初中数学中考压轴题专项训练尖子生辅导

初中数学中考压轴题专项训练尖子生辅导

—.解答题（共30小题）

1.（2014•南安市一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，

OA=4,OC=2.点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动,

设点P运动的时间是t秒.将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90。得点D,点D随点P的运动而运动，连

接DP、DA.

（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；

（2）求t为何值时，4DPA的面积最大，最大为多少？

（3）在点P从O向A运动的过程中，4DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值.若不能，请说明理由；

（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长.

考点：二次函数的最值；待定系数法求一次函数解析式；直角三角形的性质；矩形的性质.

专题：压轴题；动点型.

分析：（1）设出P点坐标，再求出CP的中点坐标，根据相似的性质即可求出D点坐标；

（2）根据D点的坐标及三角形的面积公式直接求解即可；

（3）先判断出可能为直角的角，再根据勾股定理求解；

（4）根据点D的运动路线与OB平行且相等解答即可.

解答：解：（1）•.,点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，

/.OP=t,而OC=2,

AP（t,0）,

设CP的中点为F,

则F点的坐标为（上，1）,

2

二将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90。得点D,其坐标为（t+1,1）；

(2)：D点坐标为(t+1,上)，0A=4,

2

SADPA--^APx_tA(4-t)(4t-t2)=->1(t-2)2+l,

222244

•••当t=2时，S展大=1；

(3)能构成直角三角形.

①当NPDA=90。时，PC〃AD,

由勾股定理得，PD2+AD2=AP2,

即(上)2+1+(4-t-1)2+(1)2=(4-t)2,

22

解得，t=2或t=-6(舍去).

**.t=2秒.

②当NPAD=90。时，此时点D在AB上，

可知，/XCOPS/XPAD,

.♦总里，

"PDPA'

.•22

.丁同

PA=1,

即t+l=4,t=3秒.

综上，可知当t为2秒或3秒时，4DPA能成为直角三角形.

(4)•••根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2代,

点D运动路线的长为2代.

点评：此题比较复杂，是动点问题在实际生活中的运用，结合了二次函数、直角三角形的相关性质，具有一定的

综合性.

2.(2013・佛山)如图①，已知抛物线y=ax?+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；

(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②

中阴影部分).

考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换.

专题：压轴题.

分析：(1)把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax?+bx+c利用待定系数法求解即可；

(2)把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；

(3)根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即

可得解.

解答：解：(1),抛物线y=ax?+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3),

(c=3

・・,9a+3b+c=0»

16a+4b+c=3

解得，b=-4，

.c=3

所以抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3；

(2)*.,y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

.•.抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2；

(3)如图，:•抛物线的顶点坐标为(2,-1),

.••PP'=1,

阴影部分的面积等于平行四边形A，APP的面积，

平行四边形A，APP的面积=1x2=2,

.••阴影部分的面积=2.

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，(3)根据平移的

性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键.

3.(2012•邵阳)如图所示，已知抛物线Co的解析式为y=x?-2x

(1)求抛物线C()的顶点坐标；

(2)将抛物线Co每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线Ci、C2、C3、…、Cn(n为正整数)

①求抛物线Ci与x轴的交点Ai、A2的坐标；

②试确定抛物线Cn的解析式.(直接写出答案，不需要解题过程)

考点：二次函数图象与几何变换.

专题：压轴题.

分析：(1)把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后即可得到顶点坐标；

(2)①先求出原抛物线与x轴的交点坐标，再根据向右平移横坐标加，纵坐标不变求出交点AI、A2的坐

标即可；

②根据原抛物线的顶点坐标求出抛物线品的顶点坐标，然后利用顶点式解析式的形式写出即可.

解答：解：(1)Vy=x2-2x=(x-1)2-1,

・'・抛物线C0的顶点坐标为(1,-1)；

(2)①当y=0时，贝I]有”-2x=0,解得：X|=0,x2=2,

则O(0,0),Ai(2,0),

♦.•将抛物线C0向右平移2个单位，得到抛物线C,,

,此时抛物线Co与x轴的交点O(0,0)、A,(2,0)也随之向右平移2个单位，

二抛物线Ci与x轴的交点A|、A2的坐标分别为：A](2,0)、A2(4,0)；

②抛物线Cn的顶点坐标为(l+2n,-1),

则抛物线M的解析式为：y=[x-(l+2n)]2-1,

即y=x2-(4n+2)x+4n2+4n.

