人教版高中数学选修1-2教案

高二数学学科

集体备课教案

项目内容

课题.1.1回归分析的基本思想及其初步应用（1）修改与创新

1、通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法

教学

2、巩固掌握回归分析的基本思想、方法初步应用.

目标

3、掌握函数模型拟合效果优劣判断方法。

教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异

难点：了解判断刻画模型拟合效果的方法一相关指数和残差分析.

巾、

难点

教学

直尺

准备

一、复习准备：

1.提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就

一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？

2.复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性

关系.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种

常用方法，其步骤：收集数据-＞作散点图-求回归直线方程—利用

方程进行预报.

二、讲授新课：

教学

1.教学例题：

过程①例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下

表所示：

编12345678

号

身高165165157170175165155170

/cm

体重4857505464614359

/kg

求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身

高为172cm的女大学生的体重.（分析思路一教师演示.学生整理）

计算器得：

—=-85.712,

6=0,849.

故线性回归方程：

j=0.849r-85.712.

当x=172时，

7=0,849x172-85.712

=60.316侬）”

第一步：作散点图第二步：求回归方程

।>第三步：代值计算

②提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？

不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右.

③解释线性回归模型与一次函数的不同

事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x

之间的关系并不能用一次函数y=+a来严格刻画（因为所有的样

本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）.在

数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和

61kg,如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为

165cm的3名女在学生的体重应相同.这就说明体重不仅受身高的影

响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e（即残差变量或随机变

量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y=bx+a+e,其中

残差变量e中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分.当

残差变量恒等于。时，线性回归模型就变成一次函数模型.因此，一

次函数模型是线性回归模型的特殊形式,线性回归模型是一次函数模

型的一般形式.

2.相关系数：相关系数的绝对值越接近于1,两个变量的线性相关

关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合

这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义.

3.小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.

1.1回归分析的基本思想及其初步应用（1）

1.相关关系

2.线性回归方程

3.y-bx+a

4.残差

本节内容是对必修三的第二章线性回归的复习与深化。教学时，先让学生复习

课后线性回归的相关知识。

反思相关关系是非确定关系，自然会联想到，利用回归方程进行预报，其准确性如

何？如何衡量拟合的效果？进而引进课题。画出图残差后，让学生自己分析如何利

用残差图判断拟合的效果。

高二数学学科

集体备课教案

项目内容

课题1.1回归分析的基本思想及其初步应用(2)修改与创新

4、通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法

教学

5、巩固掌握回归分析的基本思想、方法初步应用.

目标

6、掌握函数模型拟合效果优劣判断方法。

教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平

教学方和、回归平方和.

教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平

重、

方和、回归平方和.

难点

教学

直尺

准备

一、复习准备：

1.由例1知，预报变量(体重)的值受解释变量(身高)或随机误

差的影响.

2.为了刻画预报变量(体重)的变化在多大程度上与解释变量(身

高)有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果

的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.

二、讲授新课：

1.教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：

教学

(1)总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即

过程

2

SST=Y(yi-y).

i=]

残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即SSE=£(y-M)2.

/=|

回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即

SSR=£(y-3)2.

i=l

(2)学习要领：①注意H、y、5的区别；②预报变量的变化程度

可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，

即汽（％-7）2=力。一姬+£（%-7）2：③当总偏差平方和相对

j=l»=1/=]

固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果

越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数

Z（y-必）2

R2=l一号']..来刻画回归的效果,它表示解释变量对预报变

i=l

量变化的贡献率.*的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模

型拟合的效果越好.

2.教学例题：

例2关于x与丫有如下数据：

X24568

y3040605070

为了对“y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：

y=6.5x+7.5,y=7x+17,试比较哪一个模型拟合的效果更好.

分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归

平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从

而得出结论

55

[%£（y-y）1on

（答案：R,2=1-^--------=1--=0.845,/?；=1----------=1--=0.82,

次叱33't^-yf,（XM,

*=lr=l

84.5%>829。，所以甲选用的模型拟合效果较好.）

3.小结：，分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解

如何评价网,个不同模型拟合效果的好坏.

