高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：14 圆锥曲线的综合问题（学生版+解析版）

专题14圆锥曲线的综合问题

一、单选题

1.（2020•全国高三月考（文））若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是双曲线二——2L=1的一个焦点，则

3PP

p=（）

A.2B.4C.8D.16

2.（2020•宁夏回族自治区银川一中高三二模（理））抛物线y。=ax（a>0）的准线与双曲线C：?-?=1的

两条渐近线所围成的三角形面积为2在，则a的值为（）

A.8B.6C.4D.2

3.（2。19•甘肃省会宁县第四中学高二期末）椭圆总+?=1与双曲线尸一?=1有公共点尸,则尸与双曲

线两焦点连线构成三角形的面积为（）

A.48B.24C.224、，”D.12V3

4.（2019・湖北省高二期中）若如zW0,则方程如一,+〃=。与nx?+加,2=相〃所表示的曲线可能是图中

的()

5.（2019•黑龙江省哈尔滨三中高二期中（文））以抛物线炉=8y的焦点为圆心，、后为半径的圆，与直线

2%+y+m=0相切，则根=()

A.1或一9B.一1或9C.3或-7D.-3或7

22

6.（2019•河南省包屯高中高二期末）已知方程，+工=1的曲线为C,下面四个命题中正确的个数是

4Tt-1

①当1<I<4时，曲线C不一定是椭圆；

②当/>4或f<l时，曲线C一定是双曲线；

③若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，贝心</<?；

2

④若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，贝U〉4.

A.1B.2C.3D.4

22

7.（2020・北京人大附中高二期中）已知抛物线尤2=2py（p>0）的准线被双曲线^--匕=1截得的弦长为6,

32

则该抛物线的焦点坐标是（）

A.B,（0,32）C.错］D.（0,2）

22

8.（2020•湖北省高三其他（文））己知抛物线丁=4&x的准线与双曲线j-1=1的两条渐近线分别交

ab

于A,8两点若双曲线的离心率是孚，那么|AB|=（）

4f—2出

A.2B.-C.72D.

222

9.（2019•平遥县第二中学校高二月考）设椭圆L+2L=1和双曲线土—y2=i的公共焦点为耳，鸟,p是

623

两曲线的一个公共点，则cosN耳尸耳的值等于

10.（2019•福建省高三一模（理））如图，点F是抛物线C：炉=4y的焦点，点4B分别在抛物线C和圆

炉+（〉，一1/=4的实线部分上运动，且4B总是平行于y轴，贝周长的取值范围是（）

A.（3,6）B.（4,6）C.（4,8）D.（6.8）

二、多选题

22

11.（2019.常州市第一中学高二期中）若方程」一+工=1所表示的曲线为C，则下面四个选项中错误的

3-tt-1''

是（）

A.若。为椭圆，贝也＜3B.若。是双曲线，则其离心率有l＜e＜J5

C.若。为双曲线，贝卜＞3或/＜1D.若。为椭圆，且长轴在y轴上，贝口＜/＜2

2222

12.（2019•福建省南安第一中学高二月考）已知椭圆M：二+==1（。＞匕＞0）,双曲线N：二—4=1.若

a2b2m2n2

双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确

的是（）

A.椭圆的离心率e=J5—1B.双曲线的离心率e=2

C.椭圆上不存在点A使得而•再＜0D.双曲线上存在点3使得明•质＜0

13.（2020•海南省高三二模）已知抛物线。：V=2px（2＞0）的焦点/到准线的距离为2,过点尸的直

线与抛物线交于尸，Q两点，M为线段PQ的中点，。为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A.C的准线方程为y=-1B.线段尸。的长度最小为4

C.M的坐标可能为（3,2）D.=—3恒成立

三、填空题

22

14.（2019•湖北省高二期中）设双曲线二+二=1的离心率为2,且一个焦点与抛物线f=i6y的焦点相

mn

同，则此双曲线的方程是.

15.（2019・涟水县第一中学高二月考）若直线丁=区+2与抛物线丁=尤只有一个交点，则实数上的值为

16.（2020•四川省成都外国语学校高二开学考试（理））过椭圆三+5=1内一点尸（1,1）引一条恰好被尸点

平分的弦，则这条弦所在直线的方程是

22

17.（2020•浙江省高三月考）已知直线，：，=左（元优/0）,椭圆。：3+4=1，点/（L0），若直线和

椭圆有两个不同交点AB,贝1」口43尸周长是,口45尸的重心纵坐标的最大值是

四、解答题

18.（2020•天水市第一中学高二月考）己知椭圆C：g+/=l（a>b>0）过点（J5,l）且离心率为2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在过点尸（0,3）的直线/与椭圆C相交于A,2两点，且满足丽=2两.若存在，求出直线/的

方程；若不存在，请说明理由.