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的坐标的移动解答图象的移动是解题的关键，平移规律为"左

加右减，上加下减”.

4.(2011•自贡)已知抛物线y=ax?+2x+3(aM)有如下两个特点：①无论实数a怎样变化，其顶点都在某一条直

线1上；②若把顶点的横坐标减少上纵坐标增大工分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加工，纵坐标

aaa

增加工分别作为点B的横、纵坐标，则A,B两点也在抛物线y=ax?+2x+3(axO)上.

a

(1)求出当实数a变化时，抛物线y=ax?+2x+3(a*0)的顶点所在直线1的解析式；

(2)请找出在直线1上但不是该抛物线顶点的所有点，并说明理由；

(3)你能根据特点②的启示，对一般二次函数y=ax?+bx+c(a，0)提出一个猜想吗？请用数学语言把你的猜想表

达出来，并给予证明.

考点：二次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式.

专题：压轴题；开放型：函数思想.

分析：(1)取a=l和-1,求出两点的坐标，用待定系数法求出直线1的解析式即可；

(2)求出抛物线y=ax?+2x+3的顶点P坐标为(-1,3-工)，根据其取值，即可得出不是该抛物线的

aa

顶点的坐标；

(3)猜想：对于抛物线y=ax?+bx+c(a*0),将其顶点的横坐标减少二纵坐标增加工分别作为点A的横、

aa

纵坐标；把顶点的横坐标增加二纵坐标增加工分别作为点B的横、纵坐标，则A,B两点也在抛物线

aa

y=ax2+bx+c(a*0)上；求出其横、纵坐标，把横坐标代入函数式，验证即可；

解答：解：(1)取a=l,得抛物线y=x?+2x+3,

其顶点为Pi(-1,2).

取a=-1,得抛物线y=-X2+2X+3,

其顶点为P2(1，4).

由题意有Pi、P2在直线1上，设直线1的解析式为y=kx+b,则("

Lk+b=4

解得：任口

lb=3

；•直线1的解析式为y=x+3.

(2)••,抛物线y=ax?+2x+3的顶点P坐标为(-工，3-工).

aa

显然P(-—,3)在直线y=x+3上.

aa

又-工能取到除0以外的所有实数，

a

・•・在y=x+3上仅有一点(0,3)不是该抛物线的顶点.

(3)猜想：对于抛物线y=ax?+bx+c(a#0),将其顶点的横坐标减少工，纵坐标增加工分别作为点A的横、

aa

纵坐标；把顶点的横坐标增加工纵坐标增加工分别作为点B的横、纵坐标，则A,B两点也在抛物线

aa

y=ax2+bx+c(a^O)上.证明如下：

2

•.•抛物线y=ax?+bx+c(awO)的顶点坐标为(-上，处一包),

2a4a

..•点A的坐标为T，J

2

点B的坐标为(等,处丁).

4ac-b2+4

x二一日&寸，y=ax2+bx+c=a（肝）2+b（步）+c=

2a2a2a4a

・,•点A（-左吆，但2在抛物线y=ax?+bx+c（a*0）,

2a4a

2

同理有B(士冬，4aC~b+4)也在抛物线上，故结论成立.

2a4a

点评：本题主要考查了二次函数的解析式及用待定系数法求函数的解析式，熟记二次函数的顶点坐标公式及其性

质，是正确解答的关键.

5.(2011•泰州)已知二次函数y=x?+bx-3的图象经过点P(-2,5)

(1)求b的值并写出当1<XV3时y的取值范围；

(2)设Pi(m,yi)、P2(m+1,y2)、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图象上，

①当m=4时，yi、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；

②当m取不小于5的任意实数时，yi、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由.

考点：二次函数图象上点的坐标特征；三角形三边关系.

专题：计算题；压轴题.

分析：(1)把(-2,5)代入二次函数y=x?+bx-3,求出b,根据图象的对称轴即可得出y的范围；

(2)①不能，因为代入求出yi=5,y2=12,y3=21,不符合三边关系定理；②求出yi+y2-y3的值即可.

