这件事共有N=

种不同的方法.

m1×m2×…×mn名师点睛1.分步乘法计数原理中每个步骤之间是连续的、缺一不可的,且不能重复、交叉,简而言之即为“步骤完整”.2.两个计数原理的区别与联系原理分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种类不同点分类完成,类类相加分步完成,步步相乘每类办法中的每一种方法都能独立完成这件事每个步骤依次完成才算完成这件事(每个步骤中的一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立,不重不漏步步相依,步骤完整过关自诊如何区分一个问题是“分类”还是“分步”?提示如果完成这件事,可以分几种情况,每种情况中任何一种方法都能完成任务,则是分类;若从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务,且只有依次完成各种情况,才能完成这件事,则是分步.重难探究·能力素养速提升探究点一分类加法计数原理【例1】某校高三共有三个班,各班人数如下表.班级男生人数女生人数总人数高三(1)班302050高三(2)班252550高三(3)班351550(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,有多少种不同的选法?分析(1)从每个班任选1名学生担任学生会主席,每一种选法都能独立地完成这件事,因此应采用分类加法计数原理;(2)完成这件事有三类方案,因此也应采用分类加法计数原理.解

(1)从每个班任选1名学生担任学生会主席,共有3类不同的方案:第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法;第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有50种不同的选法;第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有50种不同的选法.根据分类加法计数原理知,从三个班中任选1名学生担任学生会主席,共有50+50+50=150种不同的选法.(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,共有3类不同的方案:第1类,从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第2类,从高三(2)班男生中选出1名学生,有25种不同的选法;第3类,从高三(3)班女生中选出1名学生,有15种不同的选法.根据分类加法计数原理知,从高三(1)班、(2)班男生中或高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,共有30+25+15=70种不同的选法.规律方法

1.应用分类加法计数原理解题的策略(1)标准明确:明确分类标准,依次确定完成这件事的各类方法.(2)不重不漏:完成这件事的各类方法必须满足既不能重复,又不能遗漏.(3)方法独立:确定的每一类方法必须能独立地完成这件事.2.利用分类加法计数原理解题的一般思路变式训练1有三个袋子,里面分别装有不同编号的红色小球6个,白色小球5个,黄色小球4个.若从三个袋子中任取1个小球,有

种不同的取法.

15解析

三个袋子中任取1个小球可以分为3类:第1类,从第1个袋子中任取1个小球,有6种不同的取法;第2类,从第2个袋子中任取1个小球,有5种不同的取法;第3类,从第3个袋子中任取1个小球,有4种不同的取法.根据分类加法计数原理,从三个袋子中任取1个小球,不同的取法共有6+5+4=15种.探究点二分步乘法计数原理【例2】一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四个数字的号码?(各位上的数字允许重复)解

由题可知,可以分四步完成:第1步,第一个拨号盘有10种拨号方式,所以m1=10;第2步,第二个拨号盘有10种拨号方式,所以m2=10;第3步,第三个拨号盘有10种拨号方式,所以m3=10;第4步,第四个拨号盘有10种拨号方式,所以m4=10.根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×10×10×10=10

000个四个数字的号码.变式探究若各位上的数字不允许重复,那么这个拨号盘可以组成多少个四个数字的号码?解

由题可知,可以分四步完成:第1步,第一个拨号盘有10种拨号方式,即m1=10;第2步,去掉第1步拨的数字,第二个拨号盘有9种拨号方式,即m2=9;第3步,去掉前两步拨的数字,第三个拨号盘有8种拨号方式,即m3=8;第4步,去掉前三步拨的数字,第四个拨号盘有7种拨号方式,即m4=7.根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×9×8×7=5

040个不重复的四个数字的号码.规律方法

应用分步乘法计数原理的解题策略(1)应用分步乘法计数原理时,完成这件事情要分几个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事情,每个步骤缺一不可.(2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路:探究点三两个原理的综合应用【例3】有A,B,C型高级电脑各一台,甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同,甲、乙会操作三种型号的电脑,丙不会操作C型电脑,而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑,则不同的选派方法有多少种?分析由于4个操作人员可操作的电脑型号不同,因此首先将所选3人分类,然后每一类再分步完成,即解答本题可“先分类,后分步”.解