22

19.（2019•涟水县第一中学高二月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：二=1m>6>0）过点

ab

31

p（i，5）,离心率为a.

（i）求椭圆。的方程；

（2）若斜率为走的直线/与椭圆C交于A,B两点，试探究。42+04是否为定值？若是定值，则求出

2

此定值；若不是定值，请说明理由.

20.（2019・重庆巴蜀中学高二期中（理））已知抛物线C：V=4x.

（1）若p是抛物线C上任一点，e（2,3）,求点P到。和y轴距离之和的最小值；

（2）若□A5c的三个顶点都在抛物线。上，其重心恰好为。的焦点歹，求口人台。三边所在直线的斜率

的倒数之和.

21.（2019•苏州新草桥中学高三开学考试）已知椭圆C：q+’=l（a>Z，>0）经过点卜弓）

点A是椭圆的下项点.

（1）求椭圆。的标准方程；

（2）过点A且互相垂直的两直线小4与直线y=x分别相交于E,b两点，己知|04=|0同，求直线4的

斜率.

22.（2020•河南省高二月考（文））已知抛物线。：y2=2px（〃>o）的焦点为尸，过尸的直线/与抛物线。

交于A,3两点，弦AB的中点的横坐标为万，|A8|=5.

（I）求抛物线。的方程；

（II）若直线/的倾斜角为锐角，求与直线/平行且与抛物线。相切的直线方程.

23.（2019•安徽省蚌埠二中高三其他（文））已知点P在抛物线=2py（/?>0）上，且点尸的纵坐标为

1,点尸到抛物线焦点f的距离为2

（1）求抛物线。的方程；

（2）若抛物线的准线与》轴的交点为过抛物线焦点/的直线/与抛物线。交于A,B,且AB,

求|A尸|-1所|的值.

专题14圆锥曲线的综合问题

一、单选题

22

1.（2020•全国高三月考（文））若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是双曲线之——匕=1的一个焦点，则

3PP

P=()

A.2B.4C.8D.16

【答案】D

【解析】

抛物线y2=2px（p>0）的焦点是Ao,

22

双曲线"―1=1的一个焦点是（2标0）,

由条件得勺2J3，解得。=16.

故选：D.

2.（2020•宁夏回族自治区银川一中高三二模（理））抛物线产=ax（a>0）的准线与双曲线C：?-?=l的

两条渐近线所围成的三角形面积为2遮，贝Ua的值为（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【解析】

抛物线丫2=以9>0）的准线为'=一：，双曲线C：?-f=l的两条渐近线为y=±"x，可得两交点为

（-、等）,（一等），即有三角形的面积为半=2在，解得a=8,故选A.

3.（2019.甘肃省会宁县第四中学高二期末）椭圆亡+二=1与双曲线产一二=1有公共点P,则P与双曲

492424

线两焦点连线构成二角形的面积为（）

A.48B.24C.224V5D.1273

【答案】B

【解析】

结合椭圆性质，可以得到8（0.5）,生（0,-5）

，,X21

V**---=17

建立方程好3，得到点P的坐标为(W康,

、49+2411

故ZP6凡=j6后・£=24,故选B.

4.（2019•湖北省高二期中）若机〃W0,则方程^^一丁+〃=。与九百+以/二相〃所表示的曲线可能是图中

的（)

【答案】C

【解析】

2

〃zr—y+〃=O即为直线丁=g+”,nV+冲2=〃m即为曲线二十匕=1，mn^Q

mn

22

对于A选项，由直线方程可知，m>0,n>0,则曲线二十乙=1,加〃。0表示圆或椭圆，A选项错误;

mn

22

对于B选项，由直线方程可知，m<0,〃<0,则曲线工+匕=1,W0不存在，B选项错误；

mn

22

对于C选项，由直线方程可知，m>0,n<0,则曲线上+匕=1,加〃/0表示焦点在X轴上的双曲线,

mn

C选项正确;

22

对于D选项,由直线方程可知，m<0,n>0,则曲线工+2=1,m〃wO表示焦点在y轴上的双曲线,

mn

D选项错误.

故选：C.