解答：解：(1)把(-2,5)代入二次函数y=x2+bx-3得：5=4-2b-3,

/.b=-2,

y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

抛物线的开口方向向上，对称轴是直线x=l,

把x=l代入得：y=-4,

把x=3代入得：y=0,

...当1<XS3时y的取值范围是-4<yM),

答：b的值是-2,当1<XS3时y的取值范围是-4<y8.

(2)①答：当m=4时，力、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长.

理由是当m=4时，P|(4,y])、P2(5,y2)、P3(6,y3),

代入抛物线的解析式得：yi=5,y2=12,y3=21,

V5+12<21,

・••当m=4时，yi、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长.

②理由是：•••把Pi(m,yi)>P2(m+1,y2)、P3(m+2,y3)代入y=x?-2x-3=(x-1)2-4得：

**.yi=(m-1)2-4,y2=(m+1-1)2-4,y3=(m+2-1)2-4,

，yi+y2~y3=(m-1)2-4+(m+l-1)2-4-[(m+2-1)2-4]=(m-2)2-8,

Vm>5,

/.(m-2)2-8>0,

/.yi+y2>y3,

根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边），

...当m取不小于5的任意实数时，yi、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长.

点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能正确根

据定理进行计算是解此题的关键.

6.（2010・镇江）对非负实数x"四舍五入"到个位的值记为Vx>,

即：当n为非负整数时，如果n-/<x<n+W<x>=n.

如：<0>=<0.48>=0,<0.64>=<1.493>=1,<2>=2,<3.5>=<4.12>=4,...

试解决下列问题：

（1）填空：①<Tt>=3（JT为圆周率）；

②如果<2x-1>=3,则实数x的取值范围为—工4x<§_；

44

（2）①当xNO,m为非负整数时，求证：Vx+m>=m+Vx>；

②举例说明<*+丫>=<*>+<丫>不恒成立；

（3）求满足<x>=§x的所有非负实数x的值；

3

（4）设n为常数，且为正整数，函数尸*2-x+1的自变量x在Mx<n+1范围内取值时，函数值y为整数的个数

记为a,满足<«>=n的所有整数k的个数记为b.求证：a=b=2n.

考点：二次函数的性质；一元一次不等式的应用；一次函数的性质.

专题：证明题；压轴题.

分析：（1）H的十分位为1,应该舍去，所以精确到个位是3；如果精确数是3,那么这个数应在2.5和3.5之间，

包括2.5,不包括3.5,让2.542X-1V3.5,解不等式即可；

（2）①分别表示出<x+m>和<x>,即可得到所求不等式；②举出反例说明即可，譬如稍微超过0.5的

两个数相加；

（3）刍为整数，设这个整数为k,易得这个整数应在应在k-工和k+工之间，包括k-1，不包括k+工，求

32222

得整数k的值即可求得X的非负实数的值；

（4）易得二次函数的对称轴，那么可求得二次函数的函数值在相应的自变量的范围内取值，进而求得相应

的a的个数；利用所给关系式易得《的整数个数为2n,由此得证.

解答：解：（1）①3；

②由题意得：2.542x-1V3.5,解得：I<x<-;

44

（2）①证明：设<x>=n,则n—系x<n+=，京非负整数；

（n+ro）一（n+m）+=，且n+m为非负整数，

/•<x+m>=n4-m=m+<x>.

②举反例：<0.6>+<0.7>=1+1=2,而VO.6+O.7>=VL3>=1,

A<0.6>+<0.7>*<0.6+0.7>,

,Vx+y>=Vx>+Vy>不一定成立；

（3）Vx>0,9K为整数，设冬=k，k为整数，

33

则x^|k>

••<条>=k,

4

・，・k-k>0，

V0<k<2,

Ak=O,1,2,

***x=0,心，—.

42

112

(4)•・•函数尸J-x+1(x--)，n为整数，

42

当nSx<n+l时，y随x的增大而增大，

,212121c

(n--)(n+1--),即(n-工)<y<(n+—),①

•••/-nCdyCrAn+g6为整数，

44

.*.y=n2-n+1,n2-n+2,n2-n+3,…，n2-n+2n,共2n个y,

**.a=2n,(2)

Vk>0,<Vk>=n,

则；•(n-^)2Ck<(n+-j)2>③

比较①，②，③得：a=b=2n.