1.1回归分析的基本思想及其初步应用（2）

回归效果的三个统计量

1.总偏差平方和、残差平方和、回归平方和

板书

设计-必）2

2.相关指数犯=1一。[

1=1

3.例2

衡量相关关系拟合效果的第二章方法：相关指数。相关指数较为抽象，学生不太好理

解。教学时，通过总偏差平方和、残差平方和、回归平方和概念的学习，让学生逐步理

课后解相关指数的意义，由学生讨论得出相关指数片的取值范围，N的大小与拟合效果好与

反思差的关系。

高二数学学科

集体备课教案

项目内容

课题1.1回归分析的基本思想及其初步应用(3)修改与创新

7、通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法

教学

8、巩固掌握回归分析的基本思想、方法初步应用.

目标

9、掌握函数模型拟合效果优劣判断方法。

教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为

教学线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的

重、模型的方法.

教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过

难点

比较相关指数对不同的模型进行比较.

教学

直尺

准备

一、复习准备：

1.给出例3：一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观

测数据列于下表中，试建立y与室之间的回归方程.

温度x/C212325272

产卵数y/个71121246

(学生描述步骤，教师演示)

2.讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状

区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方

教学

程来建立两个变量之间的关系.

过程

二、讲授新课：

1.探究非线性回归方程的确定：

①如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归

模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选

择非线性回归模型来建模.

②根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲

线尸CeQ，的周围（其中J"?是待定的参数），故可用指数函数模型

来拟合这两个变量.

③在上式两边取对数，得Iny=C2X+lnq,再令z=Iny,则

z-c2x+\ncy,而z与x间的关系如下：

④利用计算器算得。=-3.8432=0.272,z与x间的线性回归方程

为z=0.272x-3.843,因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程

为y=e0272，T843.

⑤利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图-建模一

确定方程”这三个步骤进行.

其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归

问题.

三、巩固练习：

为了研究某种细菌随时间X变化，繁殖的个数，收集数据如下：

天数x/天123456

繁殖个数612254995190

y/个

（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散

点图；

（2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求非线性回

归方程为沪萨如山设）

1.提问：在例3中，观察散点图，我们选择用指数函数模型来拟合

红铃虫的产卵数），和温度x间的关系，还可用其它函数模型来拟合

吗？

2.讨论：能

用二次函数t44152962572984110241225

模型.y711212466115325

2

y=c3x+C4

来拟合上述两个变量间的关系吗？（令f=/,贝I」y=+C,，止匕时y

与M旬的关系如下:

观察y与，的散点图，可以发现样本点并不分布在一条直线的周围，

因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次曲线y=。3丁+Q

来拟合y与x之间的关系.）小结：也就是说，我们可以通过观察变

换后的散点图来判断能否用此种模型来拟合.事实上，除了观察散点

图以外，我们也可先求出函数模型，然后利用残差分析的方法来比较

模型的好坏.

二、讲授新课：

1.教学残差分析：

①残差：样本值与回归值的差叫残差，即

②残差分析：通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是

否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析.

③残差图：以残差为横坐标，以样本编号，或身高数据，或体重估

计值等为横坐标，作出的图形称为残差图.观察残差图，如果残差点

比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样

的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越

高.

2.例3中的残差分析:

计算两种模型下的残差

21~2"25/27d29P32―3"

*7*11口21P24~纤115P325K

3%0.518~・0.167/1.760/-9.149^8.889+、-14.153c32.928/

e•47.693“19.397^-5.8352-41.003K-40.107/-58.26加77.965。

一般情况下，比较两个模型的残差比较困难（某些样本点上一个

模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相

反），故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合

效果.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好.

由于两种模型下的残差平方和分别为1450.673和15448.432,

故选用指数函数模型的拟合效果远远优于选用二次函数模型.（当

然，还可用相关指数刻画回归效果）

3.小结：残差分析的步骤、作用

三、巩固练习：练习：教材P13第1题

1.1回归分析的基本思想及其初步应用（3）

板书1.非线性回归关系

设计2.非线性回归方程的求解

例3

非线性回归关系是对线性回归关系的深化，它与线性回归关系又存在密切的联

教学系。对例3,教师带领学生分析，由样本数据，画出散点图，但这些点不在一条直线

反思附近，而是在指数函数图像附近，或抛物线附近，如何来求相应的回归方程？教师引

导学生分析，是否可以化未知为己知，由线性关系来求非线性关系的方程。

高二数学学科

集体备课教案

项目内容

课题1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（1）修改与创新

1、通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题；

2、借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌

教学

的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检

目标验的实施步骤与必要性.