5.（2019•黑龙江省哈尔滨三中高二期中（文））以抛物线f=8y的焦点为圆心，为半径的圆，与直线

2x+y+7〃=0相切，则加=()

A.1或-9B.一1或9C.3或-7D.-3或7

【答案】C

【解析】

抛物线f=8y的焦点为（0,2）,

以抛物线3=8y的焦点为圆心，、后为半径的圆可得:圆心为（0,2）,半径

由直线2x+y+/=0与圆相切,可得：

.10+2+〃z|/r

圆心到直线的距离d=———=45,

A/4+1

解得根=3或-7.

故选:C.

22

6.（2019•河南省包屯高中高二期末）已知方程上+工=1的曲线为C,下面四个命题中正确的个数是

47t-1

①当1</<4时，曲线C不一定是椭圆；

②当/>4或f<l时，曲线C一定是双曲线；

③若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则

④若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，贝野〉4.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

对于①，当f=°时，曲线表示为圆，所以不一定是椭圆，所以①正确

2

对于②，当/〉4时表示焦点在y轴上的双曲线，当。<1曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，所以一定是双曲

线，所以②正确

'4-7〉0

对于③若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1〉0,解得所以③正确

2

4-r>r-1

4-t<0

对于④若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，c,解得/〉4,所以④正确

?-1>0

综上，四个选项都正确

所以选D

22

7.（2020•北京人大附中高二期中）已知抛物线f=2py（p>0）的准线被双曲线^--乙=1截得的弦长为6,

32

则该抛物线的焦点坐标是（）

A.B.(0,32)C.D.(0,2)

【答案】D

【解析】

22

因为抛物线X2=2py(p>0)的准线被双曲线上一21=1截得的弦长为6

32

所以该准线与双曲线的一个交点坐标表示为［3,一代入双曲线中321一；

32

得夕=4,所以焦点坐标为(0,2)

故选：D

22

8.(2020•湖北省高三其他(文))已知抛物线的准线与双曲线二-3=1的两条渐近线分别交

ab

于A,8两点若双曲线的离心率是手，那么|AB|=()

A.2B.-C.72D.

373

【答案】A

【解析】

抛物线y2=4A的准线%=—J5.

•.•£=述,°2=/+/,..心=且，因此双曲线的渐近线方程为：y=士是X，

a3a33

双曲线的一条渐近线方程与抛物线准线方程联立得：1,彳ly=i,根据双曲线的对称性可知：

V=———X

U3

\AB\=2

故选：A

22

9.（2019•平遥县第二中学校高二月考）设椭圆工+匕=1和双曲线一/=1的公共焦点为耳，耳,P是

62

两曲线的一个公共点，则cosN^PE的值等于

11

A.-B.-

34

13

C.—D.一

95

【答案】A

【解析】

由题意知Fi（-2,0）,F2（2,0）,

\x2y2.[29

解方程组|，得|2

%212I

取P点坐标为当，与,哂=一2-平,一辛，*=2-3点B

22）

（一2.通（2一9]+，

I22J2i

故选A.

10.（2019•福建省高三一模（理））如图，点F是抛物线C:炉=4y的焦,点，点4B分别在抛物线C和圆

x：+（y—l/=4的实线部分上运动，且48总是平行于y轴，则44F8周长的取值范围是（）

A.(3,6)B.(4.6)C.(4,8)D.(6.8)

【答案】B

【解析】

抛物线f=4y的焦点为(0,1),准线方程为y=-l,

圆(y-1)2+f=4的圆心为(0,1),

与抛物线的焦点重合，且半径r=2,

尸B|=2,\AF\=yA+l,\AB\=yB-yA,

，三角形ABF的周长=2+yA+1+VB-yA=犯+3,

Vl<yB<3,

二三角形ABB的周长的取值范围是(4,6).

故选：B.

二、多选题

22

11.(2019•常州市第一中学高二期中)若方程式+工=1所表示的曲线为C，则下面四个选项中错误的

3-tt-1-,

是()

A.若。为椭圆，则1<3B.若。是双曲线，则其离心率有l<e<J5

C.若。为双曲线，贝卜>3或D.若。为椭圆，且长轴在》轴上，则1<2

【答案】AD

【解析】

22

若/=2,方程工+工=1即为/+/=1,它表示圆，A错;

3-tt-1

对于选项B,若/<1,则方程可变形为三----上=1,它表示焦点在X轴上的双曲线;

3—t1—%

(3-0-2

2H------<A/2,1<e<A/2

3-t

22

若t>3,则方程可变形为上———=1,它表示焦点在》轴上的双曲线;

t—\t-3

1(D-2

2+U<后，l<e<夜，故3正确;

T喑t-1

22

对于选项C,若/<1,则方程可变形为二2二=1,它表示焦点在x轴上的双曲线;