点评：解决本题的关键是理解：对非负实数x"四舍五入"到个位的值记为<x>,即：当n为非负整数时，如果

n--^<x<n+^则<x>=n.

7.(2010•红河州)二次函数y=x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位.

(1)画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；

(2)求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0?

考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的图象；抛物线与x轴的交点.

专题：压轴题；开放型.

分析：(1)由平移规律求出新抛物线的解析式；

(2)令y=0,求出x的值，即可得交点坐标.抛物线开口向上，当x的值在两交点之外y的值大于0.

解答：解：(1)国图如图所示：

依题意得：y=(x-1)2-2

=x2-2x+l-2

=x2-2x-1

，平移后图象的解析式为：x2-2x-1

(2)当y=0时，x2-2x-1=0,即(x-1)2=2,

/.x-1=±^/2，即X]=1-板,x2=1+72

.••平移后的图象与x轴交于两点，坐标分别为(1-&，0)和(1+V2-0)

由图可知，当x<1一加或x>1+J射，

二次函数y=(x-1)2-2的函数值大于0.

点评：主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减,

上加下减.并用规律求函数解析式.会利用方程求抛物线与坐标轴的交点.

8.(2010•青岛)己知：把Rt/XABC和RL^DEF按如图(1)摆放(点C与点E重合)，点B、C(E)、F在同一条

直线上.ZACB=ZEDF=90\ZDEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=9cm.

如图(2),^DEF从图(1)的位置出发，以Icm/s的速度沿CB向^ABC匀速移动，在^DEF移动的同时，点P

从AABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当^DEF的顶点D移动到AC边上时，^DEF

停止移动，点P也随之停止移动、DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s)(0<t<4.5)解答下列问

题：

(1)当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

(2)连接PE,设四边形APEC的面积为y(cn?),求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t,使面积y最

小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；

(3)是否存在某一时刻3使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由.

图(1)图(2)

考点：二次函数的最值；线段垂直平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质.

专题：压轴题.

分析：(1)因为点A在线段PQ垂直平分线上，所以得到线段相等，可得CE=CQ,用含t的式子表示出这两个线

段即可得解；

(2)作PM_LBC,将四边形的面积表示为SAABC-S^BPE即可求解；

(3)假设存在符合条件的t值，由相似三角形的性质即可求得.

解答：解：(1)•••点A在线段PQ的垂直平分线上，

，AP=AQ；

VZDEF=45",NACB=90。，ZDEF+ZACB+ZEQC=180°,

ZEQC=45°；

NDEF=/EQC；

，CE=CQ；

由题意知：CE=t,BP=2t,

；.CQ=t；

/.AQ=8-t；

在RtZSABC中，由勾股定理得：AB=10cm；

则AP=10-2t；

/.10-2t=8-t；

解得：t=2；

答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；

(2)过P作PMJ-BE,交BE于M

，NBMP=90。；

在RtAABC和RtABPM中，.向二AJPM'

但AB-BP

•PM8

,,—=—;

2t10

；.PM=旦十；

5

*/BC=6cm,CE=t,/•BE=6-t；

111io

•••y=SAABc-SABPE=-^BC'AC-^BE-PM=^X6X8--^x(67)X-£t

=-1t2-^t+24=1(t-3)2量

5555

•a4>0，

，抛物线开口向上；

当t=3时，y母小="；

5

答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为区n?.

5

(3)假设存在某一时刻t,使点P、Q、F三点在同一条直线上；

过P作PNJ_AC,交AC于N

NANP=NACB=NPNQ=9O。；

,/ZPAN=ZBAC,

/.△PAN^ABAC；

♦,PN_AP_AN.

"BC"AB'AC'

•PN10-2tAN.