3、初步掌握独立性检验的方法。

教学

教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤.

重、

教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量K2的含义.

难点

教学

直尺

准备

一、复习准备：

回归分析的方法、步骤，刻画模型拟合效果的方法（相关指数、残差

分析）、步骤.

二、讲授新课：

1.教学与列联表相关的概念：

①分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称

为分类变量.分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示

教学

个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量

过程只取一级、二级、三级，等等.分类变量的取值有时可用数字来表示，

但这时的数字除了分类以外没有其他的含义.如用“0”表示

“男”，用“1”表示“女”.

②列联表：分类变量的汇总统计表（频数表）.一般我们只研究每

个分类变量只取两个值，这样的列联表称为2x2.如吸烟与患肺癌

的列联表：

不患肺癌患肺癌总计

不吸烟7775427817

吸烟2099492148

总计9874919965

2.教学三维柱形图和二维条形图的概念：

由列联表可以粗略估计出吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差

异.（教师在课堂上用EXCEL软件演示三维柱形图和二维条形图，引

导学生观察这两类图形的特征，并分析由图形得出的结论）

3.独立性检验的基本思想：

①独立性检验的必要性（为什么中能只凭列联表的数据和图形下结

论？）：列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机

性，故需要用列联表检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总

体.

②独立性检验的步骤（略）及原理（与反证法类似）:

反证法假设检验

要证明结论A备择假设小

在A不成立的前提下在I需不成立的条件下，即H。成立的条件下

进行推理进行推理

推出矛盾，意味着结推出有利于H1成立的小概率事件（概率不

论A成立超过a的事件）发生，意味着H|成立的可

能性（可能性为（1—a））很大

没有找到矛盾，不能推出有利于1成立的小概率事件不发生，

对A下任何结论，即接受原假设

反证法不成功

③上例的解决步骤

第一步：提出假设检验问题H。吸烟与患肺癌没有关系QH):

吸烟与患肺癌有关系

■

第二步：选择检验的指标.二（它越

小，原假设“H。：吸烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它

越大，备择假设“山：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大.

第三步：查表得出结论

P黑0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.

》公50402515100502010000

5051

k0.0.1.2.2.3.5.6.7.10

457032077084026387.8

583264593

本课小结：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量K?的含义.

1.2独立性检验的基本思想及其初步应用(1)

1.分类变量

板书设2.列联表

计3.独立性检验的基本思想

K2=______-bc)2__________

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

独立性检验是统计的一个全新概念，对独立性检验的基本思想，学生不容易理解，

教学反

教学时，教师通过学生熟知的问题，对其基本思想进行阐述，以帮助学生理解。对

思

计算K?的公式，教师简单解释一下，对学生不做过高要求。

高二数学学科

集体备课教案

项目内容

课题1.2独立性检验的基本思想及其初步应用(2)修改与创新

3、通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题；

4、借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌

教学

的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检

目标验的实施步骤与必要性.

3、初步掌握独立性检验的方法。

教学

教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤.

重、

教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量K2的含义.

难点

教学

直尺

准备

一、复习准备：

独立性检验的基本步骤、思想

二、讲授新课：

1.教学例1：

例1在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214

人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175

名秃顶.分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否

有关系？你所得的结论在什么范围内有效？

教学

过程①第一步：教师引导学生作出列联表，并分析列联表，引导学生得

出“秃顶与患心脏病有关”的结论；

第二步：教师演示三维柱形图和二维条形图，进一步向学生解释所得

到的统计结果；

第三步：由学生计算出K?的值；

第四步：解释结果的含义.

②通过第2个问题，向学生强调“样本只能代表相应总体”，这里

的数据来自于医院的住院病人，因此题目中的结论能够很好地适用于

住院的病人群体，而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误，

除非有其它的证据表明可以进行这种推广.