3—tl-t

若/〉3,则方程可变形为上———=1,它表示焦点在》轴上的双曲线，故。正确;

t—\t-3

对于选项D,若2</<3,则0<3-<-1,故方程工+工=1表示焦点在y轴上的椭圆;

3—tt—1

若1</<2,贝iJ0<―1<3T,故工+上二=1表示焦点在x轴上的椭圆，则。错;

3—1t—1

故选：AD

Xy2

12.（2019•福建省南安第一中学高二月考）已知椭圆M：—+=1（。>。〉0）,双曲线N：J—与=1.若

ab2mn

双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确

的是（）

A.椭圆的离心率e=J5—1B.双曲线的离心率e=2

C.椭圆上不存在点A使得丽•再<0D.双曲线上存在点3使得明.死'<（）

【答案】ABD

【解析】

‘石、

如图，设出闾=2c,则由正六边形性质可得点/

（22J

2q2l2

由点/在椭圆上可得J+^=1,结合储—b2=c2可得勺=2，J—3,

4/4b-a2

1—勺=14—2出=有—1，

椭圆离心率q=

2«2-（2C）2=2-4（A/3-1）2

a2<0

当点A为椭圆上顶点时，cosZ7^A^＜0,此时而•南＜（）；

点弓?在双曲线的渐近线上可得一吓。即小G

13.（2020•海南省高三二模）已知抛物线。：丁2=2.（夕＞0）的焦点尸到准线的距离为2,过点尸的直

线与抛物线交于P,。两点，M为线段PQ的中点，。为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A.。的准线方程为y=-1B.线段PQ的长度最小为4

UUUUUU

C.M的坐标可能为（3,2）D.OPO0=—3恒成立

【答案】BCD

【解析】

焦点/到准线的距离即为。=2,所以抛物线。的焦点为歹（1,0），准线方程为x=-1，A项错误.

当PQ垂直于％轴时长度最小，此时？（1,2）,0（1,—2）,所以|PQ|=4,2项正确.

设P（F，X），Q（w，%），直线PQ的方程为％=阳+1.联立「，消去y可得

[x=my+l

x2-（4m2+2）x+1=0,消去X可得/一小冲一4二0,所以为+%=4疗+2,%+%=4加，当机二1

时，可得M（3,2）,所以C正确，又毛9=1，%%=­，所以丽•丽=石工2+%为=—3,所以D正确.

故选：BCD

三、填空题

22

14.（2019•湖北省高二期中）设双曲线工+乙=1的离心率为2,且一个焦点与抛物线V=i6y的焦点相

mn

同，则此双曲线的方程是.

22

【答案】匕—土=1

412

【解析】

抛物线%2=16y的焦点为（0,4）在y轴上，故双曲线c=4,又§=2na=2,

2

故人2=c?—a=12.

22

故双曲线的方程为匕-土=1.

412

22

故答案为：=1

412

15.（2019•涟水县第一中学高二月考）若直线y=H+2与抛物线，=工只有一个交点，则实数上的值为

【答案】。或:

O

【解析】

联立直线方程与抛物线方程可得：公尤2+（4左—1）龙+4=o,

①若左=0,则x=4,满足题意;

②若女wo,则A=(4左一1)2—16左2=0,解得k=’.

8

综上所述，左=0或

8

故答案为：。或1

8

16.（2020•四川省成都外国语学校高二开学考试（理））过椭圆3+5=1内一点P（l,l）引一条恰好被P点

平分的弦，则这条弦所在直线的方程是

【答案】2x+3y-5=0

【解析】

由题意知，该直线斜率存在，设直线与椭圆交于A（玉,%）,5（9,%）两点，斜率为k，

,+靖

=1

32222x1,

则,两式相减得一§--------------,即一一=----k,所以左=——

2X+Xx-x32x13

y2x212

~1--=-1----

、32

2

所以所求直线方程为y—1=-j(x-l),即2x+3y—5=0.

故答案为：2x+3y—5=0.

%2,2

17.（2020•浙江省高三月考）已知直线/：y=＞（x+D住矛0）,椭圆C:—+乙=1,点/（1,0）,若直线和

43

椭圆有两个不同交点AB,则口48尸周长是OABF的重心纵坐标的最大值是.

【答案】8昱

6

【解析】

由题意知，可知/：y=Mx+l）（%w。）恒过定点（―1,0），此点为椭圆的左焦点，记为八.