10^8"

••邱=6-2，AN=8-§t；

55

VNQ=AQ-AN,

ANQ=8-t-(8--+)=-+

5T5

VZACB=90°,B、C、E、F在同一条直线上，

/.ZQCF=90",ZQCF=ZPNQ；

VZFQC=ZPQN,

/.△QCF^AQNP；

.63

这5

­.PN_NQ；

"FC=CQ'9-1t

A6

-53

V0<t<4.5,•----=—：

9-t5

解得：t=l；

答：当t=ls,点P、Q、F三点在同一条直线上.

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、特殊图形的面积的求法等知识，图形较复杂，考

查学生数形结合的能力，综合性强，难度较大.

9.（2010・南通）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8,E为线段BC上的动点（不与B、

C重合）.连接DE,作EF_LDE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若m=8,求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

（3）若丫=型，要使^DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

m

考点：二次函数的最值；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质.

专题：压轴题；动点型.

分析：（1）利用互余关系找角相等，证明△BEFS/\CDE,根据对应边的比相等求函数关系式;

（2）把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；

（3）VZDEF=90\只有当DE=EF时，Z^DEF为等腰三角形，把条件代入即可.

解答：解：⑴VEF1DE,

ZBEF=90°-ZCED=ZCDE,

又NB=NC=90°,

/.△BEF^ACDE,

...理里，即解得y=8x-x2；

CEDCxinin

2

(2)由(1)得y=8xX,

in

将m=8代入，得y=-A2+=-A(2-8x)=-1(x-4)2+2,

8XX8x8

所以当x=4时，y取得最大值为2；

(3)VZDEF=90°,，只有当DE=EF时，ZXDEF为等腰三角形，

/.△BEF^ACDE,

•'•BE=CD二m,

2

此时m=8-x,解方程128x-x,得*=6,或x=2,

mm

当x=2时，m=6,

当x=6时，m=2.

点评：本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来，在解题过程中，充分运用相似三角形对应边的比相等,

建立函数关系式.

10.(2010•台州)如图，RtZ\ABC中，ZC=90°,BC=6,AC=8.点P,Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A

运动(不与点B重合)，点Q从A向B运动，BP=AQ.点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点，HQ±AB

于Q,交AC于点H.当点E到达顶点A时，P,Q同时停止运动.设BP的长为x,Z^HDE的面积为y.

(1)求证：ADHQ^AABC；

(2)求y关于x的函数解析式并求y的最大值；

(3)当x为何值时，^HDE为等腰三角形？

考点：二次函数的最值；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质.

专题：综合题；压轴题；数形结合；分类讨论.

分析：(1)根据对称性可得HD=HA,那么可得NHDQ=NA,加上已有的两个直角相等，那么所求的三角形相似;

(2)分0<xs2.5；2.5<xS5两种情况讨论，得到y关于x的函数关系式，再利用二次函数的最值即可求得

最大值；

(3)等腰三角形有两边相等，根据所在的不同位置再分不同的边相等解答.

解答：(1)证明：：A、D关于点Q成中心对称，HQ±AB,

...NHQD=NC=90。，HD=HA,

；.NHDQ=NA,

/•△DHQ^AABC.

(2)解：①如图1,当0<x42.5时，

ED=10-4x,QH=AQtanA=A,

4

此时y=—(10-4x)x_?x=-卫乂2+些x,

2424

当x=&f，最大值y=—.

432

②如图2,当2.5<xV5时，

ED=4x-10,QH=AQtanA=Jx,

4

2

此时y=—(4x-10)x.^x=—x-_l§x=—(x--)--.

24242432

当2.5<x45时，y有最大值，

当x=5时，最大值为y=—,

4

(0<x<2.5)

.•.y与X之间的函数解析式为

(2.5<x<5)

则当2.5VXV5时，y有最大值，其最大值是y=但.

4

综上可得，y的最大值为工5.

4

(3)解：①如图1,当0<x<2.5时，

若DE=DH,VDH=AH==jx,DE=10-4x,

cosA4

.'•10-4x=—*，x=—.

421

,/ZEDH>90°,

；.EH>ED,EH>DH,

即ED=EH,HD=HE不可能；

②如图2,当2.5<xS5时，

若DE=DH,4x-10=—Y,x=9^；

411

若HD=HE,此时点D,E分别与点B,A重合，x=5；

若ED=EH,则/ADH=/DHE,

又,点A、D关于点Q对称，

NA=NADH,

/.△EDH^AHDA,

•ED_DHx_320

DHAD103

...当X的值为空，义，5,煞时，^HDE是等腰三角形.