2.教学例2：

例2为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城

市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：

喜欢数学课不喜欢数学总计

程课程

男3785122

女35143178

总计72228300

由表中数据计算得到片的观察值守三，.在多大程度上可以认

为高中生的性别与是否数学课程之间有关系？为什么？

（学生自练，教师总结）

强调：①使得P（K匕3.841）x005成立的前提是假设“性别与是否

喜欢数学课程之间没有关系”.如果这个前提不成立，上面的概率估

计式就不一定正确；

②结论有95%的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”的含

义；

③在熟练掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，可直接计算

K?的值解决实际问题，而没有必要画相应的图形，但是图形的直观

性也不可忽视.

3.小结：独立性检验的方法、原理、步骤

三、巩固练习：

某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调

查并得到如下的列联表:请问有多大把握认为“高中生学习状况与生

理健康有关”？

不健康健康总计

不优秀41626667

优秀37296333

总计789221000

本课小结：掌握等高条形图的画法，掌握独立性检验的基本思想及实

施步骤.

1.2独立性检验的基本思想及其初步应用(2)

板书设独立性检验的基本步骤、思想和计算公式

计例1

例2

对上一节所学内容，本节通过两道例题，加深对独立性检验的基本思想理解。

例题的计算由学生自己完成，差临界值表，教师予以指导。对问题的回答，让学

教学反

生分析，除了在指定的犯错的概率下，认为两者有无关系外，还可以回答为，有

思

多大的概率认为两者有无关系。同时，让学生明白，这只是在相应概率下认为有

无关系，而不是一定有或没有关系。

高二数学学科

集体备课教案

备课教师阮东良、周多龙、徐江波

项目内容

课题2.1.1合情推理修改与创新

1结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，

教学

2能利用归纳进行简单的推理，

目标

3体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.

教学

重点：能利用归纳和类比进行简单的推理.

币;、

难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想.

难点

教学

直尺、粉笔

准备

一、新课引入：

1.哥德巴赫猜想：观察4=2+2,6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,

12=7+7,16=13+3,18=11+7,20=13+7,....,50=13+37,……,

100=3+97,猜测：任一偶数(除去2,它本身是一素数)可以表示成

两个素数之和.1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，

成为数学史上举世闻名的猜想.1973年，我国数学家陈景润，证明

了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上

把它称为“1+2”.

教学2.费马猜想：法国业余数学家之王一费马(1601-1665)在1640年

2

过程通过对外=2*+1=3,f；=2'+1=5，6=2联+1=17,

**…+1=65537的观察，发现其结果都是素数，

于是提出猜想：对所有的自然数〃，任何形如工=2?"+1的数都是素

数.后来瑞士数学家欧拉，发现

E=2?'+1=4294967297=641x6700417不是素数,推翻费马猜

想.

3.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来

到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅

地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜

色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿

佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用

1200个小时,作了100亿逻辑判断,完成证明.

二、讲授新课：

1.教学概念：

①概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全

部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推

理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一

般的推理.

②归纳练习：⑷由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？

（"）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归

纳出什么结论？

UH）观察等式：

1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7+9=16=4?,能得出怎样

的结论？

③讨论：（。统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，

是否属归纳推理？

（万）归纳推理有何作用？（发现新事实，获得新结论，是做出科

学发现的重要手段）

（力㈤归纳推理的结果是否正确？（不一定）

2.教学例题：

①出示例题：已知数列｛4｝的第1项q=2,且

=）,试归纳出通项公式.

1+4

（分析思路：试值炉1,2,3,4—猜想与f如何证明：将递推

公式变形，再构造新数列）

②思考：证得某命题在〃=虚时成立；又假设在〃=在时命题成立，

再证明n—k+i时命题也成立.由这两步，可以归纳出什么结论？

（目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系）

③练习：已知_/\1）=0,"（〃）="（"-1）=1,n>2,a>0,b>0,推测

/（"）的表达式.

3.小结：①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；②典

型例子：哥德巴赫猜想的提出；数列通项公式的归纳.

1.练习：己知4>0（i=l,2,,〃），考察下列式子：（0^—>1;

4

（w）（%+电）（--1--）24；（iii）（q+4+%）（---+---1---）之9.我们

a}a2qa2a3

可以归纳出，对4，%,,可也成立的类似不等式为—.