第1类,选甲、乙、丙3人,由于丙不会操作C型电脑,分3步安排这3人操作电脑,第一步,安排丙,有2种方法;第二步,安排甲,有2种方法;第三步,安排乙,有1种方法.根据分步乘法计数原理有2×2×1=4种方法;第2类,选甲、乙、丁3人,由于丁只会操作A型电脑,这时安排3人操作电脑,有2种方法;第3类,选甲、丙、丁3人,这时安排3人操作电脑,有1种方法;第4类,选乙、丙、丁3人,这时安排3人操作电脑,有1种方法.根据分类加法计数原理,共有4+2+1+1=8种选派方法.规律方法

1.使用两个原理的原则使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类,逐类解决,用分类加法计数原理;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然后逐步解决,这时可用分步乘法计数原理.2.应用两个计数原理计数的步骤(1)明确完成的这件事是什么.(2)思考如何完成这件事.(3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类.(4)选择计数原理进行计算.变式训练2现有5幅不同的国画、2幅不同的油画、7幅不同的水彩画.从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法?解

依题意,从这些画中选出两幅不同种类的画可分为三类:第一类,一幅选自国画,一幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有5×2=10种不同的选法;第二类,一幅选自国画,一幅选自水彩画,由分步乘法计数原理知,有5×7=35种不同的选法;第三类,一幅选自油画,一幅选自水彩画,由分步乘法计数原理知,有2×7=14种不同的选法.根据分类加法计数原理,共有10+35+14=59种不同的选法.本节要点归纳1.知识清单:(1)分类加法计数原理;(2)分步乘法计数原理.2.方法归纳:完成这件事有若干类不同的办法,用分类加法计数原理;完成这件事要依次完成若干个相互依存的步骤,用分步乘法计数原理;完成这件事既要分类,又要分步,则综合使用两个计数原理.3.注意事项:用分类加法计数原理要做到分类“不重复、不遗漏”,而用分步乘法计数原理要做到不能缺少任何一个步骤.学以致用·随堂检测促达标12345678910111213141516A级必备知识基础练1.已知a∈{3,4,6},b∈{1,2},r∈{1,4,9,16},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示的不同圆的个数是(

)A.6 B.9

C.16 D.24D解析

确定一个圆的方程可分为三步:第一步,确定a,有3种选法;第二步,确定b,有2种选法;第三步,确定r,有4种选法.根据分步乘法计数原理得,表示的不同圆的个数为3×2×4=24.123456789101112131415162.从甲地到乙地有5种走法,从乙地到丙地有4种走法,从甲地不经过乙地到丙地有3种走法,则从甲地到丙地的不同走法种数为(

)A.5+4+3 B.5×4+3C.5×3+4 D.5×4×3B解析

从甲地到丙地的走法分为两类:第一类,从甲地经乙地到丙地,共有5×4种走法;第二类,直接从甲地到丙地,共有3种走法.根据分类加法计数原理,共有5×4+3种不同的走法.123456789101112131415163.如图所示,电路中有4个电阻和一个电流表A,若没有电流流过电流表A,其原因仅为电阻断路的可能情况共有(

)A.9种

B.10种

C.11种

D.12种C解析

电阻断路,使得没有电流流过电流表A的情况,可分为4类:第1类,1个电阻坏,使得没有电流流过电流表A的情况,有1种;第2类,2个电阻坏,使得没有电流流过电流表A的情况,有5种;第3类,3个电阻坏,使得没有电流流过电流表A的情况,有4种;第4类,4个电阻全坏,使得没有电流流过电流表A的情况,有1种.根据分类加法计数原理知,共有1+5+4+1=11种可能情况.故选C.123456789101112131415164.若x,y∈N+,且x+y≤5,则有序自然数对(x,y)的个数为(

)A.6 B.8

C.9 D.10D解析

当x=1时,y=1,2,3,4,共构成4个有序自然数对;当x=2时,y=1,2,3,共构成3个有序自然数对;当x=3时,y=1,2,共构成2个有序自然数对;当x=4时,y=1,共构成1个有序自然数对.根据分类加法计数原理,共有N=4+3+2+1=10个有序自然数对.123456789101112131415165.现有的5名候选篮球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有

种.(用数字作答)

9解析

从5名队员中选3名队员中至少有一名老队员,可分2类:第一类,选两名老队员、一名新队员,有3种选法;第二类,选两名新队员、一名老队员,有2×3=6种选法.根据分类加法计数原理,共有9种不同选法.123456789101112131415166.已知集合A={0,3,4},B={1,2,7,8},集合C={x|x∈A或x∈B},则当集合C中有且只有一个元素时,有

种情况.