2111103

点评：本题综合考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等问题，注意分不同位置，边长相等的不同情

况探讨三角形为等腰三角形的条件.

11.(2010•湘潭)如图，在直角梯形ABCD中，AB〃DC,ZD=90°,AC1BC,AB=10cm,BC=6cm,F点以2cm/

秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时

间为t秒(0<t<5).

(1)求证：△ACDs/iBAC；

(2)求DC的长；

(3)设四边形AFEC的面积为y,求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值.

考点：二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质.

专题：代数几何综合题；压轴题.

分析：(1)由CD〃AB,得NDCA=/CAB,加上一组直角，即可证得所求的三角形相似.

(2)在Rt^ABC中，由勾股定理可求得AC的长，根据(1)题所得相似三角形的比例线段，即可求出

DC的长.

(3)分析图象可知：四边形AFEC的面积可由^ABC、ABEF的面积差求得，分别求出两者的面积，即可

得到y、t的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最小值.

解答：解：(1)：CD〃AB,/.ZBAC=ZDCA

又•；ACJ_BC,ZACB=90°,，ND=NACB=90°,

/.△ACD^ABAC.

中，

(2)RtZViBCAC=1JAB2_BC2=8cm,

,/△ACD^ABAC,，匹=空，

ACAB

即史=_^_,解得：DC=6.4cm.

810

(3)过点E作AB的垂线，垂足为G,

VZACB=ZEGB=90°,NB公共，

/.△ACB^AEGB,

•EGBE即区J,故EG专

,•丽力'8-10

y=SAABC-SABEF

=1x6X8--^(10-2t)・Ut2-4t+24

2255

=1(t-^)2+19；

故当y的最小值为19.

2

点评：此题考查了梯形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数最值的应用等知识，能

够将面积问题转换为二次函数的最值问题是解答（3）题的关键.

12.（2010•宁德）如图，在梯形ABCD中，AD/7BC,ZB=90°,BC=6,AD=3,NDCB=30。.点E、F同时从B

点出发，沿射线BC向右匀速移动.己知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边

△EFG.设E点移动距离为x（x>0）.

（□△EFG的边长是x（用含有x的代数式表示）,当x=2时，点G的位置在D；

（2）若4EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y,求：

①当0<xV2时，y与x之间的函数关系式；

②当2Vxs6时，y与x之间的函数关系式；

（3）探求（2）中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大

考点：二次函数的最值；梯形.

专题：压轴题；分类讨论.

分析：（1）根据等边三角形的三边相等，则AEFG的边长是点E移动的距离；根据等边三角形的三线合一和F

点移动速度是E点移动速度的2倍，即可分析出BF=4,此时等边三角形的边长是2,则点G和点D重合;

（2）①当0<xS2时，重叠部分的面积即为等边三角形的面积；

②当2<x46时，分两种情况：当2VxV3时和当34x46时，进行计算；

（3）分别求得（2）中每一种情况的最大值，再进一步比较取其中的最大值即可.

解答：解：（1）,•,点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，且F点移动速度是E点移动速度的2倍,

；.BF=2BE=2x,

/.EF=BF-BE=2x-x=x,

/.△EFG的边长是x；

过D作DH_LBC于H,得矩形ABHD及直角△CDH,连接DE、DF.

在直角^CDH中，VZC=30°,CH=BC-AD=3,

.•.DH=CH・tan3O°=3x2Z^=a.

3

当x=2时，BE=EF=2,

•.•△EFG是等边三角形，且DHJ_BC交点H,

；.EH=HF=1

,',DE=DF=VDH2+EH2=2,

...△DEF是等边三角形，

.•.点G的位置在D点.

故答案为X,D点；

②分两种情况:

I.当2Vx<3时，如图1,点E、点F在线段BC上，

△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM,

VZFNC=ZFCN=30°,；.FN=FC=6-2X.；.GN=3x-6.