2.猜想数列」—-L,的通项公式是________.

1x33x55x77x9

3.导入：鲁班由带齿的草发明锯：人类仿照鱼类外形及沉浮原理，

发明潜水艇：地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太

阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生

物生存，科学家猜测：火星上有生命存在.以上都是类比思维，即

类比推理.

1.教学概念：

①概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知

特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是

由特殊到特殊的推理.

②类比练习：

（7）圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由

此结论如何类比到球体？

（七）平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的

结论？

（///）由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征.（教材P81探究

填表）

小结：平面f空间，圆f球，线f面.

③讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比

思维.

2.教学例题

①出示例1：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.

（得到如下表格）

类比角度实数的加法实数的乘法

若a,bwR,则若a,bsR,则

运算结果

a+b£RabeR

a+b=b+a

ab=ba

运算律(a+b)+c=a+(b+c)

(ab)c=a(be)

加法的逆运算是减乘法的逆运算是除

法，使得方程法，使得方程。X=1

逆运算

a+x=0有唯一解有唯一解X=L

x=-aa

单位元〃+()=〃tzl=l

②出示例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四

面体性质的猜想.

思维：直角三角形中，ZC=90°,3条边的长度。力,c,2条直角

边“力和1条斜边C；

-3个面两两垂直的四面体中，NPDF=NPDE=NEDF=90",4个

面的面积和s

3个“直角面”S„S2,S3和1个“斜面”S.一拓展：三角形到四

面体的类比.

3.小结：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分

析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为

合情推理.

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集体备课教案

备课教师阮东良、周多龙、徐江波

项目内容

课题2.1.2演绎推理修改与创新

教学1、结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，

2、掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。

目标

教学

重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.

重、

难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式.

难点

教学

直尺、粉笔

准备

一、复习准备：

1.练习：①对于任意正整数n,猜想（2止1）与（加1尸的大小关

系？

②在平面内，若则〃//爪类比到空间，你会得到什么

结论？（结论：在空间中，若“Lc的Lc,则W；;或在空间中，若

aLy,p±y,则a〃夕.

2.讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？

合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确

教学的推理形式呢？

过程3.导入：①所有的金属都能够导电，铜是金属，所以___________:

②太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的

大行星，因此_________；

③奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以____________.

（填空一讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样

吗？一课题：演绎推理）

二、讲授新课：

1.教学概念：

①概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们

把这种推理称为演绎推理。

要点：由一般到特殊的推理。

②讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？

合情推理I归纳推理：由特殊到一般，演绎推理.由一般到特殊

［类比推理：由特殊到特殊，

③提问：观察教材P39引例，它们都由几部分组成，各部分有什么特

点？

所有的金属都导电像是金属I铜能导电

已知的一般原锂特殊情况根据原理，对特殊情况做出

的判断

大前提小前提结论

“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提一一已知的一般

原理；第二段：小前提一一所研究的特殊情况；第三段：结论一一根

据一般原理，对特殊情况做出的判断.

（4）举例：举出一些用“三段论”推理的例子.

2.教学例题：

①出示例1：证明函数/（x）=-f+2x在上是增函数.

板演：证明方法（定义法、导数法）一指出：大前题、小前题、

结论.

②出示例2：在锐角三角形中，ADYBC,BELAC,D,£是垂

足.求证：4?的中点M到〃，£•的距离相等.

分析：证明思路一板演：证明过程~指出：大前题、小前题、

结论.

③讨论：因为指数函数y="是增函数，y=是指数函数，则结

论是什么？

（结论f指出：大前提、小前提-讨论：结论是否正确，为什

么？）

④讨论：演绎推理怎样才结论正确？（只要前提和推理形式正确，

结论必定正确）

3.比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、结论

正确性等角度比较；演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为

演绎推理提供方向和思路.）

三、巩固练习：

1.练习：

2.作业：P

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项目内容

课题2.1.2演绎推理修改与创新

教学1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：

2,分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.

目标

教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.

重、难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的

证明方法.

难点

教学

直尺、粉笔

准备

一、复习准备：

1.已知“若《，叼6?，且q+%=l,则，+L»4”，试请此结

论推广猜想.