^ij|AF|+|AF'|=2«=4,|BF|+|BF'|=2a=4.所以AA3P的周长为

|AB|+1AF|+忸/|=|AF[+1AF|+忸尸[+忸耳=4+4=8.设A(/%),3(%,%)

设口人3歹的重心纵坐标为%•则yo=A±A±2=A±A.联立直线与椭圆方程得

|22

—i——1

<43,整理得

?=左(％+1)

6

=X+%=2k=2

所以为—3-4/+3--3.当左>0时，4左+—=

+—k

k

当且仅当4%=：,即心更时，等号成立，此时为<多=苴；

k2为4G6

3

当k<0时，4k+-=~\-4k-卜》，当且仅当—4人=—7

k[Rek

即左=—走时，等号成立，此时为»—-'=—3.

2°6

综上所述：为e.所以口43户的重心纵坐标的最大值是

6

故答案为：8;B

6

四、解答题

22万

18.（2020.天水市第一中学高二月考）己知椭圆C：0+/=l（a>>>O）过点（J5,l）且离心率为三

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在过点P（0,3）的直线/与椭圆C相交于A,B两点，且满足两=2两.若存在，求出直线/的

方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）二+二=1；（2）存在这样的直线，直线方程为：y=±巫x+3.

422

【解析】

（1）由已知点代入椭圆方程得=+±=1

ab

由e=也得£=交可转化为6=2b°

2a2

由以上两式解得片=412=2

22

所以椭圆C的方程为：—+^=1.

42

(2)存在这样的直线.

当/的斜率不存在时，显然不满足丽=2丽,

所以设所求直线方程/：y=依+3代入椭圆方程化简得:

(1+2左2)/+12履+14=0

12k14

X]+X,=---------------7①x1,x=------------7•②

-1+2/-21+242

7

△=(12左)2-4xl4x(l+242)〉0,女2〉z，

设所求直线与椭圆相交两点A(玉

由已知条件PB=2而可得％=2%,③

77

综合上述①②③式子可解得左2=—〉一符合题意,

24

所以所求直线方程为：y=土耳x+3.

2

19.(2019•涟水县第一中学高二月考)在平面直角坐标系尤2y中，已知椭圆C：=+与=1(a>6>0)过点

ab~

31

离心率为；.

22

(1)求椭圆C的方程；

(2)若斜率为正的直线/与椭圆C交于A,B两点,试探究。V+^玄是否为定值？若是定值，则求出

2

此定值；若不是定值，请说明理由.

22

【答案】(1)—+^=1(2)是定值，7

43

【解析】

c1

(1)由离心率e————y得〃：。：c—2:粗：1,

a2

22

则可设椭圆C的方程为友+不=1,

313

由点尸（LR在椭圆C上，得『+:丁=1,即02=1,

24c24c2

22

所以椭圆c的方程为土+匕=1

43

（2）设直线/的方程为A（xi，yi）,Bg竺）,

2

12=

所以O^-^OB—X；+3——%；+々2+3——%2~(+元2?)+6.

X+n

由＜,2消去y得3『+2石〃X+2〃2—6=0.

3x2+4y2=12

当/>0时，Xl+%2=-2°n,X\X2=------—

33

4/4n2-12

从而玉2+X,2=（X；+彳2）2—2/彳,二=4,

33

所以。42+032=7,为定值.

20.（2019・重庆巴蜀中学高二期中（理））已知抛物线C：V=4%.

（1）若尸是抛物线C上任一点，2（2,3）,求点P到。和y轴距离之和的最小值;

（2）若口A6c的三个顶点都在抛物线。上，其重心恰好为。的焦点P,求口人6c三边所在直线的斜率

的倒数之和.

【答案】⑴痴-1⑵0

【解析】

（1）由抛物线定义可知：p到。和y轴距离之和=|。。|+|。尸1NQ产i=JI3—1,

当Q,p,歹三点共线时，取最小值.

(~2、（、,2、

（2）设A亍%，乂，B，C亍%,为，）尸（1,。），%+%+%=0・

4(4

2_2

[”———1%+%1%+%

又□-=4=A±A，同理：A~4，k=4

kAB%4BCAC

.・.——1+——1+1——c=0

^AB^BCkAC

22(。＞人＞0)经过点['5'，3],L

21.(2019•苏州新草桥中学高三开学考试)已知椭圆。：、+4=]

a2b2

点A是椭圆的下项点.

(1)求椭圆。的标准方程；

(2)过点A且互相垂直的两直线/一，2与直线V=x分别相交于E,斤两点，已知|OE|=|O同，求直线4的

斜率.

„2

【答案】⑴=1(2)1+72

【解析】

3].