2024-2025新教材高中数学课时检测26等差数列的前n项和公式含解析苏教版选择性必修第一册

PAGEPAGE5等差数列的前n项和公式[A级基础巩固]1．(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于()A．－1 B．3C．5 D．7解析：选AB由题意知a1＋(n－1)×2＝11，①Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)×2＝35，②由①②解得a1＝3或－1.2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝16，a6＝1，则数列{an}的公差为()A.eq\f(3,2) B．－eq\f(3,2)C.eq\f(2,3) D．－eq\f(2,3)解析：选D设数列{an}的公差为d，∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S8＝16，a6＝1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S8＝8a1＋\f(8×7,2)d＝16，,a6＝a1＋5d＝1，))解得a1＝eq\f(13,3)，d＝－eq\f(2,3)，故数列{an}的公差为－eq\f(2,3).3．在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n等于()A．10 B．15C．20 D．30解析：选C因为Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d＝10n＋eq\f(1,2)n(n－1)×2＝n2＋9n，所以n2＋9n＝580，解得n＝20或n＝－29(舍)．4．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1等于()A．18 B．20C．22 D．24解析：选B由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.5．在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为()A．7 B．8C．9 D．10解析：选B由S13＝eq\f(13（a1＋a13）,2)＝0，得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，由2n－14>0，得n>7，即使得an>0的最小正整数n为8.6．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差d＝________．解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①S5＝5a1＋eq\f(1,2)×5×(5－1)d＝10，②由①②联立解得a1＝1，d＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝________．解析：因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5.答案：58．《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算)．解析：由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中a1＝5，S30＝390，设其公差为d，则S30＝30×5＋eq\f(30×29,2)d＝390，解得d＝eq\f(16,29).故该女子织布每天增加eq\f(16,29)尺．答案：eq\f(16,29)9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若Sn＝242，求n.解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a10＝a1＋9d＝30，,a20＝a1＋19d＝50，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝12，,d＝2，))∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.(2)由Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，得方程242＝12n＋eq\f(n（n－1）,2)×2，整理得n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.10．已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7＝7，S15＝75，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前n项和Tn.解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.∵S7＝7，S15＝75，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7a1＋21d＝7，,15a1＋105d＝75，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝1，,a1＋7d＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝1，))∴eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝－2＋eq\f(n－1,2)，∴eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(1,2)，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差数列，且其首项为－2，公差为eq\f(1,2).∴Tn＝eq\f(1,4)n2－eq\f(9,4)n.[B级综合运用]11．(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn的图象的是()解析：选ABC因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意．12．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝a4，则()A．a1＋a3＝0 B．a3＋a5＝0C．S3＝S4 D．S4＝S5解析：选BC因为S7＝a4，所以7a1＋eq\f(7×6,2)d＝a1＋3d，即a1＋3d＝0，所以a4＝0，故C正确，D错误；又a3＋a5＝a1＋2d＋a1＋4d＝2(a1＋3d)＝0，所以B正确；而a1＋a3＝a1＋a1＋2d＝2a1＋2d≠0，故A不正确．13．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前10项和为________．解析：因为an＝2n＋1，所以a1＝3，所以Sn＝eq\f(n（3＋2n＋1）,2)＝n2＋2n，所以eq\f(Sn,n)＝n＋2，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋eq\f(10×9,2)×1＝75.答案：7514．若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.解：∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝13n＋eq\f(n（n－1）,2)×(－4)＝15n－2n2；当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2×eq\f(（13＋1）×4,2)－(15n－2n2)＝56＋2n2－15n.∴Tn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15n－2n2，n≤4，n∈N*，,2n2－15n＋56，n≥5，n∈N*.))[C级拓展探究]15．在编号为1～9的九个盒子中，共放有351粒米，已知每个盒子都比它前一号盒子多放同样粒数的米．(1)假如1号盒子内放了11粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？(2)假如3号盒子内放了23粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？解：设编号为1～9的九个盒子中分别放a1，a2，a3，…，a9粒米，则数列{an}是一个等差数列．(1)设等差数列{an}的公差为d，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S9＝351，,a1＝11，))即9a1＋eq\f(9×8,2)d＝351，解得d＝7