（答案：若,且a}+«,+....+a,,-1,则

1112、

---1---F....+2/7）

%44

2.已知a+b+c=\,求证：—+—+—>9.

abc

教学

先完成证明一讨论：证明过程有什么特点？

过程

1.教学例题：

①出示例1：已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a（4+c2）+

b（c+a）+c（a'+炉）>6abe.

分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）一板演证明过

程（注意等号的处理）

-讨论：证明形式的特点

②提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经

过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.

框图表示:叵要点:顺推证法；

由因导果.

③练习：已知a,b,c是全不相等的正实数，求证

b+c-aa+c-ba+b-c-

-------+--------+—-------->3.

abC

④出示例2：在中，三个内角4、B、C的对边分别为a、b、c,

且力、B、。成等差数列,a、b、c成等比数列.求证：为/XABC等边

三角形.

分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角

关系？

一板演证明过程一讨论：证明过程的特点.

一小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中

的隐含条件（内角和）

2.练习：

②4B为锐角，且:__一————,求证：

A+B=60.(提示：算tan(A+5))

114

②已知a>Z?>c,求证:+>.

a-bb-ca-c

3.小结：综合法是从已知的产出发，得到一系列的结论2,,…，

直到最后的结论是Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、

几何、数论等相关证明问题.

1.提问：基本不等式的形式？

2.讨论：如何证明基本不等式一2而（”>0力>0）.

（讨论一板演一分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论

成立的充分条件）

二、讲授新课：

1.教学例题：

①出示例1:求证百+石>0+后.

讨论：能用综合法证明吗？一如何从结论出发，寻找结论成立

的充分条件？

一板演证明过程（注意格式）

f再讨论：能用综合法证明吗？一比较：两种证法

②提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条

件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已

知条件、定理、定义、公理等）为止.

（-----•个明刈

框图表不：要点：逆推证

法；执果索因.

\1

③练习：设x>0,y>0,证明不等式：（f+VK>（/+了3户.

先讨论方法一分别运用分析法、综合法证明.

④出示例4：见教材P8讨论：如何寻找证明思路？（从结论出

发，逐步反推）

⑤出示例5：见教材P-讨论：如何寻找证明思路？（从结论与

已知出发，逐步探求）

2.练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指

横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流

量大.

提示：设截面周长为则周长为/的圆的半径为口截面积

为万（-!-尸，周长为/的正方形边长为,，截面积为（'）2,问题

2444

只需证：万（（）2>g）2.

3.小结：分析法由要证明的结论。思考，一步步探求得到0所需要

的己知［,与…，直到所有的己知一都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进

行书写：或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”（分

析），从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩

小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.（框

图示意）

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高二数学学科

集体备课教案

备课教师阮东良、周多龙、徐江波

项目内容

课题2.2.2反证法修改与创新

1、结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法一一反

教学

证法；

目标

2、了解反证法的思考过程、特点.

教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.

重、难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的

证明方法.

难

教学

直尺、粉笔

准备

1.讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都

朝上吗？（原因：偶次）

2.提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直

线上的三点力、B、C不能作圆”.讨论如何证

明这个命题？（\

3.给出证法：先假设可以作一个。。过/、B、AJ,,Jo

c三点，

则。在的中垂线/上，0又在BC的><

教学中垂线0上，

即。是/与勿的交点。

过程

但：尔B、C共线，〃加（矛盾）

，过在同一直线上的三点力、B、C不能作圆.

二、讲授新课：

1.教学反证法概念及步骤：

①练习：仿照以上方法，证明：如果a>6>0,那么&>几

②提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最

后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.

证明基本步骤：假设原命题的结论不成立一从假设出发，经推理

论证得到矛盾一矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立

应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设

矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.

方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明

的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命

题的正确，从而肯定原命题真实.

注：结合准备题分析以上知识.

2.教学例题：

①出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.

分析：如何否定结论？一如何从假设出发进行推理？一得到

怎样的矛盾？

与教材不同的证法：反设16、CD被月平分，不是圆心，连结

0只

则由垂径定理：04力6,GPLCD,则过夕有两条直线与。垂直（矛

盾），，不被「平分.

②出示例2：求证6是无理数.（同上分析一