7解析

从集合A,B中选1个元素,可以分为2类:第一类,当集合C中的元素属于集合A时,有3种情况;第二类,当集合C中的元素属于集合B时,有4种情况.因为集合A与集合B无公共元素,根据分类加法计数原理,共有3+4=7种情况.123456789101112131415167.集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4},从集合A,B中各取1个元素,作为点P(x,y)的坐标.(1)可以得到多少个不同的点?(2)这些点中,位于第一象限的有几个?解

(1)可分为两类:第一类,A中元素为x,B中元素为y,共有3×4=12个不同的点;第二类,A中元素为y,B中元素为x,共有4×3=12个不同的点.根据分类加法计数原理,共有12+12=24个不同的点.(2)位于第一象限内的点,即x,y均为正数,所以只能取A,B中的正数.可分为两类:第一类,A中元素为x,B中元素为y,共有2×2=4个不同的点;第二类,A中元素为y,B中元素为z,共有2×2=4个不同的点.根据分类加法计数原理,共有2×2+2×2=8个不同的点.123456789101112131415168.某班联欢会原定的3个节目已排成节目单,开演前又增加了2个新节目,如果将这2个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为(

)A.12 B.20

C.36

D.120B级关键能力提升练B解析

将2个新节目插入节目单中,分2步:第一步,先插入第一个节目,有4种插法;第二步,插入第二个节目,有5种插法.根据分步乘法计数原理,共有4×5=20种不同的插法.故选B.123456789101112131415169.如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通,则焊接点脱落电路不通的情况种数为(

)A.9 B.11

C.13

D.15C解析

焊接点脱落电路不通的情况,可以分为4类:第1类,若脱落1个,有2种情况;第2类,若脱落2个,有6种情况;第3类,若脱落3个,有4种情况;第4类,若脱落4个,有1种情况.根据分类加法计数原理,共有2+6+4+1=13种情况.故选C.1234567891011121314151610.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同的数字相加,其和为奇数的不同取法的种数为(

)A.30 B.20

C.10

D.9D解析

从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两个不同的数字相加,和为奇数可分为两步:第一步,取出的其中一个数是偶数,共有3种取法;第二步,取出的另一个数是奇数,共有3种取法.由分步乘法计数原理得,共有3×3=9种取法.1234567891011121314151611.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数,作为方程Ax+By=0的系数A,B的值,则形成的不同直线有(

)A.18条

B.20条 C.25条

D.10条A解析

从集合中任取2个不同的数作为方程系数,可分为2步:第一步,取A的值,有5种取法;第二步,取B的值,有4种取法.根据分步乘法计数原理,共有5×4=20条直线.其中当A=1,B=2时与A=2,B=4时是相同的直线;当A=2,B=1时与A=4,B=2时是相同的直线,故共有5×4-2=18条不同的直线.1234567891011121314151612.[2024甘肃白银高二期末](多选题)用n种不同的颜色涂图中的矩形A,B,C,D,要求相邻的矩形涂色不同,不同的涂色方法总种数记为s(n),则(

)A.s(3)=12 B.s(4)=36C.s(5)=120 D.s(6)=600AD

12345678910111213141516解析

当n=3时,分四步:第一步,涂C处,有3种涂色方案;第二步,涂D处,有2种涂色方案;第三步,涂A处,有2种涂色方案;第四步,涂B处,有1种涂色方案,所以不同的涂色方法共3×2×2×1=12(种),所以s(3)=12,故A正确.当n=4时,分四步:第一步,涂C处,有4种涂色方案;第二步,涂D处,有3种涂色方案;第三步,涂A处,有3种涂色方案;第四步,涂B处,有2种涂色方案,所以不同的涂色方法共4×3×3×2=72(种),所以s(4)=72,故B错误.12345678910111213141516当n=5时,分四步:第一步,涂C处,有5种涂色方案;第二步,涂D处,有4种涂色方案;第三步,涂A处,有4种涂色方案;第四步,涂B处,有3种涂色方案,所以不同的涂色方法共5×4×4×3=240(种),所以s(5)=240,故C错误.当n=6时,分四步:第一步,涂C处,有6种涂色方案;第二步,涂D处,有5种涂色方案;第三步,涂A处,有5种涂色方案;第四步,涂B处,有4种涂色方案,所以不同的涂色方法共6×5×5×4=600(种),所以s(6)=600,故D正确.故选AD.1234567891011121314151613.[2023新高考Ⅱ,3]某学校为了了解学生参加体育运动的情况,用比例分配