•.•在RtZ\NMG中,ZG=60°,GN=3X-6,

.'.GM=A(3X-6),

2

由勾股定理得：MN=Y5(3X-6),

2_

•"•SAGMN=^XGMXMN=^XA(3x-6)(3x-6)(3x-6)2

8_

9M.

x2'

图1

II.当34x46时，如图2,点E在线段BC上，点F在射线CH上,

△EFG与梯形ABCD重叠部分为AECP,

VEC=6-x,

(3)当0<x42时,

•••丫=率2,在x>0时，y随X增大而增大，

；.x=2时,y最大二V"^；

当2VxV3时，Vy=-生①咨在*=琢―艰大=延;

83^2277

当34X46时，•.、=堂*2-3乎X'H苧，在x<6时，y随x增大而减小,

•'•x=3时，y

8_

综上所述：当X』，丫城产组1

77

点评:此题是一道动态题，难度较大，注意不同的情况，能够熟练求得二次函数的最值.

13.（2010•株洲）如图，直角^ABC中，NC=90。,AB=2遥，sinB二零，点P为边BC上一动点，PD〃AB,PD

5

交AC于点D,连接AP.

（1）求AC、BC的长；

（2）设PC的长为x,4ADP的面积为y.当x为何值时，y最大，并求出最大值.

考点：二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质.

专题：综合题；压轴题.

分析：（1）在RtZ^ABC中，根据/B的正弦值及斜边AB的长，可求出AC的长，进而可由勾股定理求得BC的

长；

（2）由于PD〃AB,易证得△CPDS/M2BA,根据相似三角形得出的成比例线段，可求出CD的表达式，

也就求出AD的表达式，进而可以AD为底、PC为高得出4ADP的面积，即可求出关于y、x的函数关系

式，根据所得函数的性质，可求出y的最大值及对应的x的值.

斛答：解：（1）在RtaABC中，sinB=近，AB=2遥，

5

得蚂4,

AB-5

，AC=2,根据勾股定理得：BC=4：（3分）

（2）VPD^AB,.,.AABC^ADPC,

PCBC2

设PC=x,则AD=2-

22

“△仙p/T（2-1x）-x=-lx+x=--l（x-2）+l

...当x=2时，y的最大值是1.（8分）

点评：此题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识.

14.（2010•福州）如图，在aABC中，ZC=45°,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分

别在AB、AC上，AD交EF于点H.

（1）求证：期里；

AD-BC

（2）设EF=x,当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；

（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合

时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与^ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式.

考点：二次函数的最值；矩形的性质；梯形；相似三角形的判定与性质.

专题：综合题；压轴题；数形结合；分类讨论.

分析：（1）易证得△AEFS^ABC,而AH、AD是两个三角形的对应高，EF、BC是对应边，它们的比都等于相

似比，由此得证；

（2）此题要转化为函数的最值问题来求解；由（1）的结论可求出AH的表达式，进而可得到HD（即FP）

的表达式；已求得了矩形的长和宽，即可根据矩形的面积公式得到关于矩形EFPQ的面积和x的函数关系

式，根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的X的值；

（3）此题要理清几个关键点，当矩形的面积最大时，由（2）可知此时EF=5,EQ=4；易证得aCPF是等

腰RtA,贝iJPC=PF=4,QC=QP+PC=9；

一、P、C重合时，矩形移动的距离为PC（即4）,运动的时间为4s；

二、E在线段AC上时，矩形移动的距离为9-4=5,运动的时间为5s；

三、Q、C重合时，矩形运动的距离为QC（即9）,运动的时间为9s；

所以本题要分三种情况讨论：

①当0勺<4时，重合部分的面积是矩形EFPQ与等腰RtZSFMN（设AC与FE、FP的交点为M、N）的面

积差，FM的长即为梯形移动的距离，由此可得到S、t的函数关系式；

②当44<5时，重合部分是个梯形，可用t表示出梯形的上下底，进而由梯形的面积公式求得S、t的函数

关系式；

③当5a49时，重合部分是个等腰直角三角形，其直角边的长易求得，即可得出此时S、t的函数关系式.

解答：（1）证明：•.•四边形EFPQ是矩形，，EF〃QP

.'.△AEF^AABC

又入。_1_8（：,

/.AH±EF；

.•.他至

,•